Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Поэтому численно решать уравнение (15) проще, чем исходное уравнение (6). 3 а м е ч а н и е 2. Уравнение Вольтерра (7) формально сводится к уравнению Фредгольма (6), но ядро прн этом имеет особенность (обычно разрыв) на диагонали х=$. Поэтому для уравнения Вольтерра следует выбирать обобщенную формулу трапеций и проводить уточнение способом Рунге. Многомерные задачи допускают, в принципе, применение описанного 'метода; надо только в (10) и других формулах под х„подразумевать узлы многомерной кубатурной формулы х„. Однако получить удовлетворительную точность' при умеренном объеме расчетов удается лишь для достаточно гладких К(х, «) и Г(х), когда можно использовать кубатурные формулы высокого порядка точности (напрнмер, произведение одномерных формул Гаусса с небольшим числом узлов л по каждой переменной).
В более сложных случаях развивают специальные методы; многие из них используют симметрию задачи и слабую зависимость' решении от части переменных. 3. Метод последовательных приближений. Это простейший приближенный лдетод. Запишем для неоднородного уравнения Фредгольма (6) итерационный процесс: ис (х) =О, и,чд(х) =1'(х)+й')К(х, е) и„(е) Щ.
(16) й 5=Х (рис. 102). Затем в качестнс (10) выбирают обобщенную формулу трапеций (4.7), причем в интервалах, прилдыкающнх к особой липни, используют соответствующие односторонние пределы функций. Вели вне особых линий все функции непрерывны вместе с достаточным числом своих производных, то при сгущении специальной сетки ьюжно уточнять решение способом Рунге.
Полезна предварительно так преобразовать исходное уравнение, чтобы гладкость решения повысилась. Например, если ядро непрерывно, а )(х) разрывна, то и(х) тоже разрывна. Полагая г(х) =-и (х)— — 7'(х), получим вместо (6) уравнение когягктно постлвленпые злдхяи 5 и Нетрудно показать, что при ограниченном ядре и достаточно малом значении !Х ! этот процесс сходится к решению уравнения (6). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Обозначим погрешность п-й итерации через г„(х) =и, (х) — и(х). Вычитая (6) из (16), получим га, (х) =-) ~ К (х, ~) га Я) Л$. а (17) Отсюда следует неравенство !!г„,!!с=-:!)',(Ь вЂ” и) !!К(х, Е)!!с!!г,(х)!!с. (16) Тем самым, если выполнено условие Ч=,'Х (Ь вЂ” и) !!К(х, Е)!!с(1, (19) г„,(х) =1~ К(х, с) га (а)~Ц. а (20) Выкладки, полностью аналогичные доказательству сходимости метода Пикара (гл. ЧП1, э 1, и, 3), приводят к оценке !!га (х)!!с-== ', (! л ! (Ь вЂ” и)!!К (х, Е)!!с)"!!га (х)!!с (21) При п- оо правая часть этого неравенства стремится к нулю прн любых значениях )., что доказывает паше утверждение. Замечание 2.
Оценку (18) можно переписать вследующем виде: !!г„(х) !!с ==- д" !!г, (х)!!с д" (22) Отсюда видно, что метод последовательных приближений для уравнения Фредгольыа эквивалентен разложению в ряд по степеням параметра Х. Это можно строго показать, выражая и„(х) через и,(х) =1(х) при помощи рекуррентного соотношения (16). то итерации (16) сходятся равномерно по х, причем сходимость линейная. При достаточно малом !).! условие (19) выполняется. В практических вычислениях квадратуры, возникающие в этом методе, редко удается выразить через элементарные функции.
Поэтому обычно ограничиваются нахождением первых приближений. Замечание 1. Для уравнения Вольтерра (7) метод последовательных приближений сходится равномерно по х при любых значениях Х. Действительно, в этом случае вместо (17) справедливо соотношение 460 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Х!У Пример. Рассмотрим уравнение и(х) — Л~ е-!"!ми(е) ие=х. о (23) Применяя процесс (16), получим и„(х) =О, иь(х) =х, и,(х) =х+Лг-", и, (х) = х + Ле + — !Ре -, и, (х) = х + ~) + — А- + 4 Л~) е 1 ь 1 .„1 н т. д. В этом случае удается найти точное решение Ль Ла и (х) = х+(Л+ — + — + ...1е-" = х+ — е-".
(24) 2 4 '''1 2 — Л Нетрудно заметить, что последовательные приближения здесь сходятся только при ~Л) ( 2. 4. Замена ядра вырожденным. Ядро уравнения Фредгольма называется вырожденным, если оно является суммой конечного числа членов вида К(х, Ц= ~Ч~~ Ал(х) В„($) л= ! (25) (для уравнения Вольтерра ядро не может быть вырожденным, иначе оно тождественно равнялось бы нулю). Решение уравнения с вырожденным ядром находится за конечное число действий.
В самом деле, подставляя ядро (25) в неоднородное уравнение (6), представим решение в виде суммы конечного числа членов: и (х) =Г(х)+Л ~Ч" „а„А (х), л= ! ь сьл = ~ В„ ($) и ($) г(е. а (26а) (266) Г ь 1 ь ~, '~6„— Л) В„(З) А,л(~) ьча,л=~ В„(З)1($) ьф, 1 =.и =!тг. (27) ~л .=. ! а а Решая эту систему и подставляя найденные значения ал в (26а), найдем искомое решение. Для однородного уравнения Фредгольма (8) надо положить во всех формулах Г(х)=0. Тогда система (27) становится однородной и представляет собой задачу на нахождение собственных Подставляя (26а) в (26б), получил! линейную систему для нахож- дения коэффициентов сь„: 461 4 и кОРРектнО постлвленные злдлчи значений матрицы У-го порядка.
