PDF-лекции (1134113), страница 4
Текст из файла (страница 4)
âñÿ ðàçíèöà â òîì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè íàèëó÷øåãîïðîãíîçà ìèíèìèçàöèÿ M (t) ïðîèñõîäèò ñðåäè âñåõ ëèíåéíûõ ïðîãíîçîâη̂≤t . Âîçìîæíû, êîíå÷íî æå, è òàêèå ïîíÿòèÿ, êàê ëèíåéíàÿ ðåãóëÿðíîñòü(èëè ñèíãóëÿðíîñòü) ñïðàâà.Ïóñòü òåïåðü ξ(t), t ∈ Z ñòàöèîíàðíàÿ ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãíîçà η = ξ(m) ïî çíà÷åíèÿì ξ(t), t ≤ 0èçó÷èì ïîäðîáíåå. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî íàçâàòü çàäà÷åé ïðîãíîçà íà møàãîâ âïåðåä. Ïóñòü m̃ ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ(t).Ïîñêîëüêó L2 (m̃) èçîìåòðè÷íî Hξ èçîìåòðèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåìI(f ) =Zπf dµ −−πòî äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ íàèëó÷øåãî ëèíåéíîãî ïðîãíîçà íàäî íàéòè òàêîåg â L ëèíåéíîé îáîëî÷êå ôóíêöèé eizλ , z ≤ 0 òàê, ÷òîáûeimλ − g⊥ L,5.4.29Ïðîãíîçò.å.Zπ eimλ − g(λ) e−inλ dm̃(λ) = 0, n ≤ 0.(5.5)−πËèíåéíàÿ ñèíãóëÿðíîñòü ñëåâà îçíà÷àåò âîçìîæíîñòü àïïðîêñèìèðîâàòüeimλ ïðè ïîìîùè ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé einλ , n ≤ 0 ñêîëü óãîäíî òî÷íî.Ïðè ýòîì òî÷íîñòü ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ôîðìóëû (5.5).Òåîðåìà 10 Çàìêíåì èíòåðâàë [−π, π) â îêðóæíîñòü.
Åñëè íîñèòåëüñïåêòðàëüíîé ìåðû ξ(t) ñîñðåäîòî÷åí íà äóãå, çàíèìàþùåé ìåíåå ïîëîâèíû ýòîé îêðóæíîñòè, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ(t) ëèíåéíî ñèíãóëÿðíà ñëåâà.Äîêàçàòåëüñòâî . Îáîçíà÷èì ÷åðåç z ÷èñëî e−iλ . Ïóñòü z0 ñåðåäèíàòîé äóãè îêðóæíîñòè, íà êîòîðîé ñîñðåäîòî÷åí íîñèòåëü m̃. Òîãäà (ýòîìîæíî ëåãêî äîêàçàòü, ñäåëàâ ñîîòâåòñòâóþùèé ðèñóíîê) íàéäåòñÿ òàêîåN , ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà z íîñèòåëÿ ñïåêòðàëüíîé ìåðû ñïðàâåäëèâî|N z0 − z| ≤ N.
Îòìåòèì òåïåðü, ÷òîiλe∞X(N z0 − e−λ )n1=,=N z0 + (z − N z0 )(N z0 )n+1n=0à çíà÷èò, ïðèìåíÿÿ áèíîì Íüþòîíà, èçâëåêàåì îòñþäà òðåáóåìîå ðàçëîæåíèå ïî îòðèöàòåëüíûì ñòåïåíÿì e:eiλ =∞ XnXn=0 k=0(−1)kCnk(N z0 )n−k e−ikλ .(N z0 )n+1Òåîðåìà äîêàçàíà.Îòìåòèì, ÷òî â ñèíãóëÿðíîì ñëó÷àå ìû çàîäíî ïîëó÷èëè ôîðìóëûíàèëó÷øåãî ëèíåéíîãî ïðîãíîçà.  ÷àñòíîñòè, ôîðìóëà äëÿ ïðîãíîçà íàîäèí øàã âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:ˆ ≤0 =ξ(1)∞XnX1(−1)k Cnk (N z0 )n−k ξ(−k).n−1(Nz)0n=0k=0305.55.5.1Ãëàâà 5.Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿÇàäà÷à ïðîãíîçà ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ðåãóëÿðíûé ñëó÷àéÏîñòðîåíèå ïðîãíîñòè÷åñêèõ ôîðìóëÑåé÷àñ ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ξ(t), t ∈ Z ðåãóëÿðíàÿ ñòàöèîíàðíàÿñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Îãðàíè÷èìñÿ ñèòóàöèåé, â êîòîðîé îíàèìååò îãðàíè÷åííóþ ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàéäóòñÿ òàêèå ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå c1 , c2 , ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãîλ ∈ [−π, π] èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî c1 < f (λ) < c2 . Òåì ñàìûìL2 (m̃) = L2 [−π, π].