Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Разностная запись первого краевого условия сводится к заданию решения ул в граничных узлах сетки, т. е. при п=О, и=/[/, я[=0 и т=М. МНОГОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ (59а) (59б) где разностные операторы Л„определены формулами (57). Как обычно, под у подразумевается значение на полуцелом слое Исследуем продольно-поперечную схему. Вычисление р аз ноет ного решен н я. Переходна полу- целый слой делается при помощи уравнений (59а). Согласно определению оператора Л, каждое такое уравнение содержит три неизвестных значения: ул,, ул и ул„т; остальные значения у берутся с исходного слоя.
Иными словами, при таком переходе схема неявна по направлению х, и явна по направлению х,. При любом фиксированном индексе т уравнения (59а) образуют относительно неизвестных ул линейную систему с трехдиагональной Если вести расчет по абсолютно устойчивому варианту схемы (О '(,), то можно брать т 6. Но тогда на каждом слое надо решать линейную систему Л1» уравнений. Даже с учетом того, что ее матрица ленточная с шириной ленты 2)У'»-', решение этой системы методом Гаусса требует М'»-' действий.
Поскольку для расчета до момента Т теперь надо делать )у шагов по времени, то полный расчет требует )у'л»-' действий. Значит, для двумерной задачи (У=2) неявная схема (55) и явная схема приводят примерно к одинаковому объему вычислений, а в 9 1 мы видели, что явная схема обладает плохими свойствами и невыгодна для расчетов. При р~2 неявная схема (56) даже невыгодней явной. Однако для многомерного параболического уравнения построены абсолютно устойчивые схемы, позволяющие вести расчет шагом т Й и требующие только У» действий для перехода со слоя на слой (т. е. число действий в расчете на одну точку сетки не зависит от шагов Л,). Такие схемы называются экономичными.
Подавляющее большинство многомерных расчетов проводится по таким схемам. В следующих пунктах те+У мы рассмотрим два основных вида экономичных схем для параболического уравнения — продольно-поперечную и локально-одномерную схемы. 2. Продольно-поперечная схема, называемая также схемой переменных Рис. 83. направлений, является одной из лучших двумерных экономичных схем. Выберем изображенный на рис, 83 шаблон, содержащий полуцелый слой (=1-)-т~2, и составим на нем эту схему: 1 О Олт (Улт Улт) = Л1У»т+~»Улт+1лт~ 1 (Упт Улт) =Л1рпт+Л»Упт+~пт~ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл.
х1 матрицей. Поэтому значения у легко вычисляются одномерной прогонкой по индексу н, т. е. по направлению х,. Наоборот, при переходе при помощи уравнений (59б) с полу- целого слоя на целый схема явна по направлению х, и неявна по х,. Поэтому решение у„,„на целом слое вычисляется тоже одномерной прогонкой, но в поперечном направлении х,.
Нетрудно подсчитать, что для перехода с целого на целый слой нужно всего 20 — 30 действий на каждую точку сетки независимо от величин шагов, так что схема экономична. Как и в одномерной схеме (6), диагональные матричные элементы в уравнениях (59) преобладают; следовательно, прогонка устойчива, а разностное решение существует и единственно. У с т о й ч и в о с т ь продольно-поперечной схемы исследуем методом разделения переменных. Множители роста гармоники на первом и втором полушаге по времени могут быть различными. Поэтому положим учш=ехр (щх1в+1гхва), у =рч~у, у =уды (60) Подставляя соотношения (60) в схему (59), получим множители роста р~,=(1 — — „., Е(п" — '$1+ — „, з(п'- — "), (61а) (61б) Нетрудно заметить, что для всех гармоник при любых шагах выполняется неравенство ~р,',р,",~==1.
Таким образом, при переходе с одного целого слоя на следующий целый слой ошибки начальных данных не нарастают, и схема (59) равномерно и безус'ловно устойчива по начальным данным. Нетрудно проверить, что дополнительный признак устойчивости по правой части (9.54) выполняется на каждом полушаге по времени. Следовательно, схема (59) устойчива по правой части. Замечание 1. Если йт)й',, то существуют такие гармоники, которые усиливаются при переходе с пелого слоя на полу- целый; например, ~р',„~) 1. Зато при переходе с полуцелого на следующий целый слой эти гармоники настолько затухают, что в целом усиления не происходит.
Аналогично, при нт ) 61 есть гармоники, усиливающиеся при переходе с полуцелого слоя на целый. 3 а меча н ие 2. Суммарный множитель роста р,=р,',р,", таков, что ~ ре,(=1 только при о=с=0; для всех остальных гармоник ~ р, ~ (1. Следовательно, продольно-поперечная схема обладает аппроксимациоиной вязкостью и расчет по ней должен приводить к сглаживанию разрывов. МНОГОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ 393 Аппроксимация.
При переходе с целого на полуцелый слой каждая пространственная разность вычисляется несимметрично но времени и погрешность равна 0(т+й'). Но ошибка на второй половине слоя компенсирует первую, и в итоге при переходе с целого слоя на целый погрешность локальной аппроксимации на равномерных сетках есть 0(та+А',+й!).
