Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Сл едет в не. Задача (42) корректно поставлена. В самом деле, подставим в теорему 2 всюду вместо А регуляризирующий алгоритм (42). Тогда малость 11 й„— и 11 означает, что регуляризованное решение й„непрерывно зависит от [. Замечание 1. Теоремы 1 и 2 справедливы не только для линейных интегральных операторов (40), но вообще для непрерывного оператора А, при котором решение задачи А [и] =[ единственно (если существует). Соответственно от стабилизатора (2 достаточно требовать, чтобы множество функций и, для которых ь) [и] = соне(, было компактно в У. Замечание 2.
Сходимость в пространстве ))7~' означает, что и-я производная сходится срсднеквадратично, а сама функция И1ПЕГРЛЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Х1У и ее производные вплоть до (и — 1)-й — равномерно. Таким образом, использование стабилизатора (42б) обеспечивает слабую рсгуляризацню при и=О, сильную при и=-1 и (и — 1)-го порядка гладкости при и) 1. Выбор а. В ряде прикладных задач известно, что правая часть имеет характерную погрешность [[1 — 1[[ — 6. Если при этом выбрать а настолько малым, что нарушится критерий (45), то устойчивость расчета станет недостаточной, так что регуляризованное решение й, будет заметно «разболтанным». Если а настолько велико, что не соблюден критерий (48), то регуляризованное решение й, чрезмерно сглажено, что также нежелательно; например, если точное решение 17, имеет узкие максимумы (тнпа резонансных пиков в физических задачах), то у й„они лсогут отсутствовать илн иметь существенно меньшую высоту.
Вдобавок непосредственно проверить выполнение критериев (45) и (48) не удается, поскольку функция р (н) неизвестна (и, вообще говоря, зависит от С и 1). Поэтому оптимальный выбор параметра рсгуляризации а является сложной проблемой. Обычно на практике проводят расчеты с несколькими значениями параметра, составляющими геометрическую прогрессию (например, а = 10-', 10 ', 10 ', 10-4, 10 в). Из полученных результатов выбирают наилучший либо визуальным контролем, либо по какому-нибудь правдоподобному критерию.
Примером такого критерия является требование, чтобы невязка, полученная при подстановке найденного й„в исходное уравнение, была сравнима с погрешностью правой части: сл 1 1/2 г 6, г=(~~ (А [х, йо(9)] — ) (х))вс[х~ . (49) с Очевидно, воспроизводить правую часть с точностью много выше 6 бессмысленно; поэтому, если в расчете получено г мб, то следует увеличить а. Наоборот, погрешность много больше 6 недопустима, так что если г..
6, то надо уменьшить а. Визуальный контроль заключается в том, что выбирают наименьшее значение а, при котором еще не наблюдается заметной «разболтки» регулярнзованного решения й„. В ы б о р и. При чрезмерно большом и регуляризованное решение сильно сглаживается.
Значение и = 0 обеспечивает лишь среднеквадратичную сходимость й (9) к и(Ч). Поэтому наиболее часто используют и = 1. Помимо варнационного способа регул яризации существует ряд других: метод подбора, метод квазиобращенля, методы с использованием преобразований Лапласа и Мсллнна и т. д. Они рассмотрены в [391 и цитированных там работах. 469 некоРРактныв зАдАчи $2] 3. Уравнение Эйлера. Учитывая явный вид (40) оператора А, перепишем задачу (42) следуюин»ы образом: л ь ь гь 12 ОЬ,У, ~ р»(6)1и'"'($)121(6+~ах~~ К(х, а) и Я)ь(6 — Г(х)) =ппп. (50) »=О а с а Составим для этой вариационной задачи уравнение Эйлера.
Для этого приравняем нулю вариацию левой части по и(6)1 л Ь ьь ~~ ') р1г(6) ион (6) би1»> Я) Щ+ »=О а О Ь ,ь + ) ь(х(') К (х, 2)) и (П) 112) — 7 (х)~ $ К (х, 6) би ($) ь($ = О. (51) с [а а Интегралы, стоящие под знаком суммы, вычислим последовательным интегрированием по частям: ~ р» ($) ион ($) биоп ($) ЬЦ = а »-1 ь=ь ( — 1)' би " - ' - "> ($) †„ьг '(р» ($) и'"' (6)1 + г = О 4 = а ь + ( — 1)» ) би (6) — „.— »- 1р» (Е) и'»1 (6)1 Щ. (52) а Подставляя (52) в (51) и меняя порядок суммирования в двойной сумме по краевым вариациям, найдем л л »=Ь и,~'„би1"' (Ы,~ ( — 1)'-', Ь й и1" (ВН + г=1 »=г о=а и ь +сь ~~ ( — 1)» ~ би ($) — [р»($) и~»1 $))Л$+ »=О а О Ь ь +$ 1(х$ К(х, 11) и(й) ь(п $ К(х, Ц) би (6) ь(6= с а а = ~ 1' (х) ь(х ~ К (х, $) би (6) 1(6.