Ïóñòü H≤0 çàìûêàíèå L â L2 [−π, π], H>0 çàìûêàíèå ëèíåéíîé îáîëî÷êè einλ , n > 0 â òîì æå ïðîñòðàíñòâå. Èç ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèé â ðÿä Ôóðüå ñëåäóåò, ÷òî(∀g ∈ L2 [−π, π]) (∃!h1 ∈ H≤0 , h2 ∈ H>0 ) g = h1 + h2 .Óñëîâèå ïðèíàäëåæíîñòè ïðîñòðàíñòâó H≤0 î÷åâèäíî, ñîñòîèò â òîì, ÷òîêîýôôèöèåíòû Ôóðüå ñ ïîëîæèòåëüíûìè èíäåêñàìè âñå ðàâíû 0.Ïåðåïèøåì ôîðìóëó (5.5) â ñëåäóþùåì âèäåZπ eimλ − g(λ) e−inλ dλ = 0, n ≤ 0.−πÒåì ñàìûì, íåîáõîäèìî íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ g ∈ H≤0 , ÷òîáûeimλ − g(λ) f (λ) ∈ H>0 .(5.6)Ââåäåì åùå íåñêîëüêî îáîçíà÷åíèé.
×åðåç C≥0 îáîçíà÷èì çàìûêàíèå ëèíåéíîé îáîëî÷êè einλ , n ≥ 0 â ñìûñëå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, ÷åðåçC≤0 àíàëîãè÷íîå çàìûêàíèå einλ , n ≤ 0. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ââåäåííûå êëàññû ôóíêöèé ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàìè ôóíêöèé, ò.å. çàìêíóòûîòíîñèòåëüíî ñóììèðîâàíèé è óìíîæåíèé. Áîëåå òîãî, ÿñíî, ÷òî îíè çàìêíóòû è îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ýêñïîíåíò, ò.å. åñëè, íàïðèìåð, g ∈ C≤0 ,òî eg ∈ C≤0 . ×èòàòåëþ â êà÷åñòâå íåñëîæíîãî óïðàæíåíèÿ ïðåäëàãàåòñÿäîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.5.5.31Ðåãóëÿðíûé ïðîãíîçËåììà 6 Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:(g1 ∈ H≤0 , g2 ∈ C≤0 ) =⇒ g1 g2 ∈ H≤0 ,(g1 ∈ H>0 , g2 ∈ C≥0 ) =⇒ g1 g2 ∈ H>0 .Ïðåäïîëîæèì, íàì óäàëîñü íàéòè òàêèå ôóíêöèè f1 ∈ C≤0 , f2 ∈ C≥0 ,÷òî f11 ∈ C≤0 , f12 ∈ C≥0 è(∀λ) f (λ) = f1 (λ)f2 (λ).Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ìû óñëîâèìñÿ íàçûâàòü ôàêòîðèçàöèåé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè .
Íèæå ìû äîêàæåì, ÷òî ôàêòîðèçàöèÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âîçìîæíà è óêàæåì íåêîòîðûå àëãîðèòìû åå ïîëó÷åíèÿ.Äîìíîæàÿ îáå ÷àñòè (5.6) íà 1/f2 , ïîëó÷àåì ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìó ýòîãî óñëîâèÿ:eimλ − g(λ) f1 (λ) ≡ h(λ) ∈ H≥0 ,îòêóäàeimλ f1 (λ) = g(λ)f1 (λ) + h(λ).Ïðèáåãíåì ê ðàçëîæåíèþ Ôóðüå. Ïóñòüf1 (λ) = c0 +∞Xc−j e−ijλ .j=1Îòñþäàeimλ f1 (λ) =mXc−k ei(m+k)λ +∞Xc−m−j e−ijλ .j=1k=0Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïåðâàÿ ãðóïïà ñëàãàåìûõ çäåñü èìååò íåîòðèöàòåëüíûåêîýôôèöèåíòû ïðè ìíèìîé åäèíèöå â ïîêàçàòåëÿõ ýêñïîíåíò: à âòîðàÿ îòðèöàòåëüíûå, ìîæíî âûáðàòüg(λ) =c−m +P∞−ijλj=1 c−m−j ef1 (λ).Ïðåäïîëîæèì, ïîñòðîåííàÿ òîëüêî ÷òî ôóíêöèÿ g ðàçëîæåíà â ðÿä Ôóðüåg(λ) = b0 +∞Xj=1b−j e−ijλ ,32Ãëàâà 5.Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿòîãäà íàèëó÷øèé ëèíåéíûé ïðîãíîç íà m øàãîâ çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:ξˆ≤0 =∞Xb−j ξ(−j).j=0Âû÷èñëèì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêóþ îøèáêó ïðîãíîçà çà m øàãîâZπ 2 imλe− g(λ) f (λ)dλ.σ (m) =2−π ñèëó ñäåëàííûõ âûøå äîïóùåíèé f (λ) = f1 (λ)f1 (λ), à çíà÷èò,Zπ Zπ2 imλσ (m) = e− g(λ) f1 (λ) dλ =|h(λ)|2 dλ.2−π−πÎòñþäà, ñ ó÷åòîì îðòîíîðìèðîâàííîñòè â L2 [−π, π] áàçèñàZ, ïîëó÷àåì√1 einλ ,2πn∈Zπ m2Xσ (m) =c0 eimλ + c1 ei(m−1)λ + ...
