Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Ограничиваясь задачей Днрнхле в р-мерном кубе со стороной а н одинаковым числом узлов Л) по каждой коордннате, запишем: та= —, гпах(),(т,)1~1 — —. Сравннвая этн выражения с (36) н учитывая, что уз~у„получнм нестрогую, но удовлетворительную оценку границ спектра: пар г,ч 71 уа (37) Подставляя оценку (37) в (34) н (35), получим, что для рассмотренных схем Г Ф 2 К "1у — !и —. 2пр 3 (38) Используя в разностной схеме переменный оператор ' Вь, можно найти другие наборы шагов, обеспечивающие еще более быстрое установление.
Например, для продольно-поперечной схемы в случае задачи Дирнхле (1) в прямоугольнике построен жорданов набор шагов (см. 181]), при котором 1п)У 4 К вЂ” !п —, 5 е' Однако для более сложных задач наборы шагов с подобвыми характеристиками найти пока не удалось. Таким образом, счет на установление по экономичным схемам с чебышевскнм набором шагов требует всего К )ггпу шагов, в то время как расчет с постоянным оптимальным шагом требует существенно большего числа шагов: К(т,) Лг.
4!2 эллиптические уРАВнения !Тл. хи П о р я д о к ш а г о в. Чебышевский набор шагов позволяет проводить экономичный расчет на установление даже по явной схеме (11.56) с о=О. Запишем эту схему в виде Р Е""," '+ у' Л„дА- =(. (39) а=! Операторы схемы (39) постоянны, и нетрудно показать, что для задачи Дирихле в кубе у,=я'р/а', у.,=4РУ'/а'. Поэтому для расчета по схеме (39) с чебышевским набором шагов требуется число шагов М 2 К = — 1п— я е' (40) 1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12, 2, !5, 7, 10, 3, 14, 6, 11. При использовании упорядоченного чебышевского набора шагов ошибка на отдельных шагах может нарастать, но никогда в ходе расчета не превзойдет начальной ошибки, а в конце расчета будет соответствовать оценке ~! Рк !|. что по объему вычислений эквивалентно экономичным схемам с постоянным оптимальным шагом.
Заметим, что схема (39) устойчива только при т:.--Т,=Ь-')(2р). Среди шагов чебышевского набора (33) есть такие, которые больше т„и меньше т,. Большие шаги вызывают рост погрешностей, а малые — затухание, В целом их действие таково, что если выполнить все К(е) шагов, то ошибка затухает в е-' раз. Слово «еслию употреблено не случайно. Нередко ошибки на промежуточных шагах возрастают в 10" — 10" раз по сравнению с начальными, выходят за допустимые на ЭВМ пределы, и расчет не удается довести до конца.
Поэтому, хотя чебышевский набор шагов для схемы (39) был найден более полувека назад, в практических вычислениях его долго не могли использовать. Однако если шаги выполнять в определенном порядке, то расчет становится возможным. Идея упорядочения -заключается в том, что сразу вслед за шагом, увеличивающим ошибку, надо выполнять шаг, уменьшающий ее. Правило перестановки особенно просто, если число шагов равно 2'. Тогда надо расположить шаги в естественном порядке и сгруппировать парами: первый — последний, второй — предпоследний и т. д. Затем пары так же группируются в четверки: первая — последняя; Аналогично группируются четверки, восьмерки и т.
д. Например, для 16 шагов окончательный порядок такой: 4!3 ВАРИАЦИОННО РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ 5 2. Вариацнонные и вариационно-разностные методы 1. Метод Ритца. Вариационные методы применяются к эллиптическим уравнениям в частных производных независимо от числа измерений. Рассмотрим, например, задачу: Й(ч(й(х) нгаби) — р(х)и(х)= — 1(х), херб, (41а) иг = р (х). (41б) Дифференциальный оператор А = — йч (й дгаб ( )]+р является самосопряженным. Поэтому задача (41) эквивалентна задаче на минимум функционала Ф(и) = (Аи — 21", и), которую при помощи формул векторного анализа можно записать в виде ') [й (х) (йгас( и)'+ р (х) и' (х) — 21 (х) и (х)|с(х = ппп, иг = р (х). а (42) Возьмем некоторую функцию гр,(х), удовлетворяющую граничному условию (416), и полную систему функций гр,(х), 1=1, 2, ..., обращающихся в нуль на границе.