Отсюда видно, что вырожденное ядро (25) имеет ровно 1Е' собственных значений Х1. Произвольное ядро нередко удается хорошо аппроксимировать вырожденным ядром. Например, разложим К(х, $) в ряд Фурье по некоторой полной ортонормированной системе функций В„($); коэффициенты этого разложения будут функциями от х: ОЗ ь К(х, 5)= У„А„(х)В„($), А„(х)=~В„"Я)К(х, $)|ф. (28) л =- 1 В качестве (25) можно взять отрезок разложения (28). Тогда формулы (25) — (27) позволяют найти приближенное решение. Оценки точности таких приближений мы не рассматриваем, поскольку они громоздки и неудобны в практических вычислениях.
Замечание. Пусть в неоднородном уравнении (6) свырожденным ядром (25) правая часть 7(х) =„йО и такова, что выполняется ') ) (с) В„$) 11Ч = О, 1 ~ 11 ( 11(. (29) О Тогда при Х, равном одному из собственных значений ядра Ц, система (27) имеет нетривиальное решение, причем не единственное. Тем самым, в данном случае существует решение и(х) уравнения (6). Г1р имер. Рассмотренное в п. 3 уравнение (23) имеет вырожденное ядро К(х, $)=е-"е-». У него должно быть ровно одно собственное значение; Определим его. Полагая в (27) й| = 1 и Г(х) =О, легко получим со 1 — Х,( е '»|(а|с»1=0, о ! откуда Л,=2. Заметим, что точное решение (24) неоднородного уравнения (23) при Х=-Х1 не существует.
5. Метод Галеркина (который для интегральных уравнений Обычно называют методом л|ол|ентов). Будем искать решение в виде разложения по полной системе функций фл(х): и(х) =) (х)+Х ';1, 'с»,фл(х); (30) Л=| поскольку от и (х) не надо специально требовать удовлетворения каким-либо краевым условиям, то от системы фл(х) ничего, кроме полноты, требовать не надо. Подставляя разложение (30) в неоднородное уравнение Фредгольма (6) и требуя ортогональности невязки ко всем функциям 46а интеГРАльные уРАВнения |гл. х|ч «р» (х), 1 =- л == Г|Г, получим линейную алгебраическую систему уравнений для нахождения сь»! 'У'„а»|ь» —— -Г«„, 1~л«="й(, »=1 ь ьь Я»=) «р (х) «р»(х) г(х — ).~ ~К(х, $) «р (х) «р»($) г(ХЩ, (31) а аа ьь Ь =') )К (х, 2) «(! (Х)Г'д) »ГХ й.
а В случае задачи на собственные значения (8) надо полагать в (30) и (3!) Г'(х) =О, Г«(етод применим и к нелинейному уравнению (1), но тогда он приводит к нелинейной алгебраической системе. Основной трудностью, препятствующей применению метода моментов, является сложность вычисления двукратных интегралов, входящих в (31). Поэтому обычно ограничиваются малым числом членов суммы (30).
3 а м е ч а н и е. Если система «р» (х) ортогональна, то метод моментов эквивалентен приближенной замене ядра на специальное вырожденное ядро: К (х, $) = ~', «р» (х) Ч'» (3), (32) Ч'» а = $ К (х, 2) р» (х) Гх. 5 2. Некорректные задачи 1. Регуляризация. Если в интегральном уравнении (1) правая часть г" (х, и (х)) не зависит от решения, т. е, и (х) входит только под знак интеграла, то задача оказывается некорректно поставленной, Классическими примерами некорректных задач являются уравнение Фредгольма первого рода: ь ) К(х, $) и (~)г(а=~(х), с(х(|Г, а (33) и уравнение Вольтерра первого рода: ')К(х, В)и($)«1$=((х), с~х~ь(. (34) а В отличие от уравнений второго рода, ядро уравнения Фредгольма (33) задано на прямоугольнике (с~х(ь(, а"=1(«1 а уран НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ ненни Вольтерра (34) — на трапеции [с==х-.-ег, а($ (х]*), при- чем функции гь(2) и 1(х) определены на разных отрезках и при- надлежат разным классам функций У и г".
Покажем, что задача (33) неустойчива по правой части и, тем самым, некорректна. Для этого рассмотрим высокочастотное возмущение с конечной амплитудой би Д) = ехр (1гое), оэ ,=~ 1. Еьгу соответствует возмущение правой части ь ь 61 (х) =~К(х, 4) би(е) с$= ~К(х, Е) ег"ЕЕ$. а а Интегрируя по частям, получим ь 67(х) = —,. ег"З К(х, с)1 — —. ~ ' ег"е.гЦ=О( — ). (35) а Это означает, что для достаточно больших частот величина з 6(~1 = — 0 (1!го) оказывается сколь угодно малой. Следовательно, су- ществуют такие сколь угодно малые возмущения правой части 61 (х), которым соответствуют большие возмущения решения би Я), т.
е. задача (33) неустойчива. Для уравнения Вольтерра (34) справедливы те же рассужде- ния. Напомним, что в главе П1 мы уже сталкивались с некор- ректностью задачи численного дифференцирования функции 1(х); эта задача сводится к решению уравнения к ~ и (с) г( $ = г (х), (36) а т. е. является частным случаем уравнения Вольтерра первого рода, с ядром К(х, с) = 1 (при 3 ~х), Кроме того, задачи (33), (34) имеют решение не при любых непрерывных правых частях 1" (х). Так, задача (36) имеет реше- ние только для днфференцируемых 1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
