Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Поэтому многие вычислители предпочитают использовать безусловно устойчивые неявные схемы. Построим хорошую неявную схему для задачи (1). Возьмем изображенный на рис. 92 шаблон и составим схему с весами при 428 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ. ХН1 пространственных производных на разных слоях: —, (у — 2у+ у) = Л (оу + (1 — 2о) у+ оу ~+ ), 1 (12) Лул= !1» Ьл"1 2ул+Ул-1)! чтобы все веса были неотрицательны, следует брать О - 1г«1/». В граничных узлах решение определяется из краевых условий (26). Исследуем построенную схему.
Значения решения на нулевом и первом слоях вычисляют, как и в п, 1, по формулам (3) и (4б). На остальных слоях схема (12) с краевыми условиями (2б) образует относительно у линейную систему уравнений с трехдиагональной матрицей, в которой диагональные элементы преобладают; решение этой системы существует, единственно и вычисляется методом прогонки. Разложением решения по формуле ТейлоРяс 82 ра нетрудно установить, что на решениях с непрерывными четвертыми производными схема (12) аппроксимирует уравнение (!а) с погрешностью 0(т»+Ь») при любом о. Устойчивость проверяется методом разделения переменных.
Делая подстановку (7), получим для множителя роста квадратное уравнение Рд 2сгдуд+ 1 = О> 1 — 2 (1 — 2д) Рд дт . 41! (13) На основании тех же рассуждений, что и в п. 1, можно сделать следующий вывод: устойчивость будет только при комплексно сопряженных корнях, т. е. при !сд ~ «1. Отсюда вытекает условие устойчивости схемы: ( — ~ (! — 4о) 1. (14) Из неравенства (14) видно, что при о)'/л схема (12) безусловно устойчива.
Если а(1)„то схема условно устойчива при ст=- «й (1 — 4о)- ч . Таким образом, при выборе веса 1(, -.= о«11» неявная схема (12) безусловно сходится с точностью 0(т»+Ь»). Замечание !. Схема (12) при о=-О переходит в схему «крест», а условие, устойчивости (14) — в условие Куранта (9).
429 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Замечание 2. Обобщим неявную схему (12) на случай задачи с переменной скоростью звука: —,= —,)-~й(х, 1) — — ")+[(х, (), й(х, 1)=с'(х, 1))0, (15) где коэффициенты й(х, 1), 1 (х, 1) переменны и кусочно-непрерывны вместе со своими вторыми производнымн, причем разрывы неподвижны (т. е. лежат на линиях х=сопз1).
Предполагается, что на этих разрывах выполняются условия сопряжения [и) = О, [яи,) = О. Выберем по 1 равномерную сетку, а по х — специальную неравномерную сетку (у которой все точки разрыва коэффициентов являются узлами). Построим аналог наилучшей консервативной схемы (11.34), используя во всех пространственных операторах значения я(х, 1) со среднего слоя: —, (у — 2у+у) =Л [ау+ (1 — 2о) у+ну)+<р, (1) 1 [ (1 ) Улп! (О Ул (б и (1 )Уп (О Уп-! (!)~ л л 1 1= (т-» )т (тм Лп = хлк! хл~ йп = (йп+ йл — !)~ 2 и.!.! ! 1 1' !1к !т ! кл+Ч, 1 <рл= — !(1 ~ ) (~, 1) !(~. т л ! !."! 'л и (16) к к о(х, 1)=)и!($, 1)сЦ, г(х, 1)=)1($, 1)Щ, (17) о а Известно, (см. [30)), что при сделанных предположениях (и достаточно гладких начальных и граничных данных) эта схема равномерно сходится со скоростью 0(т'+шахйк), если выполясно условие устойчивости (14).
Из схемы (16) нетрудно получить схемы для гладких и для постоянных коэффициентов на произвольных неравномерных по х сетках. В случае )1 = сопз1 и равномерной сетки схема (16) совпадает со схемой (12). 3. Двуслойная акустическая схема. Уравнение второго порядка (1а) можно заменить эквивалентной ему парой уравнений первого порядка. Для этого введем потенциалы скоростей и правой части: 430 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ Х111 Функции и(х, 1), о(х, 1) удовлетворяют системе уравнений акустики и1 = Ол, О1 = Сги, + Р (Х, 1).
