Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Счет по неявным схемам типа (10.10) — (10.12) уже не будет бегущим: для развязки счета надо знать граничное значение инварианта на новом слое, а оно выражается через то значение другого инварнанта, которое считается последним. Поэтому для определения инвариантов получается линейная система с матрицей специального вида, схематически изображенного на рис. 95. Такаи система решается методом исключения; экономные формулы исключения для этого случая называются формулами циклической прогонки (см. 1831 и дополнение к 1301). Видно, что инвариант г(х, 1) удовлетворяет уравнению переноса вправо (т. е.
с положительной скоростью), а инвариант з(х, ()— уравнению переноса влево. В случае однородной задачи (Р = ра = = р, =О) величины г, з переносятся по соответствующим характеристикам без изменения, с чем и связано их название. Для инварнантов можно составить разностные схемы, аналогичные схемам бегущего счета для уравнения переноса. Шаблон каждой схемы должен учитывать направление характеристики соответствующего уравнения. Простейшей будет явная схема: 435 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИВ Каждое нз уравнений (34) содержит члены, соответствующие явной схеме (6) для уравнения теплопроводности с козффициецтом й=сй/2. Отсюда понятно, что исходная схема (33) будет хорошо сглаживать разрывы начальных данных, т.
е. иметь аппрокснмационную вязкость. Условие устойчивости явной схемы (6) 2йт=-йа совпадает с условием устойчивости исходной схемы. Схемы в инвариантах обладают многими достоинствами. Однако широкого распространения они не получили, потому что их нелегко Рис 95. обобщить на нелинейные задачи. 5. Явная многомерная схема. Волновое уравнение в р-мерной 1изотропной среде (либо в неизотропной среде, если у тензора упругости отличны от нуля только диагональные компоненты) имеет вид Р— „. = ~~', А.1+)(х ~) а=! АР= д ~йа(х~ 1)д )~ х=(хм хл, ...~ хР)енб. д 1 д а дха ~ а ' дха,)' Рассмотрим задачу нахождения решения уравнения (35а) с начальными условиями и с краевыми условиями первого рода: и(х, 0)=р,(х), ис(х, 0)=р,(х), хе-=б"; (35б) и (Х 1) Г < а> = Рл (Х Г).
Обычно многомернь1е разностные схемы составляют непосредственно для задачи (35). В принципе, можно заменить уравнение (35а) системой уравнений первого порядка; однако это менее выгодно, чем в одномерном случае. Схема «крест» строится аналогично одномерной схеме (2) на шаблоне, вид которого для двух измерений показан на рис. 96.
При произвольном числе измерений зта схема для уравнения (35а) имеет вид (35а) Р— (у — 2у+у) = ~ Лау+); (36) а=! Схемы для инвариантов можно переписать в терминах исходных переменных. Так, складывая и вычитая уравнения (33), получим для внутренних точек области 1 * 1 с — - (ул — ул) — — (гл„, — г,,) = — „(ул„— 2ул+у„), —,;(гл — гл) — -~~ (ул„— у,,) = р,-(глм — 2гл+ гл,)+г"л. !гл. хгп ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ в случае переменных коэффициентов операторы Л, выбираются аналогично наилучшей консервативной схеме (!6).
Схема (36) — явная трехслойная; организация вычислений по ней одинаково проста при любом числе измерений. Нетрудно » .»-.»-....«. - ° -.». ° ... «(««т, »!). «. »~.». а=! чивость можно исследовать методом разделения переменных, подставляя в (36) многомерную гармонику: Р У=ЕКР ! „~~ У«ха~ У РУ~ У РУ' ! а=! (3!) Учитывая, что Л,у-~- — 4 — „з»п —, '»а» «а~а Бас 2 (38) получим для множителя роста квадратное уравнение р' — 2(1 — 2у)р+1=0, у=т» Ъ а з(п» 'а '". а=! Это уравнение аналогично одномерному уравнению (8); анализ его корней показывает', что схема (36) устойчива при выполнении условия (39) являющегося обобщением условия 1«,уранта (9).
Это естественное условие, а точность схемы неплохая. Поэтому схему «крест» используют в расчетах, если не требуется особенно высокой надежности («безавостности») вычислений. Ф Таким образом, численный расчет многомерных задач акустики не вызывает принципиальных затруднений. 6. Факторизованные схемы. В «больших за- дачах», где небольшое нарушение условия усРис. 96 тойчивостн любого из разностных уравнений в ходе расчета легко приводит к «авостам» ЭВМ, целесообразно использовать безусловно устойчивые многомерные экономичные схемы, несмотря на то что они сложнее явных схем.
Для гиперболических уравнений локально-одномерные схемы имеют сравнительно громоздкий н искусственный внд. Более удобны в данном случае.факторизованные схемы (схемы с расщеплением); рассмотрим нх. 437 эи волновое тллвнвние И сходна я схема. Для многомерной задачи (35) рассмотрим аналог неявной схемы с весами (12), который будем называть исходной схемой: (у 2у+у) = 1, Лахор+ (1 — 2о) у+ну)+~ь 1 0 о я=! (40) ( л Š— т'о У, 'Ля~ у= я=! А ~л!.л!1-! ! т. л)д — (л —,, г.
л)д!.,!, !а! а=! а=! содержит на верхнем слое выражение л Ву", где В= Е тго 'У~ Ла (42) а.=! Оператору В, встречавшемуся (почти в той же форме) в схеме (11.б8) для многомерного уравнения теплопроводности, соответствует ленточная матрица типа, изображенного на рис. 89 (гл. Х! 1, 3 2, п. 3). Решение линейной системы (41) не сводится к одномерным прогонкам, и оператор В оказывается труднообратимым, Поэтому исходная схема (40) неэкономична. Факторизованная схема.
