PDF-лекции (1134113), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïóñòü ξ(t) ÷èñëîêëèåíòîâ â çîíå îáñëóæèâàíèÿ (ñ÷èòàÿ òåõ, êòî îæèäàåò ñâîåé î÷åðåäè è òåõ, êòî óæå îáñëóæèâàåòñÿ) â ìîìåíò âðåìåíè t. Áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî, íåçàâèñèìî îò ÷èñëà óæå èìåþùèõñÿ êëèåíòîâ, ÷èñëî ïðèáûâàþùèõêëèåíòîâ èìååò îäíó è òó æå èíòåíñèâíîñòü, èíòåíñèâíîñòü îáñëóæèâàíèÿ êëèåíòîâ òàêæå ïîñòîÿííà.
Åñëè êàíàë îáñëóæèâàíèÿ òîëüêî îäèí(ò.å. îäíîâðåìåííî íå ìîæåò îáñëóæèâàòüñÿ áîëåå îäíîãî êëèåíòà), òî âðàìêàõ ïðèíÿòîé ìîäåëè îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî (∀n) λn = λ, µn = µ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç τj âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ j -ãî êëèåíòà. Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî,÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû τj èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, áîëåå òî÷íî(∀t ≥ 0) P(τj ≥ t) = e−µt .Åñëè âñåãî èìååòñÿ n êàíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ (êàññ, ïàðèêìàõåðñêèõ èëèñòîìàòîëîãè÷åñêèõ êðåñåë è ò.ï.), òî îäíî èç íèõ îñâîáîäèòñÿ ÷åðåç âðåìÿτ ìèíèìóì èç âåëè÷èí τ1 , ..., τn . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîP(τ ≥ t) =nYP(τj ≥ t) = e−µnt ,j=1÷òî îçíà÷àåò, ÷òî âðåìÿ îæèäàíèÿ ïåðâîãî îñâîáîäèâøåãîñÿ êàíàëà îáñëóæèâàíèÿ òàêæå èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè èìååòñÿ n êàíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ, òî µj = jµ ïðè j ≤ n èµj = nµ ïðè j > n.Âåðíåìñÿ ê ñèñòåìå ñ îäíèì êàíàëîì îáñëóæèâàíèÿ. Âî ââåäåííûõâûøå îáîçíà÷åíèÿõ (ñì (6.2)):πj =λµ!n,∞Xj=1πj =µµ−λ(êîíå÷íî æå, òîëüêî äëÿ µ > λ, èíà÷å î÷åðåäü ðàñòåò, è íè î êàêèõñòàöèîíàðíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ãîâîðèòü íå èìååò ñìûñëà). Ïðèâëåêàÿ(6.2), âèäèì, ÷òî!nµ−λ λpn =, n ≥ 0.µµ6.4.47ÏðèìåðûÝòè ÷èñëà ðàâíû âåðîÿòíîñòÿì òîãî, ÷òî ÷åðåç ïðîäîëæèòåëüíîå âðåìÿñ íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ äëèíà î÷åðåäè áóäåò ðàâíà n − 1 (îäèí êëèåíòîáñëóæèâàåòñÿ).Ðàññìîòðèì äðóãîé êðàéíèé ñëó÷àé íàëè÷èå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëàêàíàëîâ îáñëóæèâàíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé ïîÿâëÿþùèéñÿ â çîíåîáñëóæèâàíèÿ êëèåíò íåìåäëåííî íà÷èíàåò îáñëóæèâàòüñÿ.
