PDF-лекции (1134113), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Îáîáùàþùèì ïîíÿòèåì ñëóæèò ïîëóìàðòèíãàë ýòî èëè ñóáìàðòèíãàë, èëè ñóïåðìàðòèíãàë.Ïðèâåäåì çäåñü òðè ïðèìåðà ìàðòèíãàëîâ.1. Ïóñòü ξ(t) ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè è ïîñòîÿííûììàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Òîãäà ýòî ìàðòèíãàë îòíîñèòåëüíîFtξ t ∈ T . Äåéñòâèòåëüíî, ïðè s < tM(ξ(t)/Fsξ ) = M((ξ(t) − ξ(s))/Fsξ ) + M(ξ(s)/Ftξ ),íî, ñîãëàñíî ñâîéñòâàì èçìåðèìîñòè, ïåðâîå ñëàãàåìîå çäåñü ðàâíîM(ξ(t) − ξ(s)) = 0, à âòîðîå ξ(s).2. Ïóñòü ξ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, è çàäàí ïîòîê σ−àëãåáð Ft , t ∈ T .Òîãäà X(t) = M(ξ/Ft ) ìàðòèíãàë.
Ýòî ñëåäóåò èç ñëåäóþùåéöåïî÷êè ðàâåíñòâ:M(X(t)/Fs ) = M(M(ξ/Ft )/Fs ) = M(ξ/Fs ) = X(s).3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêæå îáðàçóåò ìàðòèíãàë (ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì). Ýòî íåìåäëåííî ïîëó÷àåòñÿ èç ðàññóæäåíèé ïåðâîãî ïðèìåðà è óæå îòìå÷àâøåãîñÿ ðàíåå òîãî ôàêòà, ÷òî òàêèå ñóììû îáðàçóþò ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè.Î÷åâèäíî, ÷òî îïðåäåëåíèå ñóáìàðòèíãàëà ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå(∀s, t)(∀B ∈ Fs ) (s < t) ⇒ZBξ(s)dP ≤Zξ(t)dP.B(9.1)Òåîðåìà 14 Ïóñòü ξ(t) ìàðòèíãàë, f (·) èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, âû-ïóêëàÿ âíèç è òàêàÿ, ÷òî Mf (ξ(t)) < ∞. Òîãäà f (ξ(t)) ñóáìàðòèíãàë.Äîêàçàòåëüñòâî . Ñîãëàñîâàííîñòü ñ ïîòîêîì Ft , t ∈ T î÷åâèäíà.
Ïðîâå-ðèì óñëîâèå (9.1) äëÿ f (ξ(t)). Èç âûïóêëîñòè âíèç ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèåâ êàæäîé òî÷êå ãðàôèêà ôóíêöèè îïîðíîé ïðÿìîé, ò.å.(∀x0 )(∃C)(∀x) f (x) ≥ f (x0 ) + C(x0 ) · (x − x0 ).Ôèêñèðóåì N ∈ N, B ∈ Fs è ââåäåì BN = B ∩ {|C(ξ(s))| ≤ N }. ÒîãäàZBNf (ξ(t))dP ≥ZBNf (ξ(s))dP +ZBNC(ξ(s))(ξ(t) − ξ(s))dP.(9.2)9.2.59Ïðîñòðàíñòâî ìàðòèíãàëîâÇàìåòèì, ÷òî BN ∈ Fs èM(C(ξ(s) · (ξ(t) − ξ(s))/Fs ) = C(ξ(s))M((ξ(t) − ξ(s))/Fs ) = 0,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âòîðîé èíòåãðàë â (9.2) ðàâåí 0. Òàêèì îáðàçîì,ZBNf (ξ(t))dP ≥Zf (ξ(s))dP.BNÄîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû íåìåäëåííî ñëåäóåò èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì ïðè N → ∞.Ïðîñòûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ñòðîèòü ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåðû ñóáìàðòèíãàëîâ. Íàïðèìåð, åñëè ξ(t) ìàðòèíãàë,òî |ξ(t)|, ξ 2 (t), eξ(t) ñóáìàðòèíãàëû.Íåêîòîðûå ïîëåçíûå ôàêòû î ïîëóìàðòèíãàëàõ ìîæíî íàéòè â êíèãàõ Âåíòöåëÿ è Ãèõìàíà - Ñêîðîõîäà (ñì.