+ c−m+1 eiλ dλ = 2π|c−m+j |2 .2j=1−πÏðè m → ∞ âèäèì, ÷òî2σ (m) → 2π∞X2|c−j | =j=1Zπ|f1 (λ)|2 dλ = K(0),−πò.å. äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ(m), ÷òî åùå ðàç ïîäòâåðæäàåò, ÷òîâ ýòîé ñèòóàöèè èìååòñÿ ðåãóëÿðíûé ñëó÷àé.5.5.2Êàê îñóùåñòâèòü ôàêòîðèçàöèþÑíà÷àëà îáùèå ðåêîìåíäàöèè. Ïóñòü ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü f äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ. Ðàññìîòðèìln f (λ) =Xaz eizλ .z∈ZÏðè âñåõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà ýòîò ëîãàðèôì ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì÷èñëîì, ò.ê.
f (λ) ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Îòñþäàa0 > 0,(∀z) a−z = az .5.5.33Ðåãóëÿðíûé ïðîãíîçÂûáåðåìR1 (λ) =a0 Xa0 X+az eizλ , R2 (λ) =+az eizλ .22z<0z>0Òîãäà R1 ∈ C≤0 , R2 ∈ C≥0 , R1 = R2 . Ïîëîæèìf1 (λ) = exp R1 (λ),f2 (λ) = exp R2 (λ).Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ýòè ôóíêöèè è îñóùåñòâëÿþò íóæíóþ ôàêòîðèçàöèþ. Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå ýêñïîíåíòû â ñòåïåííîé ðÿä, ìîæíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ Ôóðüå ôóíêöèè f1 ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû R1 :f1 (λ) = 1 +∞XR1j (λ)j=1j!= 1+∞X1j=1j!a0 X+az eizλ2z<0!j. ÷àñòíîñòè, îòñþäàc0 = 1 + ∞X1 a0 jj=1 j!2= ea0 /2 ,à ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêàÿ îøèáêà ïðîãíîçà çà îäèí øàãσ 2 (1) = 2π|c0 |2 = 2πea0 ,èëè 1 Zπσ 2 (1) = 2π expln f (λ)dλ . 2π−π êîíöå ðàçäåëà ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà ñïåêòðàëüíàÿïëîòíîñòü ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îòíîøåíèÿ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ, ò.å.P (eiλ )f (λ) =,Q(eiλ )P, Q ìíîãî÷ëåíû.
Åñëè êîìïëåêñíîå ÷èñëî z ëåæèò íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, òî èç íàøåãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñëåäóåò,÷òî P (z)/Q(z) äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, à çíà÷èò êàæäîìó êîðíþ zi îä−1íîãî èç ìíîãî÷ëåíîâ, îòëè÷íîìó îò 0, ñîîòâåòñòâóåò êîðåíü (zi ) , ñèììåòðè÷íûé zi îòíîñèòåëüíî åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè. Òîãäà íàøà äðîáüìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå−1−1P (z)0 k (z − z1 )(z − z̄1 )...(z − zn )(z − z̄n )= cz,−1 )Q(z)(z − w1 )(z − w̄1−1 )...(z − wm )(z − w̄m34Ãëàâà 5.Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿãäå c0 êîìïëåêñíàÿ ïîñòîÿííàÿ, k ðàçíîñòü êðàòíîñòåé êîðíÿ 0 ó ìíîãî÷ëåíîâ P è Q.
Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî êîðíè zi , wj ïî ìîäóëþ áîëüøå1, à ñîïðÿæåííûå èõ îáðàòíûì, ñîîòâåòñòâåííî, ìåíüøå 1. Çàìåòèì, ÷òî(z − zi )(z − z̄i−1 ) =(zi − z)(z̄i − z −1 ).−zi z̄i ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëèP (z)(z1 − z)(z̄1 − z −1 )...(zn − z)(z̄n − z −1 ).= cz k−n+mQ(z)(w1 − z)(w̄1 − z −1 )...(wm − z)(w̄m − z −1 )Åñëè z = eiλ , òî z −1 = z̄ è(zj − z)(z̄j − z −1 ) = |zj − z|2 ≥ 0.Ñëåäîâàòåëüíî, c äåéñòâèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, k + n − m = 0 è ìîæíîâûáðàòü√ (z̄1 − e−iλ )...(z̄n − e−iλ )f1 (λ) = c.(5.7)(w̄1 − e−iλ )...(w̄m − e−iλ )Íàäî ëèøü óáåäèòüñÿ, ÷òî f1 , f1−1 ∈ C≤0 .
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü,÷òî äëÿïðîèçâîëüíîãîêîìïëåêñíîãî a, ïî ìîäóëþ áîëüøåãî 1, ñïðàâåä−1iλëèâî a − e∈ C≤0 . Çàïèøåì1∞X11e−iλa==1+−iλa − e−iλaa1− eaj=1!j .Ïîñëåäíÿÿ ñóììà î÷åâèäíî ëåæèò â C≤0 . Ïðè âûâîäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîðìóëîé Òåéëîðà è òåì ôàêòîì, ÷òî â ñèëó âûáîðà êîðíåé e−iλ < 1. a Ïîäâåäåì èòîã. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôàêòîðèçàöèè ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòèâ ÷àñòíîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ðàçëîæèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáèíà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè, âûáðàòü êîðíè, ïî ìîäóëþ áîëüøèå 1, è çàäàòüf1 ïî ôîðìóëå (5.7), f2 = f /f1 .5.5.35Ðåãóëÿðíûé ïðîãíîç5.5.3Îäèí ïðèìåðÏóñòü ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èìååò âèäf (λ) = 5 + 4 cos λ.Òîãäà ñïåêòðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì áóäåòf (λ) = 5 + 2eiλ + 2e−iλ .Çàìåòèì, ÷òî êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ñòàöèîíàðíîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìååò âèäK(t) =Zπeiλt f (λ)dλ =−π10 sin πt 4 sin π(t + 1) 4 sin π(t − 1)++.tt+1t−1Ïðè âñåõ t îòëè÷íûõ îò 0 è ±1 ýòî âûðàæåíèå ðàíî 0, K(0) = 10π ,K(±1) = 4π .
Çàïèøåìf (λ) =2e2iλ + 5eiλ + 2P (eiλ )=.eiλQ(eiλ )Ðàçëàãàÿ ÷èñëèòåëü íà ìíîæèòåëè, ïîëó÷èìf (λ) = 2eiλ +12eiλ + 2eiλ=2 + e−iλeiλ + 2 .Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî âûáðàòüf1 (λ) = 2 + e−iλ ,f2 (λ) = eiλ + 2,è, â îáîçíà÷åíèÿõ ïðåäûäóùåãî ïîäðàçäåëà, c0 = 2, c−1 = 1, c−k = 0 ïðèk ≥ 4.Âûïèøåì ôîðìóëó ïðîãíîçà íà 1 øàã ( m = 1).g(λ) = c−1 f1−1 (λ) =11,2 1 + 12 e−iλñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ñóììû áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ïîëó÷èì:∞X1(−1)j e−ijλ .g(λ) = 1 +22jj=136Ãëàâà 5.Ñïåêòðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿÎêîí÷àòåëüíî, íàèëó÷øèé ëèíåéíûé ïðîãíîç çà îäèí øàã çàäàí ôîðìóëîé∞X1ξ(−j)ˆξ(1)≤0 = ξ(0) +(−1)j j+1 .22j=1Âû÷èñëèì âåëè÷èíó îøèáêè ïðîãíîçà:σ 2 (1) = 2πc0 = 8π,÷òî óêàçûâàåò íà íèçêóþ íàäåæíîñòü ïðîãíîçà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