Оператор (42) можно приближенно заменить факторизованным оператором С= И (Š— т'оЛ ) = а=. ! л — ! л =Š— т'о ~ Ла+т'о' '~, 'У', ЛяЛв+," =В+0(т') (43) я= ! В=! -~-а т. е. приближенно расщепить В на произведение одномерных операторов. Заметим, что перестановочности операторов Л„для этого не требуется. Заменяя в исходной схеме (41) оператор В операторы ˄— трехточечные и вычисляются по формуле (16).
Эта схема симметрична по пространству и времени, поэтому легко видеть, что она имеет аппроксимацию О,т'+ ~', 6'„) при любых ,я= ! значениях веса о. Методом разделения переменных можно показать, что при о - !7, схема (40) безусловно устойчива. Однако исходная схема, которую можно переписать в виде ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ, ХП1 на С, получим факоюризоеанну!о схеиу: Р Ц (Š— т'оЛ,) у = а=! Р ) / Р = !2Р !. ' !1 — ~ ! у л.
) д — ! ~Р— ' ~ ~) ! .!. '1, !4а а.= ! а=! отличающуюся от исходной. Исследуем ее. Аппроксимация. Преобразуя факторизованную схему (44) к форме типа (40) и учитывая соотношение (43), получим —, (у — 2у+у) = Р Р 1 ~' Л„[оу+ (1 — 2о) у+ оу)+1 — т'о' )~ ~)~~ Л„Лау+ ..., а=! а=-! Б= !+а у=1+2о~ у„--1, а Уравнение (45а) аналогично уравнению (22а); поэтому оба его корня не превышают единицы по модулю только в том случае, если выполняются неравенства (23): у -.- е, 2 ! р ~ е+ у.
Первое нз этих неравенств для коэффициентов (45б) всегда справедливо. Второе неравенство заменим несколько более жестким требованием ~ р ~ ==. у; нетрудно проверить, что оно выполняется при (46) Это и есть достаточное условие устойчивости схемы (44). В частности, если ога1Л, то условие (46) выполняется при любых шагах т, Ь„и схема является безусловно устойчивой, что отличается от схемы (40) на члены 0(т').
Поскольку исход- ная схема (40) имеет второй порядок аппроксимации, то факто- ризованная схема (44) также имеет аппроксимацию 0(т'+ ~')!Р). Усто й ч и вость исследуем методом разделения переменных, подставляя в (44) многомерную гармонику (37). С учетом соотно- щения (38) получим для множителя роста квадратное уравнение ер' — 2рр+ У = 0; (45а) Е=Ц(1+2оуа))1, р=1 — (1 — 2о) ~у„, а а а ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ 439 5 21 Б е з ус л о в н а я с х о д и м о с т ь факторизованной схемы (44) со скоРостью 0(те+2;/зз) пРи з/,=со~'/з слеДУет из сказанного выше.
Вычисление разностного решения сводится к последовательности одномерных прогонок по всем направлениям х,. В самом деле, факторизованный оператор С есть произведение одномерных трехточечных операторов Š— тзоЛо, а каждый такой оператор обращается одномерной прогонкой. Тем самым, схема (44) экономична. Таким образом, для многомерных задач акустики факторизацией удается построить безусловно устойчивые экономичные схемы, сходящиеся со скоростью О (т'+ ~;/то). $2. Одномерные уравнения газодинамики 1.
Лагранжева форма записи. Одномерные уравнения газодинамики являются хорошим приближением для описания ряда интересных задач: плоского течения сжимаемого газа в трубе, взрыва сферического или длинного цилиндрического заряда в газе, кумулятивных эффектов в мишенях при управляемом термоядерном синтезе (в последней задаче существенна также теплопроводность и другие эффекты) и т. д. Мы рассмотрим простые, но эффективные разностные схемы решения уравнений газодинамики без теплопроводности *). Уравнения газодинамики могут записываться в различных формах — эйлеровой н лагранжевой.
В эйлеровой форме производные по времени выражают изменение величин в данной точке пространства, а в лагранжевой — изменение характеристик данной материальной точки. Эти производные связаны соотношением (ф = Я) + (и ). Если нас интересуют параметры потока в заданной пространственной области (течение газа в трубе), то естественно выбрать эйлеровы координаты. Если нам нужно исследовать поведение некоторой массы вещества, то целесообразно применение лагранжевых координат.
Особенно выгодны лагранжевы координаты для задач в слоистых средах, потому что они позволяют легко следить за границами раздела различных сред. Большинство одномерных задач относится ко второму типу (в многомерном случае это не так). Поэтому здесь мы рассмотрим только уравнения газодинамики в лагранжевых координатах. *) Уравнения газодинамики н исследование простейших газодинамических течений приведены, например, в (11, 19), а более подробное изложение методов решения — в (27, 28, 34). 44О ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ )гл. хпг Сначала запишем их в такой форме, когда производная по вре- мени лагранжева, а пространственные координаты — обычные: + рб)утт=О, ор (47) дэ р — + дгаг) Р = О, дт Р т + Р г(1ч тг = 0; (49) (48) здесь р — плотность, тг — скорость, р — давление и е(р, р) — внутренняя энергия единицы массы, зависимость которой от давления и плотности считается известной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