ñïèñîê ëèòåðàòóðû). Òàì, â÷àñòíîñòè, äîêàçàíî, ÷òî ïî÷òè âñå ðåàëèçàöèè ïîëóìàðòèíãàëîâ íå èìåþò ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà. Íàì ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå äâà íåðàâåíñòâà(÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû Äóáà äëÿ ñóáìàðòèíãàëîâ). Ïóñòüηb = sup ξ(t).a≤t≤bÒåîðåìà 15 Íåïðåðûâíûé ñïðàâà íåîòðèöàòåëüíûé ñóáìàðòèíãàë ξ(t)óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàìP(ηb ≥ b) ≤Mηbp9.2≤pp−1!pMξ(b),xMξ p (b), p > 1.Ïîëíîòà ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ìàðòèíãàëîâÏóñòü < Ω, F, P > âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, Ft , t ∈ T íåïðåðûâíûé â êàæäîé òî÷êå ñïðàâà ïîòîê σ−àëãåáð. Ïðåäïîëîæèì òàêæå,÷òî âñå σ−àëãåáðû, âõîäÿùèå â ïîòîê, ïîëíû îòíîñèòåëüíî P, ò.å. ñîäåðæàò âñå âîçìîæíûå ïîäìíîæåñòâà ñâîèõ ñîáûòèé íóëåâîé âåðîÿòíîñòè.60Ãëàâà 9.ÌàðòèíãàëûÂâåäåì â ðàññìîòðåíèå êëàññ M(T ) âñåõ ìàðòèíãàëîâ îòíîñèòåëüíî ýòîãî ïîòîêà, ó êîòîðûõ ðåàëèçàöèè ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 íå èìåþò ðàçðûâîââòîðîãî ðîäà èMξ 2 (t) < ∞, t ∈ T.Ïóñòü MC (T ) ïîäêëàññ ìàðòèíãàëîâ èç M(T ), îáëàäàþùèõ íåïðåðûâíûìè ðåàëèçàöèÿìè ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.Âñå çíà÷åíèÿ ìàðòèíãàëà âîññòàíàâëèâàþòñÿ ïî ξ(b).
Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ââåñòè â M(T ) ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïî ôîðìóëå< ξ, η >T = Mξ(b)η(b).Òåîðåìà 16 M(T ) ñ ââåäåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ÿâëÿåòñÿ ãèëü-áåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì, à MC (T ) çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.Äîêàçàòåëüñòâî . Ïóñòü ξn (t) ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüâ M(T ). Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξn (b) â ïðîñòðàíñòâå L2 (< Ω, F, P >)ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå µ. Ïîëîæèìµ(t) = M(µ/Ft ).Ýòîò ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì, îãðàíè÷åíèÿ, íàëîæåííûå íà ïîòîê Ft , t ∈ T â íà÷àëå ãëàâû ïîçâîëÿþò âûáðàòü ìîäèôèêàöèþýòîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, íå èìåþùóþ ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà.
Ýòî äîêàçûâàåò ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû.Êàê ìû çíàåì, |ξn (t) − µ(t)| ñóáìàðòèíãàë. Èç íåðàâåíñòâ òåîðåìû15 ñëåäóåò2M sup |ξn (t) − µ(t)|t≤ 4M(ξn (t) − µ(t))2 → 0.Ìîæíî òàê ïîñòðîèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü n(k), ÷òî∞Xk=1M sup |ξn(k) (t) − µ(t)| = M∞Xsup |ξn(k) − µ(t)| < ∞.k=1Èñïîëüçóÿ êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ïî÷òè íàâåðíîå, âèäèì, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ðåàëèçàöèè ξn(k) ñõîäÿòñÿ ê ðåàëèçàöèÿì µ(t).