с а Полагая в этом выражении б-функцию в качестве вариации би($), получим искомое уравнение Эйлера; оно будет интегро-дифференциальным1 л ь 1 ( — 1)' —,( % но(6)1+~О(б, 2))и(Ч)ь(н=б»а, и Р Ь, ».= о а (53а) 470 СГЛ. ХСЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ с ядром и правой частью с,с(5, тс) =- ~ К (х, $) К (х, тс) с(х, Ф (~) = ~ К (х, $) ~ (х) с(х (53б) и краевыми условиями с(,[и(а)1=д,[и(Ь)1=.0, 1с--.г~п; сус[и1= ст' ( — 1)' — (р„иС'1).
А=с (53в) Заметим, что ядро Я(а, т1) определено на квадрате [а, 5; а, о1, симметрично и непрерывно, а правая' часть Ф ф непрерывна. Формулировка задачи (42) в виде уравнения Эйлера (53) позволяет доказать, не пользуясь аппаратом функционального анализа, что построенный алгоритм является регуляризирующим; при этом для простоты будем полагать ра(а) = — 1. Теорема 1. Задача (53) корректно поставлена при любом сс) О.
Доказательство. Сначала рассмотрим простейший случай и=О. При этом исчезают все краевые условия (53в) и производные в уравнении (53а), и задача (53) превращается в интегральное уравнение Фредгольма второго рода: асс са) + ~ Я ($, П) и (тс) с(тс = Ф Я) (54) а с ядром и правой частью (53б). Пусть )ч, ис(ь) — собственные значения и собственные функции ядра С„с Я, тС). Поскольку ядро имеет вид (53б), то они удовлетворяют уравнению в а ссс (а) =- » 3 и (с1) с(ч $ К (х, 5) К (х, ч) с(х. а с Умножая обе части уравнения на и;Я) и интегрируя, получим Ь а (6 12 О - ~ и'; (5) Щ =- йс ~ с(х ~~ К (х, ~) и; Я) дт) .
а с а Отсюда видно, что все собственные значения ядра с,с(Е, с1) положительны. Поэтому, согласно теории интегральных уравнений ФРедгольма (см. 3 1, п. 1), при любом сс . О уравнение (54) имеет решение сс, (а), причем это решение единственно и непрерывно зависит от правой части Ф(5) и, тем самым, от )(х). Таким образом, при и=О задача (53) и эквивалентная ей задача (42) корректны.
НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ При п~ О задачу (53) также можно свести к интегральному уравнению. Построим функцию Грина 6 (е, т) для дифференциального оператора, стоящего в левой части (53а), прн краевых условиях (53в). Рассматривая все интегральные члены в (53а) как правую часть дифференциального уравнения, выразим через нпх решение при помощи функции Грина: аи(а)+~ и(П) Й1~6$, т)1е(т, г1) дт=-~ 6(ь~, т)Ф(т)с(т. (55) Таким образом, и ($) удовлетворяет уравнению Фредгольма второго рода, причем его ядро имеет только положительные собственные значения.
Следовательно, задача (53) корректна при любом и, если и ~О, что и требовалось доказать, 3 а м е ч а н и е 1. Интегро-дифференциальное, уравнение (53а) содержит производные решения вплоть до порядка 2п. Поэтому иа (ч) имеет 2п непрерывных производных. Теорема 2. Пусть А[х', и1=г; тогда при п=1 и положительно,и а-э- 0 решение и, (Ц) задачи (53), соответствуюи1ее .
правои части 1'(х), равномерно сходится и и ф. Доказательство. При и=-1 решения Н,Я) задачи (53) с любой правой частью являются дважды непрерывно дифференцируемыми. Применяя неравенство Коши — Буняковского, найдем е '$+ь ,,2 твь $-Рь ~и„'(т) ~ с(т1 1=-' ~ с(т ~ ~ и' (т) ~'дт =- $ 1 $ ь «б ~ [иа(т)1~ дт «б 01[иа1. (56) а Рассмотрим множество решений й„(ч), соответствующих одной и той же правой части ((х), но разным значениям параметра и) О.
Полагая 1=( в неравенстве (44), получим (57) -1 [пав «г1» 121=1м [4. Из неравенств (56) и (57) следует $+ь ( и„(ч+ 5) — й„Я) ( -.= ~ ( и„' (т) ( е(т «1' бйт, (58) что означает равностепенную непрерывность множества функций и,ф. Кроме того, согласно определению функционала о, при рь'й =1, (Ь вЂ” а) ппп (й, (й) Г й, [й„1 «Р,, (59) 472 интегРАльные уРАВнения 1гл. х!ч Из (59), (57) и (42б) вытекает, что щах)й,(~) )а-щ)п(й (5)(+ ~~й„'Д) (г(5 ~)/'Ь вЂ” а + 13' 1)г, )> г — а! а (60) Ю Га 77 ГЯ Га Я 7а Яа т.
е. функции й,(з) равномерно ограничены. Теперь предположим, что функции и,(с) не сходятся райномерно к йф прн а- О, т. е. для некоторого а~О найдется такая последовательность аа->-0, что ~|и„($) — и Я) ~!с~а. "А Построим на отрезке а=:-~=с Ь последовательность сгущающихся вдвое сеток. Узлы этих сеток образуют счетное множество точек. Перенумсруем эти узлы, как указано на рис. 103. Тогда для отрезка этого множества, состоящего из первых Л> узлов, 5 4 длина интервала между соседними узлами не превышает э а 7 В б = 2 (Ь вЂ” а) /Л7, Из последовательности ограниченных в совокупности функций и,,(сь) можно выбрать подпослеРис. >Оз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
