Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Пусть все величины на исходном слое известны. Тогда из разностного УРавнениЯ импУльса (66а) находим Ол во всех интеРвалах; затем нз второго уравнения (666) определяем г„, а из уравнения (66в) — рл. Последним решается уравнение энергии (66г). Формально оно является неявным алгебраическим уравнением для определения ел (рл, р„) в данном интервале. Но при каждом значении индекса п уравнения (66г) решаются независимо, не образуя связанной системы уравнений, так что разностная схема, по существу, остается явной. Замечание 1. Уравнение энергии в (66) можно сделать явным, используя в нем только значение д„с исходного слоя: ~1 1'1 Ел Е +К» (68) 'Рл Рл/ Это несколько упрощает расчет, не влияет на устойчивость, но заметно ухудшает точность, так как погрешность аппроксимации становится 0(т+и») даже на гладких течениях.
Такой вариант используется редко. Устойчивость схемы можно исследовать методом разделения переменных„линеаризируя схему н замораживая коэффициенты. Громоздкие выкладки приводят к условию устойчивости типа Куранта. Например, на гладких течениях с нулевой вязко- ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ~ГЛ. ХП! стью схема устойчива при Рис.
99 Для идеального газа Б=рУ'7(у — 1) и условие (69) принимает вид ст~ Ьг, где с=3 ур!р есть адиабатическая скорость звука. На течениях с ненулевой вязкостью ограничение на шаг несколько более сильное; при квадратичной вязкости условие устойчивости принимает вид -' — «р~/ д— '/~р+сд+ — "')юг(+В+)гз) ', др ди (70) В =4 (Рорйо)»(д — )/(р+»а+ —.,) (2)сойо/с)», где Ао — скачок скорости на ударной волне. Хотя это исследование не является строгим, тем не менее данное условие устой- чивости хорошо подтверждаетргл; »/ ся на практике. Таким образом, «крест» — условно устойчивая схема.
Отметим любопытное обстоятельство. Для расчета гладких течений вязкость не нужна. А если рассчитать без вязкости ударную волну (выбирая небольшое т!Аг, удовлетворяющее условию (70)), то получим «разболтку», изображенную на рис. 99. Этот расчет устойчив, поскольку амплитуда колебаний не возрастает со временем.
Но сходимости к физически правильному решению при т-» О, Ь-»0 нет, так как на разрыве потеряна аппроксимация. Сходи мост ь газодинамической схемы «крест» не доказана. Однако эта схема успешно используется в расчетах примерно с 1950 г. и проверена на многих трудных задачах с известными точными решениями. При стремлении шагов к нулю наблюдалась сходимость к правильному решению, если шаги удовлетворяли условию устойчивости.
3 а меч ание 2. Схема (66) неконсервативиа; однако ее дисбаланс стремится к нулю при т=сопз1 Л-»0. Замечание 3. Газодинамические задачи с очень тонкими слоями особенно трудны для расчета. В самом деле, если г„.,= и„, то для вычисления Р„с удовлетворительной точностью по формуле (66в) надо знать радиусы с очень высокой точностью, сравнимой с ошибками округления на ЭВМ. В подобных задачах иногда приходится вести расчет с двойным числом знаков или специально видоизменять разностную схему.
одномгрныв уравнения газодинамики 447 4 21 о„=о„+ — г, (д т — я„), д=р+гп; гл гл+ тол1 р„= (у+ 1) лт/(г„'ч+~ — г„т ); гол = РеРл (脄— пе)е пРи о„ы ( и„, иначе гн„= 0; 1 1 "+ 4 ( "тг+ ") " 4 ( "тт+ г г"т" "т + я и глпл(дл-т+дл) — глетплег(йл+йаы)] (71а) (71б) (71в) (71г) (71д) Это — консервативная схема. Первые два уравнения взяты чисто неявными для хорошего подавления «разболтки» счета. Уравнение энергии симметрично по времени; чисто неявным его брать невыгодно, по- гл,олаллл скольку при этом точность расчета зал пл» метно ухудшается. Вычисление разностного реш е н и я здесь 'существенно сложней, чем гз,л,а„д, для явной схемы (66). Аналогично задачам акустики (з 1, п. 3, замечание 1) можно показать, что применять метод Рис. 100 последовательных приближений для решения всей цепочки уравнений (7!а) — (71д) невыгодно: итерации сходятся при выполнении условия ст(Лг, что лишает неявную схему всех ее преимуществ.