Ñëåäîâàòåëüíî,9.3.61Èíòåãðàë ïî ìàðòèíãàëóåñëè ïåðâîíà÷àëüíî âûáèðàëèñü ìàðòèíãàëû ñ íåïðåðûâíûìè ðåàëèçàöèÿìè, òî è ïî÷òè âñå ðåàëèçàöèè µ íåïðåðûâíû. Åñëè çàìåíèòü âñå ðàçðûâíûå ðåàëèçàöèè ïðåäåëüíîãî ìàðòèíãàëà íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè(à ýòî íå íàðóøàåò åãî ñîãëàñîâàííîñòè ñ ïîòîêîì, òàê êàê âñå σ−àëãåáðûïîòîêà ïîëíû), òî ïîëó÷àåòñÿ íåïðåðûâíàÿ ìîäèôèêàöèÿ ïðîöåññà µ(t).Òåîðåìà äîêàçàíà.9.3Ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë ïî ìàðòèíãàëóÏóñòü, êàê è ðàíüøå, ó íàñ èìååòñÿ ïîòîê σ−àëãåáð è ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.Ïðîöåññ ξ(t) : [a, b] → R íàçûâàåì ïðîãðåññèâíî èçìåðèìûì îòíîñèòåëüíî ïîòîêà Ft , t ∈ [a, b], åñëè ïðè ëþáîì t ñóæåíèå åãî íà ìíîæåñòâî[a, t] èçìåðèìî îòíîñèòåëüíî σ(F × B[a, t]).Ïðîãðåññèâíî èçìåðèìûé ïðîöåññ îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿëþáîãî t ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ(t) èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî Ft . Äîêàæåìóòâåðæäåíèå, ÿâëÿþùååñÿ â íåêîòîðîì ñìûñëå îáðàòíûì ê ýòîìó.Òåîðåìà 17 Ïóñòü (∀t) ξ(t) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èçìåðèìàÿ îòíî-ñèòåëüíî Ft .
Åñëè ïðîöåññ ξ(t) èìååò íåïðåðûâíûå ñïðàâà (èëè ñëåâà)ðåàëèçàöèè, òî îí ïðîãðåññèâíî èçìåðèì îòíîñèòåëüíî ïîòîêà Ft , t ∈[a, b].Äîêàçàòåëüñòâî . Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ðåàëèçàöèè íåïðå-ðûâíû ñïðàâà. Âûáåðåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé íàøåãî îòðåçêàa = t0 < t1 (n) < ... < tn (n) = bòàê, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà îòðåçêà ðàçáèåíèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðèn → ∞. Ïóñòüξn (t) =nXξ(tj (n))1{tj−1 (n)<t<tj (n)} .j=1Òîãäà ïðè n → ∞ è ëþáûõ t, ω âûïîëíåíî ξn (t) → ξ(t).
Ïîñêîëüêó âñåôóíêöèè ξn (t, ω) èçìåðèìû îòíîñèòåëüíî σ(Ft × B[a, b]), òî ýòî æå îòíîñèòñÿ è ê èõ ïðåäåëó. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïóñòü µ(t), t ∈ [0, b] êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûé ìàðòèíãàë. Áóäåìãîâîðèòü, ÷òî îò èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ õàðàêòåðèñòèêó A, åñëè ñóùåñòâóåò ïðîãðåññèâíî èçìåðèìûé íåîòðèöàòåëüíûé ïðîöåññ a(t),62Ãëàâà 9.Ìàðòèíãàëûòàêîé, ÷òî µ2 (t) − A(t) ìàðòèíãàë îòíîñèòåëüíî ïîòîêà Ft , t ∈ T , ãäåA(t) =Zta(s) ds.0Áóäåì ðàññìàòðèâàòü êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûé ìàðòèíãàë ñ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé õàðàêòåðèñòèêîé îòíîñèòåëüíî íåïðåðûâíîãî ñïðàâà ïîòîêà σ−àëãåáð, ñîñòàâëÿþùèå êîòîðîãî ïîëíû. Äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáóåì, ÷òîáû ïî÷òè âñå ðåàëèçàöèè ìàðòèíãàëà áûëè áû íåïðåðûâíû.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè t > sM((µ(t) − µ(s))2 /Fs ) = M(µ2 (t)/Fs ) − µ2 (s) = M((A(t) − A(s))/Fs ).Ñíà÷àëà îïðåäåëèì èíòåãðàë ïî ìàðòèíãàëó äëÿ ïðîñòûõ ñëó÷àéíûõïðîöåññîâ.