В этом легко убедиться при помощи следующего преобразования. Вычитая уравнение (596) из (59а), получим ! т уппг 2 (ул'в + улм) 4 Лз (уюл ул~л) (62) Сложим уравнения (59) и подставим в них полученное значение у„„, исключив тем самым полуцелый слой: ! 1 т (Улпг Улм) = 2 (АХ+Аз) (Улм+Упм) 4 ~ГЛа (Улм Упт)+пгпт. (63) Предпоследний член справа есть тзи, „.г/4=0(т'), а остальные члены в (63) совпадают с симметричным вариантом схемы (56), который соответствует а='(з и имеет аппроксимацию 0(т'+й', + + Ц). Поскольку продольно-поперечная схема отличается от этого варианта на член 0 (т'), она также имеет второй порядок аппроксимации по всем переменным. Остааовимся на аппроксимации краевых условий (55б).
На целом слое в уравнения продольно-поперечной схемы (59) входят значения решения рл на сторонах прямоугольника х,=о и ха=5; очевидно, надо положить у~о !"з ( тл' )' "«и ро ( т»' )' Гьаи полУцелого слоЯ тРебУютсЯ значениа Уп на стоРонах х, О и х,=а. Полагать (у — )ьо)трпа О невыгодно, ибо полуцелый слой не вполне соответствует моменту 7 и такая аппроксимация внесла бы погрешность 0 (т). Следует воспользоваться уравнением (62), отнесенным к стороне хт=О: 1 уот о (Ргпг+ Шм) 4 Ла (Шм Шм) 1 ( гл ( гн ! (546) аналогичное условие записывается для стороны хт=а.
Граничные условия (54) обеспечивают погрешность аппроксимации О (то). Сходи мое ть. Проведенное исследование аппроксимации и устойчивости показывает, что схема (59) безусловно сходится в (( ((!ы причем в прямоугольной области на равномерной сетке и при краевом условии (64) она имеет точность 0(тз+й'!+)т',) на решениях с непрерывными пятыми производными. Более сложными методами можно доказать равномерную сходимость со вторым порядком точности. Отметим некоторые усложнения исходной задачи (55). ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [гл.
х! Произвольная область. Пусть для уравнения (55а) в области произвольной формы заданы краевые условия первого рода [и — р (х, ())г = О. Тогда разностное краевое условие (64б) не удается применить, ибо неясно, как вычислять Л,р. Приходится ограничиться усло- виями [У вЂ” (А(х, й)1т — — О, (65) [д — (А(х, г)1„=0, где у — множество граничных узлов, Погрешность аппроксимации условия (65) на полуцелом слое равна 0(т). Поэтому в произвольной области схема (59) сходится с точностью 0(т+й1+Ье). Если область ступенчатая, т. е. составлена из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, то в ней можно написать краевое условие повышенной точности (64б). В этом случае схема (59) имеет второй порядок точности. Переменный коэффициент теплопроводности.
Для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом можно составить два варианта продольно-поперечной схемы, являющихся обобщением наилучшей схемы (34). В первом варианте на всех слоях — исходном, полуцелом и новом целом — разностный коэффициент теплопроводности к приписывают полуцелому слою Г; во втором варианте на этих слоях берут соответственно х (Г), к(у) и х(1). Оба варианта успешно применяются на практике. Второй вариант лучше исследован теоретически; для него доказана безусловная сходимость в прямоугольной области с точностью 0 (тз+ + Й1+й;.), если коэффициент й(х, г) непрерывен со своими вторыми производными. Анизотропная теплопроводность в простейшем случае приводит к тому, что по каждому направлению имеется свой коэффициент й,(х, 1). В этом случае уравнение теплопроводности принимает вид дГ ~~~ адх [ а( ' ) д ~+[( ~ ) а=1 (66) Продольно-поперечная схема, ее обобщения и все теоретические обоснования переносятся на этот случай практически без изменений.
3. Локально-одномерный метод. Продольно-поперечная схема на задачи с числом измерений р=З непосредственно не обобщается. В самом деле, введем р — 1 промежуточный слой и на МНОГОМЕРНОЕ УРАВНЕНИŠР— А„и, Д'2 А„=йа д; ~ха ка = сопз1, а=! х = (х„х„..., х ). Аппроксимируем это уравнение симметричной неявной схемой, которую назовем исходной: Р ! .
! — (у-у)= —,,~ Л (у+у) где Л,— разностные операторы, аппроксимирующие А, с погрешностью 0(й'); обычно для них используют формулы (57), соответствующие г = 2. Благодаря симметричной форме исходная схема имеет погрешность 0 ~т2+ Х й„'!. а Однако эта схема неэкономична, потому что не найдено хорошего алгоритма вычисления у. Наряду с исходной схемой построим локально-одномерную схему. Введем промежуточные слои и на каждом слое в правой части (68) вместо,У',Ла возьмем рЛ„; в левой части поставим а шаг т/р. Обозначим решение на промежуточных шагах через ш„ (я=1, 2, ..., р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