Будем искать приближенное решение задачи (42) в следующем виде: л и(х)- р.(х) рл(х)+ ~с! р (х). !=! (43) Подставляя (43) в (42), получим задачу на минимум квадратичной функции неизвестных коэффициентов а,; для простоты ограни- чимся случаем !р,(х) = — О, соответствующим иг= О! л л л ~', с,а! (йдгад <р„угад !р!+р!р,!р!) — 2~ ~~' с,!р, !(х= ппп. (44) б «=! !=-! л=! л ~~ , 'с! ') (й йта!( гр, йгас( гр!+ ргр,!р!) !(х = ') 1!р, с(х, 1 ( г ~ и.
(45) !=! а а Обоснование сходимости метода Ритца прн и-~со рассматривалось в главе Ъ'П. При практическом применении метода Ритца успех сильно зависит от выбора системы функций !р,(х). Прн неудачном выборе этой системы для получения удовлетворительной точности может потребоваться очень много членов ряда (43), Если область имеет несложную форму, то нередко выбирают систему с разделяющимися переменными; например, для прямоУгольника полагают гР! (х) =$!(х!) т1 (хэ), а ДлЯ кРУга Р, (х) =- =$!(г)т1,„(9). Отметим, что если в одномерной задаче для полу- Приравнивая нулю производные по коэффициентам, получим для определения с! систему линейных уравнений 414 эллиптические уРАВнения 1гл. хи чения удовлетворительной точности требовалось и членов ряда, то в аналогичной р-мерной задаче обычно надо брать ПР членов. Ограничиваясь малым числом членов, можно легко получить грубую оценку решения.
3 а меч ан ие 1. Метод Ритца применим к многомерной задаче Штурма — Лиувилля (задаче на собственные значения). Замечание 2. Если оператор в задаче типа (41) не само- сопряженный, то вместо метода Ритца применяют метод Галер- кина. 2. Стационарные разностные схемы. Такие схемы можно составлять, непосредственно аппроксимнруя производные разностями, или при помощи интегро-интерполяционного метода. Например, для многомерного уравнения Аи= — )(х) простейшая разностная замена производных приводит к схеме Х ау а=! (46) Л Л+Г Рис. 88. Составлять разностные схемы можно также вариационными методами. Для этого специальным образом выбирают пробные функции уп(х), например, считая их сплайнамн, построенными по узловым значениям у. Пример. Рассмотрим решение двумерного уравнения Ьи = = — 1 на прямоугольной сетке с шагами л„йи.
Эквивалентная задача на минимум в этом случае имеет вид Ф1и'1= ) ~(йгаб и)' — 2) (х) и (х)11(х1 1(хи = ппп (47) 1 и (Х) — у(х) =-у„+„— (х,— х,„) (у„„, — уп )+ ! + ~ (ХИ вЂ” Ъи) (Уп,аег У ) х сна. (48) Совокупность этих функций образует линейный сплайн. Очевидно, (ЯгайУ) = ав (Уп~-1,а Упа) +!! (Уп, ае1 Упт) х в=у. 1, ! Аппроксимируя правую часть 1(х) в ячейке д(х), например, (для простоты мы опускаем краевые условия). Разобьем каждую прямоугольную ячей~у на две треугольных (рис. 88) и в тре- угольных ячейках аппроксимируем и(х) линейными функциями; например, в нижнем треугольнике у (х) 415 влгихционно-глзностныв мвтоды константой 7'„, легко вычисляем интеграл по этой ячейке: ~ ((угад у)' — 21у! с(х = — "' ~ — „.