Ðàçîáüåì íàø îòðåçîê íåñëó÷àéíûìè òî÷êàìè0 = t(0) < t(1) < ... < t(N ) = bè ðàññìîòðèì ïðîñòîé ñëó÷àéíûé ïðîöåññη(t) =NXηj 1{t(j−1)<t≤t(j)} ,j=1ãäå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ηj èçìåðèìû îòíîñèòåëüíî Ft(j) , j = 1, ..., N èîãðàíè÷åíû ñ âåðîÿòíîñòüþ 1. Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ,η ◦ µ(t) ≡ 0t η(t)dµ(t) =P= k≤m(t) ηk (µ(t(k + 1)) − µ(t(k))) + ηm(t) (µ(t) − µ(t(m(t))),Rãäå m(t) = max{k| t(k) ≤ t}.Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ η ◦ µ(t) èìååò íåïðåðûâíûå ðåàëèçàöèè è ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûì ìàðòèíãàëîì òîãî æå òèïà, ÷òî è µ.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè t(k) ≥ s, òîM(ηk (µ(t(k + 1)) − µ(t(k)))/Fs ) == M(M(ηk (µ(t(k + 1)) − µ(t(k)))/Ft(k) )/Fs ) == M(ηk M((µ(t(k + 1)) − µ(t(k)))/Ft(k) )/Fs ) = 0.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè t(k) < s < tM(ηk (µ(t(k + 1)) − µ(t(k)))/Fs ) = ηk (µ(s) − µ(t(k)).9.3.63Èíòåãðàë ïî ìàðòèíãàëóÏîýòîìó èç îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà îò ïðîñòîãî ïðîöåññà ñëåäóåò ðàâåíñòâîM(η ◦ µ(t)/Fs ) = η ◦ µ(s), s < t.Ïóñòü s < t < u < v, η èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî Fs , η̄ îòíîñèòåëüíîFu , òîãäàM(η(µ(t) − µ(s))η̄(µ(v) − µ(u))/Fs ) == M(M(η(µ(t) − µ(s))η̄(µ(v) − µ(u))/Fu )/Fs ) =M(η(µ(t) − µ(s))η̄M((µ(v) − µ(u))/Fu )/Fs ) = 0.Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî22M((η ◦ µ(t)) /Fs ) − (η ◦ µ(s)) = MZst2η (u)a(u) du/Fs ,ò.å., ÷òî ìàðòèíãàë η ◦ µ òàêæå îáëàäàåò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé õàðàêòåðèñòèêîé.Åñëè ðåàëèçàöèè ïðîöåññà η(t) íåïðåðûâíû ñëåâà è îãðàíè÷åíû íåñëó÷àéíîé ïîñòîÿííîé, òî èíòåãðàë îò íåãî ìîæíî îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà.
Òî÷íåå, ïóñòüηn (t) =n−1Xk=0η(bk)1{bk/nn< t < b(k+1)/n} ,òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ,η ◦ µ(t) = n→∞lim ηn ◦ µ(t).Òåîðåìà 16 ïîçâîëÿåò ïîíèìàòü ýòîò ïðåäåëüíûé ïåðåõîä êàê ðàâíîìåðíóþ ïî t ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñåõ ðåàëèçàöèé ηn ◦ µ(t). Äåéñòâèòåëüíî,M(ηn ◦ µ(b) − ηm ◦ µ(b))2 = M((ηn − ηm ) ◦ µ(b))2 =R= M 0b (ηn (m) − ηm (u))2 a(u) du −→ 0.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, îïðåäåëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë ïî ìàðòèíãàëó äëÿ âñåõ ïðîöåññîâ η(t),êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïðåäåëàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íåïðåðûâíûõ ñëåâàîãðàíè÷åííûõ ïðîãðåññèâíî èçìåðèìûõ ïðîöåññîâ â òîì ñìûñëå, ÷òîMZ0b(ηn (m) − ηm (u))2 a(u) du −→ 0.64Ãëàâà 9.ÌàðòèíãàëûÊëàññ òàêèõ ïðîöåññîâ ñîâïàäàåò ñ êëàññîì ïðîãðåññèâíî èçìåðèìûõïðîöåññîâ, äëÿ êîòîðûõMZ0bη 2 (t)a(t) dt < ∞.Ïðè ýòîì ïîëàãàþòη ◦ µ(t) = n→∞lim u→∞lim ηn,u ◦ µ(t),ãäåηn,u (t) =Z0tmax{η(s), u} exp{−(s − t)n}n ds.Ëèòåðàòóðà[1] Áîðîâêîâ À.À.
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.:Íàóêà, 1986[2] Âåíòöåëü À.Ä. Êóðñ òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ì., Íàóêà, 1975[3] Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ì.: Íàóêà, 1977[4] Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ â 3 òîìàõ[5] Êàðëèí Ñ. Îñíîâû òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ì.: Ìèð, 1971[6] Îñíîâû òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ - èíòåðíåò-ìåòîäè÷êà è ñïèñîêçàäà÷. Íà ñàéòå ÌÔ ÀÃÓ www.math.dcn-asu.ru65.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