(18а) Начальные условия (!б) с учетом (17) примут вид к и (х, 0) = р,д (х), о (х, 0) = ) р,(с) с(а, 0 (18б) а граничные условия (1в) останутся без изменения: и (О, Г) = р, (1), и (а, 1) = р, (1). (18в) нередко оказывается более удобной для чем волновое уравнение (1); в частности, она позволяет построить двуслойные разностные схемы, допускающие неравномерную сетку по Г. Неявная схема. Будем рассматривать в узлах неравномерной пространственной сетки величины у, = —.и(хл, 1), О=п=аХ, а в серединах интервалов — ве- 1), О~п~Л1 — 1.
Возьмем шаблон, изоби составим на нем схему с весами Задача акустики (18) численного решения, л л УП ЕП апик хп гп л 1/К гп Рис. 93 личины гл о(хл+ и раженный иа рис. 93, г.)= — „-[о,(у,.„— у,)+(1 — о,) (у.,— у.)1+1р, л Ул) [ол(г л г л-1) + (1 02) (гл гл .1Н~ л 1 Ь Х +1 Х й л (6 +й -1) (19а) (19б) у =яе'л л 1Лк гл=рЕ, ул=рул, г,=ргл, (20) подразумевается, что 0-=. о; == 1, 0-.=.
д, ==. 1. Исследуем эту схему, подробно останавливаясь только на наиболее важных деталях и для простоты ограничиваясь равномерной по х сеткой. Схема (19) составлена симметрично по переменной х, если положить 1рл =- г (х, ч л, 1); поэтому нетрудно сообразить, что она имеет аппроксимацию 0(т+Ь'). Если взять о,=о,=", и 1р„=г (х„+ и, 1„+т/2), то схема становится вдобавок симметрйчной по времени и приобретает аппроксимацию 0(т'+/1').
У с т о й ч и в о с т ь исследуем методом разделения переменных, рассматривая возмущения функций у и г в виде гармоник ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 43! с одной и той же частотой и множителем роста, но с разными амйлитудами я и р. Подставляя (20) в (19) и полагая»р,=О, получим для амплитуд систему линейных однородных уравнений -- (р — 1) а — —. (а,р + 1 — а,) (1 — е-'» ) р = О, ! ! и (21) — „(а,р + 1 — о;) (е!»А — 1) а — — (р — 1) !) = О.
(25) и становится явной. В самом деле, величины 2, явно выражаются из уравнения (2ба) через значения величин на исходном слое. Чтобы она имела нетривиальное решение, ее определитель должен обращаться в нуль. Это дает квадратное уравнение для нахождения множителей роста р: ер' — 2!Ар+ у = 0; (22а) е = 1 + 2у»а,а, ) 1, р = 1 — у» (а, + ໠— 2а1а»), т = 1+ 2у» (1 — а,) (1 — ал) ~ 1, у» — — 2 ~ — з1п -2 — ) ) О. ! лт .
»А !» (22б) Оба корня уравнения (22а) меньше единицы по модулю тогда и только тогда, если т~е, 2(р)(е+т. (23) Первое из этих неравенств очевидно, поскольку по теореме Виета р„'р» — — у/е; второе доказывается несложными, но громоздкими выкладками. Неравенства (23) выполняются для всех гармоник только в том случае, если а,+а,~1, ( — „— ) (2ат — 1)(2а,— 1)~ — 1, (24) что является условием устойчивости схемы (19).
При выполнении этого условия схема сходится со скоростью, соответствующей порядку аппроксимации. Из неравенств (24) вытекает, что если а, ~ '/, и а, — '/, то схема (19) безусловно устойчива. Если а, + а,'=- 1, но один из весов меньше '/,, то схема условно устойчива при ст Ь/)' (2а, — 1) (1 — 2а,). Если а,+ае«„-1, то схема безусловно неустойчива.
Рассмотрим два частных случая схемы (19). Явная схема. Положим а,=О, а,=1; тогда схема (19) принимает вид т (Ел Ел) = А (!/л+1 ул)+Гл+1у,', 0~~!! -/!/ — 1, (2ба) — (р,— р)= —,(г,— Ел т), 1(п~/!/ — 1, (266) 1гл, х»и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ После того, как вычислены все значения гл, можно найти ул также по явным формулам (266). Из (26) следует, что схема (26) устойчива при выполнении условия Куранта ст ( й. Заметим, что схема (26) является схемой типа «крест».
В самом деле, будем считать, что величина г„=с(хл+ и, 1 ) сдвинута на полшага по х, а величина у„=и(х„1„4 и) — на полшага по 1 относительно узлов сетки (рис'. 94). Тогда этой схеме соответствует шаблон из двух крестов, показанных на рисунке жирными линиями. Зададим согласованные с этим шаблоном граничные данные: р„=)»з((~еч,) р~~=)»«((меч,) (26в) и начальные данные, уточненные аналогично (4б), где надо вместо т взять т(2: Уй»=Р»(Х»)+ й )Х»(Хл)+ В ~С,Ц~» +1(Х» )1 кл-~-Ч~ (26г) е."= ~ р (~) $.