Òàêóþ ìîäåëü ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ èíîãäà íàçûâàþò ìîäåëüþ òåëåôîííîãî óçëà. Çäåñüλn = λ, µn = nµ,à ñëåäîâàòåëüíî,πj =èpnλj,j!µj1=n!λµ∞Xπj = eλ/µj=1!nλe− µ ,n ≥ 0.Ýòî âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî îäíîâðåìåííî ÷åðåç òåëåôîííûé óçåë âåäóòñÿ n ðàçãîâîðîâ. Êàê ìû âèäèì, ÷èñëî îäíîâðåìåííî âåäóùèõñÿ ðàçãîâîðîâ èìååò ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå.48Ãëàâà 6.Ïðîöåññû ðàçìíîæåíèÿ è ãèáåëèÃëàâà 7Íåïðåðûâíîñòü ðåàëèçàöèé ýòîé ãëàâå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ðàññìàòðèâàåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû çàäàíû ïðè t ∈ [a, b]. Íà÷íåì ñî ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ. Äâà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññà ξ(t), η(t) íàçûâàþòñÿ ñòîõàñòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè ,åñëè(∀t) P(ξ(t) = η(t)) = 1.Ëþáîé ïðîöåññ, ñòîõàñòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûé ξ(t) áóäåì íàçûâàòü ìîäèôèêàöèåé ξ(t).Ñóùåñòâîâàíèå ìîäèôèêàöèé ïðîöåññà, îáëàäàþùèõ íåïðåðûâíûìèìîäèôèêàöèÿìè, âåñüìà óäîáíî.
Äëÿ òàêèõ ïðîöåññîâ ìû èìååì âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü, íàïðèìåð, íàèáîëüøèå è íàèìåíüøèå çíà÷åíèÿ è èõðàñïðåäåëåíèÿ êàê ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ñôîðìóëèðóåì äâå òåîðåìû, âêîòîðûõ äàíû óñëîâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íåïðåðûâíûõ ðåàëèçàöèé.Òåîðåìà 11 Ïóñòü ïðè íåêîòîðûõ r, α > 0(∀s, t) M|x(t) − x(s)|r ≤ c|t − s|1+α ,òîãäà íàéäåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ ξ(t) ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x(t), îáëàäàþùàÿíåïðåðûâíûìè ðåàëèçàöèÿìè.Òåîðåìà 12 Ïóñòü íàøëèñü òàêèå ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèå ïðè ïî-ëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ ôóíêöèè g, q , ÷òî(∀t, h > 0) P(|x(t + h) − x(t)| ≥ g(h)) ≤ q(h),4950Ãëàâà 7.Íåïðåðûâíîñòü ðåàëèçàöèéè, âäîáàâîê,∞Xb−a2 q2nn=0n!< ∞,∞Xb−ag2nn=0!< ∞.Òîãäà íàéäåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ ξ(t) ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x(t), îáëàäàþùàÿíåïðåðûâíûìè ðåàëèçàöèÿìè.Äîêàæåì, ÷òî òåîðåìà 11 ñëåäóåò èç òåîðåìû 12 .
Äåéñòâèòåëüíî, èçóñëîâèé ïåðâîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî íàéòè òàêîå γ > 0, ÷òî α −rγ > 0. Ïîëîæèìg(h) = hγ ,q(h) = ch1+α−rγ ,ãäå ïîñòîÿííàÿ c òàêæå èç óñëîâèÿ òåîðåìû 11 . Èç íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà ñ r-ì ìîìåíòîì ñëåäóåò, ÷òîP(|x(t + h) − x(t)| ≥ g(h)) ≤ch1+α= q(h).g r (h)Îñòàëîñü ïðîâåðèòü ñõîäèìîñòü ðÿäîâ â óñëîâèè òåîðåìû 12 , ÷òî ñäåëàòüñîâñåì íåñëîæíî.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 12 íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùèé âñïîìîãàòåëüíûé ðåçóëüòàò, îêàçûâàþùèéñÿ ïîëåçíûì è âî ìíîãèõ äðóãèõçàäà÷àõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, îñîáåííî ñâÿçàííûõ ñî ñõîäèìîñòüþ ïî÷òèíàâåðíîå.Ëåììà 7 (Áîðåëü - Êàíòåëëè) Ïóñòü äëÿ ñîáûòèé A1 , A2 , ...
