Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Собственные функции разностного оператора — (Л,+Л,) в прямоугольнике на равномерной сетке равны, как нетрудно проверить, 1гл. хп эллиптические уРАВнения Аналогично, второй сомножитель (1 — (),)/(1+ р,) максимален по модулю либо при г=1, либо при г=М вЂ” 1. Поэтому',ро,~ максимален либо при д = г= 1, либо при д = тч — 1, г =М вЂ” 1, причем Г! 1Ч аз Ьз Р„1 — пзт( —,-1- — „,, ), РА, и х-1 — —, — —,. (18) (,ао Ьз)' тЛ'з Чем больше шаг т, тем меньше р„и больше рл., и „причем оба они близки к 1"); это значит, что первая и последняя гармоники затухают медленно, причем при малом шаге т быстрей затухает последняя, а при большом — первая гармоника.
Выберем шаг т, так, чтобы р„(чо) =рл т и х(то); из (18) видно, что (19) Если изменить шаг по сравнению с т„то либо первая, либо последняя гармоника будет затухать медленнее, чем при т=т,. Следовательно, т„есть оптимальный шаг. Число шагов 1((в), нужное для достижения заданной точности в, определяется условием (танжер „~)к=и. При оптимальном шаге наибольшие множители роста равны р (то)=рл х,м-з(то)=ехр~ — п(А — „+ М.) ( — „, + — Ь,) 1 (20) Поэтому минимально необходимое число шагов есть Сравнивая время счета на установление (9) и величину оптимального шага (19), нетрудно убедиться, что )ч (то) = т)то.
Отметим, что при а = Ь, М = А1 выполняется с, АЖ и А(то)-№ В дифференциальном уравнении (12) установление происходит за достаточно большой промежуток времени. Почему же не взнть для разностной схемы очень большой шаг по времени, если устойчивость это позволяет? Казалось бы, тогда мы быстрей добьемся установления. Но это не так. Спекгр дифференциального оператора таков, что гармоники затухают' тем быстрей, чем больше их номер, причем ~ро~ — ~-О при д-ьаз; соответствующая кривая показана пунктиром на рис. 86.
А затухание собственных функций разностного оператора имеет, вообще говоря, другой качественный характер, как видно нз того же рисунка. ') При нечетном числе измерений р для последней гармоники р-+†1 и вместо аего во всех выкладках надо использовать ) р ) = — р. зи счет нА эстхновлениа Л о к а л ь н о-о д н о м е р н а я с х е м а (11.69) с полусуммой по времени в двумерном случае может быть записана в виде (Š— — Лг)у =(Е+ — Л ) у+тср„ (22а) (Š— — Л,)у =(Е+ — Л,) у+ър„(22б) где операторы Л„имеют вид (1Зв) и коммутируют друг с другом.
Умножая уравнение (22а) слева на (Е+'/зтЛз), а уравнение (226) — на (Š— '/,тф), исключим у и запишем (22) в виде двуслойной схемы: (Š— 2.Л1) (Е 2 Лз)у = =/ Е+~-Л), Е+ 2 Л2)У+т0Г~+Ы+ 2 (ЛэЧ~г — Л~Ы. Преобразуем ее к канонической форме: (Š— — Л,) (Š— — Л,) — "" — (Л +Л,) у=- =Ч'~+Я',+ э (Л„.%~ — Л,Чч), (23) т т 2 тча / Чг 2 (25) Видно, что левая часть (23) совпадает с левой частью продольно- поперечной схемы (13). Поэтому шаг т„обеспечивающий наиболее быстрое затухание начальных данных, для схемы (23) определяется также формулой (19). Нетрудно понять, как обобщить выражения оптимального шага (19) и минимального числа шагов (21) на случай произвольного числа измерений для локально-одномерной схемы с.
полусуммой. Запишем эти выражения в простейшем случае, когда задача Дирихле поставлена в р-мерном кубе со стороной а и по каждой стороне взято й/ узлов сетки: ца М 1 т = —, К(т)= — )п —. 0 пз/ ~ О яр (24) Однако если положить ~,+Чь=/(х), то правая часть (23) будет отличаться от /(х) на величину 0(т), Поэтому установившееся разностное решение будет отличаться от и (х) на 0(т+/г2), и, тем самым, общая точность расчета будет хуже, чем по продольно-поперечной схеме.
3 а и е ч а н и е. Для улучшения точности приравияем / (х) правой части (23). Для этого достаточно произвольно выбрать ~,(х), а Чь(х) определить из уравнения 4ое эллиптические уРАВнения [Гл. Хи Это линейное уравнение с трехдиагональиой матрицей; оно легко решается одномерной прогонкой по направлению х,. Произвольная область. Выбрать оптимальный шаг удается только в простейших задачах, когда точно известны границы спектра разностного оператора. В областях сложной формы мы можем, подставляя в формулу (19) характерные размеры области н число узлов сетки, определить лишь порядок величины т,. Поэтому надо представлять, как зависит число шагов 7((т), требуемое для установления с заданной точностью, от величины шага т. При т т, затухание начальных данных определяется множителем р,Т, так что число шагов К,(т) находится нз условия о,", = е.
Из формулы (18) с учетом малости т следует, что р„(т) ехр ( — сопз( т); тем самым, р (т)=Ь (т.)Г'". Отсюда нетрудно получить, что Аг (т) = — К (то) при т ~ то (28а) [! То Аналогично находим Рис. В7. К, (т) = — К (т,) при т, ( т. (26б) Кривая К, (т) изображена на рис. 87 жирной линией. Ее минимум соответствует оптимальному шагу. Видно, что в низшей точке кривая имеет разрыв производной.