Поэтому систему (71) линеаризируют и, как в задачах акустики, преобразуют к форме, решаемой прогонкой. Рассмотрим ход решения в случае разных режимов газодинамических течений, для простоты ограничиваясь плоским случаем (и=0). Изотермический случай. Если температура вещества постоянна *), то давление р=р(Т, р) зависит только от плотности. Прн этом уравнение энергии (56) становится излишним, ") Это приближение справедливо в случае очень высоких температур, когда тепловые потоки настолько велики, что практически мгновенно выравнивают температуру во всех точках пространства. 4.
Неявная консервативная схема. Есть ряд задач, в которых локальная скорость звука в некоторых участках много больше скорости наиболее важных физических процессов. В таких задачах условие Куранта слишком сильно ограничивает шаг и выгоднее использовать абсолютно устойчивые схемы. Составим неявную схему. Припишем все сеточные величины целым слоям по времени и выберем шаблон, изображенный на рис. 100. Аппроксимируем консервативную систему (53) — (56а) следующими разностными уравнениями; 448 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ )гл. хн! решаемую прогонкой.
Пренебрегая пока вязкостью (т. е. полагая у=р), организуем вычисления следующим образом. Выберем в качестве нулевого приближения О„"' = Ол, р„'" = рл, дп"' = рл. (75) Затем определим из уравнений (74) значения бо, а по ним при помощи уравнений (71в), (71б) найдем "(и+!) тл рп — "(! ..!) (и+!)' тп+! л о('+" = о„"+ бо„ "(и+П "(и+П )'л — — ('и+ тОл (76) Это позволяет вычислить ди~ ) =р (р('+ )) и выполнить следующую итерацию. Сходимость итерационного процесса (74), (76) исследована в [34]. Этот процесс является ньютоновским; поэтому он сходится, если начальное приближение [75) недалеко отстоит от корня, т.
е. если шаг т не слишком велик. Это приводит к некоторому ограничению на т; однако, как показано в [34], такое ограничение несравненно слабее, чем условие Куранта. Имеются примеры успешных численных расчетов задач с тонкими слоями, в которых шаг т в !О' раз превышал значение, допускаемое локальным критерием Куранта (69). поскольку система (53) — (55) при заданной зависимости р(р) полностью определяет решение. Соответственно в численном расчете следует ограничиться уравнениями (71а) — (71г). Положим оп=о(')+бе„. Подставляя это выражение в уравнение (71а) и линеаризнруя это уравнение относительно приращений всех величин на новом слое, получим Из уравнений (71в) и (71б) найдем вариации брл = — т (бтл, — бтл)((тл,, — тп)', бт„= т бол.
(73) Подставляя их в (72), получим для определения бо линейную систему с трехдиагональной матрицей: хл — )бол-т (1+ил-!+)(п) боп+хлбоп ! = "Ш т Г" (!) "Шт (74) ! т )(ай (') кллл „(, „(,) ) ~- —.) )О, , т„'+) ! — т(') др,'п одноме)ч)ые велвнения глзодинлмики 449 Включение вязкости (71г) можно провести двумя способами. В первом способе линеаризация выполняется так, как описано выше, а к давлению добавляется вязкий член, взятый с предыдущей итерации: Ы Р(Р )+))ор (о +) о» ) и) ш и) и) *и) (77) Это означает, что вязкость включена в итерационный процесс методом последовательных приближений. Такой способ прост„но ухудшает сходимость итераций: уменьшает скорость сходимости и усиливает ограничение на шаг т, хотя не слишком сильно.
Второй способ — полная линеаризация — сложнее, но надежнее. Линеаризируя уравнение (71а), учтем зависимость а не только от р, но и непосредственно от о через вязкость (?1г): При этом вместо (72) и (74) получаются более громоздкие выражения, которые мы не приводим. Однако такой процесс является чисто ньютоновским и хорошо сходится. Не и вот ер ми чески й ел уча й требует включения в итерационный процесс уравнения энергии (71д), что часто делают способом двухкруговых шпераций (последовательных прогонок). Сначала считаем энергию е„(или температуру) известной во всех точках нового слоя.
Тогда в каждой точке р (е„, р„) =р„(р„), т. е. применимы формулы изотермического случая (74), (76); по ним проводят первый малый круг итераций. Когда эти итерации сойдутся, полученные значения г, о, р подставляют в уравнение энергии (71д). Неизвестными в нем остаются значения е; их можно определить, линеаризируя уравнение (71д) с учетом зависимости р(е): о»»19»ы бе»»1+ (1 + о»»тз» Р»9») бе» о»9»-т бе»-) = » е» + 4 (о»+) о») 4 (о»+1 о»)+ в" гн + — [О»(у»-) +у» ) — о»мЯ» +у»+))1~ 2т 2)» ) дв )» (79) Итерации (79) образуют второй малый круг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