ñïðà-âåäëèâî∞XP(An ) < ∞.n=1Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 îäíîâðåìåííî ìîæåò ïðîèçîéòè ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî èç ýòèõ ñîáûòèé.Äîêàçàòåëüñòâî . Èñïîëüçóÿ èíòåðïðåòàöèþ êâàíòîðîâ ñóùåñòâîâàíèÿè âñåîáùíîñòè ÷åðåç òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè, çàìåòèì, ÷òîåñëè ïðîèçîøëî áåñêîíå÷íîå ÷èñëî èç ñîáûòèé, òî ïðîèçîøëî∞A = ∩∞k=1 ∪n=k An .51Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìîíîòîííî óáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîáûòèé Bk = ∪n≥k An . Ïðè ýòîìP(Bk ) ≤∞XP(An ) −→ 0, k → ∞.n=kÏðèìåíÿÿ àêñèîìó íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåì, ÷òîP(A) = lim P(Bk ) = 0.k→∞Ëåììà äîêàçàíà.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 12.
Äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóë áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîöåññû çàäàíû íà [0,1]. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññX (n) (t) = 2n (x(tn,k )(tn,k+1 − t) + x(tn,k+1 )(t − tn,k )) , t ∈ [tn,k , tn,k+1 ],ãäå tn,k =k,2nk = 0, ..., 2n . Çàìåòèì, ÷òî(∀n, k) X (n) (tn,k ) = x(tn,k )ïî ïîñòðîåíèþ. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ìîäóëÿ ðàçíîñòè |X (n) (t) − X (n+1) (t)|äîñòèãàåòñÿ â îäíîé èç òî÷åê âèäà 2k+1. Ïðèâëåêàÿ òîò ôàêò, ÷òî âåðî2n+1ÿòíîñòü îáúåäèíåíèÿ ñîáûòèé íå ïðåâîñõîäèò ñóììû èõ âåðîÿòíîñòåé,âèäèì, ÷òîPn ≡ P max |X (n) − X (n+1) | ≥ g(2−(n+1) )≤ 2n+1 q(2−(n+1) ).Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ðÿä ∞n=1 Pn ñõîäèòñÿ.
Èòàê, ïðèâëåêàÿ ëåììó, âèäèì, ÷òî ïðîèçîøëî ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëîñîáûòèé âèäà {max |X (n) − X (n+1) | ≥ g(2−(n+1) )}, ò.å., íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, êîíå÷íîãî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1, N ýòè ñîáûòèÿ íå ïðîèñõîäÿò, ÷òî, âP−(n+1)ñèëó ñõîäèìîñòèðÿäà ∞) îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòün=1 g(2P∞(n)(n+1)ðÿäà n=1 X (t) − X(t) . Èç ñîîòíîøåíèÿPX(n)(t) = X(1)(t) −n−1Xj=1ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíûéX̂(t) = n→∞lim X (n) (t).Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü ïîëîæèòüξ(t) =(X (n) (t) − X (n+1) (t)X̂(t), N < ∞ ,0,N = ∞.52Ãëàâà 7.Íåïðåðûâíîñòü ðåàëèçàöèéÃëàâà 8Óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèåîæèäàíèÿÈçëîæåíèå ýòîé òåìû ìîæíî íàéòè âî ìíîãèõ ó÷åáíèêàõ, íî ñ öåëüþáîëüøåé ïîëíîòû ñîáðàííîãî â ýòîì êîíñïåêòå ìàòåðèàëà ìû ïðèâåäåìíåêîòîðûå ñâîéñòâà è îïðåäåëåíèÿ çäåñü. Íàïîìíèì, ÷òî óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè B , åñëè P(B) 6= 0 íàçûâàåòñÿP(AB).P(B)P(A/B) =Îïðåäåëèì äëÿ òàêèõ B è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξM(ξ/B) =ZξdP(·/B).ΩÒîãäà ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà ïî âåðîÿòíîñòè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîáûòèé A, B è ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξM(1A /B) = P(A/B),M(ξ/B) · P(B) =ZξdP.BÏóñòü < Ω, F, P > âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, U = {B1 , B2 , ...} ðàçáèåíèå Ω, ò.å.∪j Bj = Ω, i 6= j ⇒ Bi ∩ Bj = ∅, (∀j) Bj ∈ F, P(Bj ) 6= 0.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàξˆ =XM(ξ/Bj )1Bjj5354Ãëàâà 8.Óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿíàçûâàåòñÿ óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ξ ïðè óñëîâèè U èîáîçíà÷àåòñÿ M(ξ/U).Ïóñòü B ∈ σ(U).
Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ñèãìà-àëãåáðû ìîæíî âûäåëèòü òàêóþ ïîäöåïî÷êó èç ðàçáèåíèÿ, ÷òî B = ∪k Bik = ∪k Ck . Îòìåòèì,÷òîZXZξdP =ξdP,BCkkèíà÷å ãîâîðÿ, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî B ∈ σ(U) ñïðàâåäëèâîZξdP =BZM(ξ/U)dPB(íà B âñå "ëèøíèå"èíäèêàòîðû îáðàùàþòñÿ â 0). Îòìåòèì, ÷òî åñëè η σ(U)-èçìåðèìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà è(∀B ∈ σ(U))ZZηdP =BM(ξ/U)dP,bòî η = M(ξ/U) (modP). Äàäèì òåïåðü îïðåäåëåíèå.Ïóñòü G σ -àëãåáðà. G -èçìåðèìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà M(ξ/G) íàçûâàåòñÿ óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûξ îòíîñèòåëüíî ýòîé σ -àëãåáðû, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîãî B ∈ G ñïðàâåäëèâîZZξdP =M(ξ/G)dP.BBÐàâåíñòâî èç îïðåäåëåíèÿ ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â L2 ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå< ξ, 1B >L2 (<Ω,F ,P>) = < M(ξ/G), 1B >L2 (<Ω,F ,P>) ,÷òî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü, êàê ðàâåíñòâî óãëîâ, îáðàçóåìûõ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé è åå óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñ ïîðîæäàþùèìè G .
Ñóùåñòâîâàíèå óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ (â ýòîì êîíòåêñòå íàçûâàåìîãî èíîãäà ïðîèçâîäíîé ñèãìààääèòèâíîé ôóíêöèè ïî ìåðå) ñëåäóåò èç òåîðåìû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, ôîðìóëèðóåìîé íèæå.Òåîðåìà 13 (Ðàäîí - Íèêîäèì) Åñëè g(B) σ -àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿíà F , µ ìåðà íà < Ω, F >, òî íàéäåòñÿ åäèíñòâåííàÿ mod P íåîòðè-öàòåëüíàÿ µ-èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ f òàêàÿ, ÷òî(∀B ∈ F) g(B) =ZBf (x)dµ.55Ïåðåéäåì òåïåðü ê ôîðìóëèðîâêàì è äîêàçàòåëüñòâàì ñâîéñòâ óñëîâíûõìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.1. Åñëè ξ - F -èçìåðèìà, òî M(ξ/F) = ξ.Äåéñòâèòåëüíî,Z(∀B ∈ F)ξdP =BZM(ξ/F)dPBïî îïðåäåëåíèþ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.2.
M M(ξ/F) = Mξ.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñâîéñòâà äîñòàòî÷íî âûáðàòü â îïðåäåëåíèè B = Ω:M M(ξ/F) =ZM(ξ/F)dP =ΩZξdP = Mξ.Ω3. M(αξ + βη/F) = αM(ξ/F) + βM(η/F).Çàôèêñèðóåì B ∈ F . Çàìåòèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü äîêàçûâàåìîãî ðàâåíñòâà F -èçìåðèìà êàê êîìáèíàöèÿ èçìåðèìûõ âåëè÷èí. Îòñþäà,ïðèâëåêàÿ ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà ïî âåðîÿòíîñòè, èìååìRBRR(αM(ξ/F) + βM(η/F)) dP = α B ξdP + β B ηdP =RRR= α B ξdP + β B ηdP = B (αξ + βη)dP,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.4.