к» Тогда схема (26) при выполнении условия Куранта ст(й сходится со скоростью О (т»+Ь»). Симметрич н а я схема. Положим о,=а»='7»; тогда схема (19) является безусловно устойчивой и сходится со скоростью О (т»+ Ь»). Эта схема двуслойна, поэтому она позволяет произвольно менять шаг т в ходе расчета, обеспечивая при этом точность 0(тахт,"„). Кроме того, поскольку значения у«и г' соответствуют моменту 1= О, начальные данные для расчета берут непосредственно из постановки задачи (18): Й» "л»- Ч, дл = )х» (хл), ел = ~ р» (5) с(«, (27) Рис.
94. без каких-либо сдвигов по времени; такая аппроксимация начальных условий является точной. Однако при любых значениях весов п„о» (если только один из них не равен нулю) схема (19) неявна. Рассмотрим, как целесообразно вычислять разностное решение в этом случае. Определим г„из уравнения (19а) и напишем аналогичное выражение для г„». Подставляя эти вь|ражения в (19б) и полагая ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ для простоты Ь = сопз(, получим —, (у — ул)= „ь ол(о~(ул+1 — 2у +у -~)+ 1 + (1 — О,) (Ул„— 2Ул + Ул,)1+ — (гл — гл,) + т + и Оа (Ч'л Ч~л-~) Это линейная система относительно неизвестных у, имеющая трехдиагональную матрицу с преобладанием диагональных элементов; ее решение легко вычисляется прогонкой.
Найдя у, нетрудно определить е по явным формулам (19а). Таким образом, симметричная схема (19) приводит к несложному' вычислительному алгоритму, безусловно устойчива и имеет хорошую точность. Она является одной из лучших схем для расчета задач акустики. По аналогии с ней строятся надежные однородные схемы расчета газодинамических и других сложных задач. 3 а м е ч а н и е 1. Разиостное решение схемы (19) можно, вообще говоря, вычислять методом последовательных приближенйй: ев! = .+ — "1о (уп"+ — уо')+(! — ) (у.
— у.)1+ р., (29) ул =уп+ ~ !Ол(ел ел — 1)+(1 ол) (ел ел-1)] Однако это эквивалентно применению последовательных прибли- жений к решению системы (28), когда в левой ее части берется у"'", а в правой — у"'. Этот метод, записанный в форме ум'» = = Су~ю+ф сходится при !~С ~~ ~1. Выбирая одну из норм: ~~с~~= .*(~~С„,) =-пф,п„ л получим для сходимости итераций условие типа Куранта: ст~ Ь 2 !' В1лл (30) Поэтому метод последовательных приближений невыгодно применять к вычислению разностного решения безусловно устойчивых схем. Замечание 2. Для задач с разрывными или недостаточно гладкими решениями нередко используют чисто неявную схему (19) при а = а, = 1, поскольку она подавляет лразболтку» счета. Однако на достаточно гладких решениях эта схема существенно уступает по точности симметричной схеме.
(гл. хги ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 4. Инварианты. Рассмотрим запись системы уравнений акустики через инвариантеп (31) г (х, () = о — си, з (х, () = о+ си. Умножая первое из уравнений (18а) на с, прибавим его ко второму уравнению (18а) и вычтем. Получим систему уравнений, которым удовлетворяют инварианты: г,+сг„=Р(х, У), зт — сз,=Р(х, )). (32а) Из соотношений (18б) нетрудно получать для инвариантов началь- ные условия: к э г(х, О) =~рз($) с$ — ср (х), з(х, О) =~р Я) ГК+ср,(х), (32б) о о а из соотношений (18в) — краевые условия: (з г)э-е= 2 рэ (~) ( )э-а= 2 ра (). с С (32в) — (г„— г„) + л (г.а — г„,) = Є— (з„— з„) — -,— (з„,, — з„) = Р„. (33) 1 с 1 с Она действительно является схемой бегущего счета, и организация вычислений здесь почти такая же, как для одномерного уравнения переноса, Нетрудно показать, что при выполнении условия ст ==6 эта схема устойчива, монотонна и равномерно сходится с порядком тОЧНОСтИ О (т+ гт) На ДВаждЫ НЕПРЕРЫВНО ДнффЕРЕНЦИРУЕМЫХ решениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