Значит, умеренное отклонение величины шага т от оптимума может заметно увеличить требуемое число шагов (во столько раз, во сколько т отличается от т,), Кр итер и и установлен и я. Из сказанного выше следует, что для задач в достаточно общей постановке (2), (3) заранее неизвестно, какое число шагов надо сделать до установления. Поэтому на практике вычисления прекращают при выполнении какого-нибудь правдоподобного, хотя и нестрогого критерия.
Нередко пользуются простейшим критерием [[ у — у[[--е; (27а) однако он недостаточно надежен, поскольку разностное решение устанавливается медленно. Если учесть, что установление происходит почти по геометрической прогрессии, то нетрудно получить более надежный критерий; 1!у — р[!~е(1 — ), где = " ." . (27б) ~1в — е !1 ' и СЧЕТ НА УСТАНОВЛЕНИЕ Для схемы типа (13) расчет иногда оканчивают по условию малости невязки: 1~ Ау — )' ~~ == е.
(27в) Комплексная организация расчета, опнсаняая в гл. Ъ'П1, 5 2, п. 5, очень полезна даже в одномерных задачах. С увеличением числа измерений ее эффективность быстро возрастает. Напомним ее, В области 6 (х) строится последовательность сгущающихся вдвое сеток. На самой грубой сетке начальные условия выбираются произвольно; поскольку число узлов этой сетки невелико, то объем вычислений тоже невелик. После установления решение интерполируется на более подробной сетке и выбирается на ней в качестве начальных условий; это в несколько раз уменьшает требующееся для установления число шагов. Затем решение уточняется по способу Рунге с использованием всех сеток. 3. Чебышевский набор шагов. Счет на установление можно проводить с переменным шагом по времени.
Для тех задач, в которых известны границы спектра разностных операторов, построены специальные наборы шагов т, (1«Й«К), обеспечивающие гораздо более быстрое затухание-начальных данных, чем при расчете с постоянным оптимальным шагом. Чебышевскнй набор. Пусть разностная схема счета на установление приведена к двуслойной канонической форме: В" " +Ау»-'=»р. т» (28) Будем предполагать, что А и  — самосопряженные положительно определенные операторы, удовлетворяющие неравенствам у,В«А =--у»В, 9<у»«уо. (29) Затухание начальных данных го определяется однородным уравнением (28), которое можно записать в следующей форме: ь» =-(Š— т»С) с»-», (30а) где С В вЂ” и'А  — но ~» = Виое».
(30б) Отсюда, вытекает, что ьо = Рк (С) ьо Рк (С) = 1 1 (Š— т»С). (31) Для наиболее быстрого затухания начальных данных последовательность шагов т„надо выбрать так, чтобы ~~ Рх (С) е была минимальна прн заданном числе шагов К. 419 (гл, хп эллиптичвскив хрхвнзния Поскольку А и  — самосопряженные операторы, то оператор С тоже самосопряженный, причем из (29) следует неравенство у,Е < С(уаЕ. (32) В этом случае норму операторного многочлена Р» (С) можно оценить по формуле *) [! Р» (С) [! == !пах ! Р» (т!) [, т <ч<т где Р» (т)) — алгебраический многочлен.
Для того чтобы максимум модуля алгебраического многочлеиа был минимален на отрезке [у„уа), этот многочлен с точностью до множителя должен совпадать с многочленом Чебышева первого рода для этого отрезка "*). Используя данные в Приложении корни многочленов Чебышева и учитывая, что корнями Р»(т)) являются величины 1)та, получим чебышевский набор шагов: т„=2~(Та+ух)+(уа — ут)соз — ~, 1==)т =К.
(33) н(2й — 1) Ч-т Определяя множитель, отличающий Р» (т)) от многочлена Чебышева на отрезке (у„уе), можно найти коэффициент затухания начальных данных после расчета с набором шагов (33): 2» шах [Р»(т))[= Р,к, р=,т' "'. (34) т «ч<т» 1+ рсх 'Г' та+ Утт Если необходимая точность расчета а ~~1, то в оценке (34) можно пренебречь членом р'». Тогда требуемое число шагов равно ! 2 К (е) = — !п —. !о(1)р) е ' Заметим, что сначала надо найти требуемое число шагов по формуле (35); только после этого можно вычислить искомый набор шагов (33). Замечание.
В случае области сложной формы нли задачи с переменными коэффициентами (2) точные границы энергетической эквивалентности операторов (29) установить обычно не удается. Приходится оценивать их, занижая у, и завышая уа (в неизвестные числа раз н, и та), Поскольку всегда ух~у!, то 1!п (1/р))-' '/а ~' у,7у,. Отсюда видно, что требуемое число шагов (35) возрастает в )'тата раз по сравнению со случаем, когда границы спектра известны точно. *) Локаэательстао этого неравенства имеется, например, а [15!. '*) О многочленах Чебышева и их свойствах см., например, а [9, 24!. 411 СЧЕТ НА УСТАНОВЛЕНИЕ Постоянный шаг. Оптимальный постоянный шаг выбнрается так, чтобы начальные данные наиболее сильно затухали за один шаг. Там самым, он является частным случаем чебышев- ского набора, соответствующнм К=1. Формулы (ЗЗ), (34) прнннмают прн этом внд т, = —, гпах ( Ра (т)) ~ = "— ат' .
(Зб) та+та (т„т„) та+та ' Продольно-поперечная схема (13) нлн локально- одномерная схема с полусуммой (22) не подходят, строго говоря, нод разобранный выше случай, потому что онн содержат опера- тор В» =~ Š— — таЛа)( Š— — „тьЛз), явно зависящий от номера шага. Однако для этих схем в и. 2 были определены оптимальный шаг (19) н соответствующая ему скорость затухания начальных данных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