(у„,, — упт)'+ 1 2 + пг (Уп, т+1 Упт) З )пт (Упт+Уп-' и т+ Уп, т ы)) Аналогично вычисляется интеграл по верхней треугольной ячейке. Суммируя эти интегралы, получим 2 Ф(у)= — 26,6, х ~йг(ул.„т — у,т)'+„—;(уп+, „— уп т„,)'+ 1 и 1 и 2 + ьп Ьл т+г Улт) +вг (Улпт ты Улль т) з (лт Ьлт+ 2 +Улп и т+Уп,тпх) З ~п+и т+1Ьп+и т- г+Ул+ь т+уп, т'-1))— =ппп. (49) Функционал Ф(у)=Р(у„) является квадратичной функцией узловых значений.
Приравнивая нулю производные функционала по уп и учитывая, что эта величина входит в четыре члена двойной суммы (49), получим разностную схему 1 1 1и (Уп+ь т -2утп+ Уп .ь т) + и Ьп, т ~ 1 — 2у.т+ Уп, т 1) + 1 + а (21лт+!л,-ь т+1л-ь т+1л, т+1+1л, т-т) = 0 (50) Это — стационарная схема; легко видеть, что она аппроксимирует непосредственно исходное дифференциальное уравнение. 3 а м е ч а н и е. При помощи вариационного метода удобно составлять разностные схемы высокой точности.
Для этого решение и(х) и правую часть 1(х) аппроксимируют сплайнами более высокого порядка, обычно кубическими (такая аппроксимация обсуждалась в гл. 11!1, 2 4, п. 4). 3. Прямые методы решения. Для стационарных схем типа (47) наиболее сложным является вопрос о фактическом вычислении разностного решения. В самом деле, р-мерная схема (46) является линейной алгебраической системой с НР неизвестными (если по каждой координате взято А1 интервалов). Матрица этой системы в двумерном случае изображена на рис. 89.
В общем случае эта матрица ленточная, причем лента слабо заполнена и имеет полуширину Ю-'. Вычисление разностного решения методом исключения Гаусса (который не может использовать слабое заполнение ленты) тре- ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл, хп 1 „—, (ул 1 — 2у„+ у„,) — ру„= — ф„! ( и ( Лг — (, (51) УО = фе~ У1У = фе. Будем искать разностное решение в виде разложения Фурье: л — 1 уз= '5', аяталя, ГдЕ ГЭ =ЕХр (2иг)Лг) (52) *) Аналогиянвя сцтузция возникла в неявной схеме (1!.86) для многомерного уравнения теплопроводности. бует Лгзл-Я действий, т. е.
Лгзл-в операций на узел сетки *). Прн большом Лг это число действий неприемлема велико; кроме того, лента матрицы не помещается в оперативной памяти ЭВМ. Поэтому прямое решение линейной системы (46) методом Гаусса возможно только в двумерных расчетах, и то прп небольшом Лт (50. Замечание. Если строить схемы высокого порядка точности (например, сплайновые) или использовать последовательность сгущающихся сеток (обычно при Л1.=4, 8, 16, 32) с уточнением по способу Рунге, то даже при небольшом числе узлов удается ту ( получить удовлетворительную точность расчета.
1 Для некоторых важных частных случаев эллиптических задач разра- А))у ботаны очень быстрые прямые методы; перечислим их (они подробно изложены, например', в 13, 6, 3Ц). Быстрое преобразование Ф у р ь е применимо к задаче ДиРис. 89 рихле в прямоугольнике. Оно осно- вано на том, что если число интервалов по каждой переменной Лг„ разбивается на множители, то вычислять коэффициенты дискретного преобразования Фурье можно не по формулам Бесселя типа (2.44), а по более экономичным рекуррентным формулам. Если Л', —.— 2 "О, то метод является особенно быстрым и требует всего 4 1одяЛ1 действий на каждый узел сетки. Рассмотрим этот метод сначала на примере одномерной задачи для уравнения с постоянными коэффициентами и" — ри = — )" (х) и краевыми условиями первого рода (без ограничения общности их можно взять периодическими). Составим разностную схему на равномерной сетке (х,=ттй, О==П~Л1): 417 ВАРИАЦИОННО.РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ и учитывая условие ортогональности гармоник (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