Åñëè ξ íå çàâèñèò îò F , òî M(ξ/F) = Mξ.Ïîíÿòíî, ÷òî (∀B ∈ F)(∀x) P(ξ < x, B) = P(ξ < x)P(B), ò.å. ξ è1B íåçàâèñèìû. ÎòñþäàZBξdP = Mξ1B = MξM1B = MξZdP =BZMξdP,B÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.5. Åñëè η - F -èçìåðèìà, òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ξ M(ξη/F) = ηM(ξ/F).Ïóñòü η = 1C , C ∈ F. Òîãäà äëÿ B ∈ FZBηM(ξ/F)dP =ZB∩CM(ξ/F)dP =ZB∩CξdP =ZξηdP,Bò.å.
â ýòîé ñèòóàöèè âñå äîêàçàíî. Ñëó÷àé ëèíåéíûõ êîìáèíàöèéèíäèêàòîðîâ î÷åâèäåí, îáùèé ñëó÷àé ïîëó÷àåòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì.56Ãëàâà 8.Óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ6. Ïóñòü F ⊂ F1 ñèãìà-àëãåáðû. Òîãäà M (M(ξ/F1 )/F) = M(ξ/F).Äåéñòâèòåëüíî, ïðè B ∈ F ñïðàâåäëèâîZBM (M(ξ/F1 )/F) dP =ZM(ξ/F)dP =BZBξdP =ZM(ξ/F),B÷òî è çàêàí÷èâàåò äîêàçàòåëüñòâî.7. Åñëè F ⊂ F1 , η F -èçìåðèìà, òî M(ξη/F) = M (ηM(ξ/F1 )/F) .Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ñâîéñòâ 6 è 5.Ãëàâà 9Ìàðòèíãàëû9.1Îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäíåì ðàçäåëå êóðñà ðàññìîòðèì ïðîöåññû, óñòðîåííûå áîëåå ñëîæíî, ÷åì ïðîöåññû ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñåðàññìàòðèâàåìûå íèæå ïðîöåññû çàäàíû íà ïîëóèíòåðâàëå T = [a, b), åãîçàìûêàíèè èëè êàêîì-ëèáî äèñêðåòíîì ïîäìíîæåñòâå ýòîãî ïîëóèíòåðâàëà.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñåìåéñòâî σ−àëãåáð Ft , t ∈ T îáðàçóåò ïîòîê ,åñëè ïðè s < t ñïðàâåäëèâî Fs ⊂ Ft . Ïîòîê áóäåì íàçûâàòü íåïðåðûâíûìñïðàâà â òî÷êå a, åñëè σ−àëãåáðû Fa è Fa+ = ∩{Ft , t > a} ñîâïàäàþò. Çàìåòèì, ÷òî σ−àëãåáðû Ft+ , t ∈ T îáðàçóþò ïîòîê, íåïðåðûâíûé ñïðàâàâ ëþáîé òî÷êå T .Óñëîâèìñÿ òîò ôàêò, ÷òî ïðè êàæäîì t ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ(t)Ft −èçìåðèìà, íàçûâàòü ñîãëàñîâàííîñòüþ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(t) ñ ïîòîêîì.
Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) ñîãëàñîâàí ñ ïîòîêîì Ftξ = σ(ξ(s), s ≤ t).Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî ïîòîêàñèãìà-àëãåáð, åñëè îí ñîãëàñîâàí ñ ýòèì ïîòîêîì, èìååò êîíå÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, è(∀t, s ∈ T ) (s < t) ⇒ M (ξ(t)/Fs ) = ξ(s)ñ âåðîÿòíîñòüþ 1. Åñëè M (ξ(t)/Fs ) ≥ ξ(s) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïàð àðãóìåíòîâ ñ óñëîâèåì s < t, òî ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ñóáìàðòèíãàëîì , åñëè æåâ ïîñëåäíåì îïðåäåëåíèè çíàê ≥ èçìåíåí íà ≤, òî ïðîöåññ ξ(t) íàçûâà5758Ãëàâà 9.Ìàðòèíãàëûþò ñóïåðìàðòèíãàëîì .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
