Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 96
Текст из файла (страница 96)
На каждой итерации трехточечное уравнение (79) решается прогонкой. Найденные значения е„передают в уравнения (74), (76) н снова проводят первый малый круг итераций и т. д, Это взаимное согласование уравнений импульса и энергии составляет большой круг итераций. 4ЗО (гл. Хп! ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВИЕЬ!ИЯ Обычно считают нормалы!ым, если малые круги сходятся за 3 — 5 итераций, а большой круг — за 2 — 3.
Большее число итераций указывает на целесообразность уменьшения шага т. Замечание. Можно провести итерации в один круг, если полностью линеаризировать систему (71), считая )т = р (е, р), Однако при этом получаются существенно более громоздкие уравнения в вариациях, для решения которых надо применять матричную прогонку (см, дополнение к 130)). Устойчивость. Методом разделения переменных в линейном приближении можно показать, что схема (71) безусловно устойчива.
Таким образом, шаг т ограничивает только условие сходимости итераций при решении нелинейной системы (71). Аппроксимация и сходимость. Схема (71) не симметрична по ( и поэтому даже на гладких течениях имеет аппроксимацию О (т+/тз). Тем самым, на гладких течениях схема <крест» может оказаться более точной. Однако при расчете течений с ударными волнами и другими особенностями неявная схема дает сушественио лучшие результаты, чем схема «крест». Поэтому она широко применяется в практике вычислений„ особенно в кбольших задачах».
Сходимость схемы (71) строго не доказана, но многократно проверена на сложных задачах-тестах с известными точными решениями. б. О других схемах. Схемы (бб) и (7!) являются однородными. Имеется много близких к ним алгоритмов, отличающихся деталями написания отдельных членов разностных схем или другой организацией итерационных процессов решения нелинейных разностных уравнений. Из них следует отметить лолногглью коньервотивныг схемы, в которых автоматически выполняются разностные законы сохранения не только массы, импульса и полной энергии, но также законы сохранения энтропии и внутренней энергии.
В настоящее время построены полностью консервативныс схемы лля задач одномерной газодинамики в лагранжевых и зйлеровых переменных, задач магнитной газодинамики и двумерных газодинамических течений (подробнее см. в 134)). Есть иначе построенные однородные схемы. Из них отметиы схему распада разрыла. Она составлена так, что в акустичсскол! приближении *) переходит в явную схему бегущего счета для инвариантов (ЗЗ), обладающую хорошей аппроксимационной вязкостью. Благодаря этому схема позволяет рассчитывать любые разрывы без введения псевдовязкости.
В акустическом приближении схема распада разрыва монотонна; в газо- динамике на сильных ударных волнах возможна немонотонность, хотя фактически она невелика. Схема имеет аппроксимацию О (т+(!), поэтому для расчета гладких течений она невыгодна. Но фронгы ударных волн она воспроизводит хорошо, с малым сглагкиванием. Схема распада разрыва — явная и имеет ограничение на шаг типа От ~ Лг, где 0 — скорость ударной волны. Это ограничение, а также громоздкость схемы препятствуют широкому ее применению. *) Если р, р, е лишь слабо колеблются около равновесных значений, то уравнения газодинамики переходит в уравнения акустики (см., напрнь!ер, 1401), 451 ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ 1.
Составить схему «крест» для задачи (1) при неравномерных сетках по х и 1 и исследовать аппроксимацию схемы. 2. Найти невязку схемы (!2). 3. Для волнового уравнения (1) составить схему с весом и на шаблоне рис. 101 и провести исследование этой схемы; показать, ! ио пРи а -. «7» схема бе»Условно неУстойчива, пРи о -= :=" ~,'« — безусловно устойчива и при о ) т(а обладает аппроксимацнонной вязкостью.
4. Установить аппроксимацию схемы (19). 5. Проверить исследование устойчивости схемы (!9), данное в 9 1, п. 3. 1-б 6. Доказать, что схема (26) имеет аппроксимацию Рис. 101. О (тз+ А«). 7. Составить схему типа «крест» для задачи (!8), приписывая значения рз Узлам сетки, а з — центРам Ячеек к„ьм, 1 +у. написать ДлЯ нее начаЛьэ ные данные точности 0 (т«+Аз) 8. Провести полное исследование схемы (ЗЗ). 9. Рассмотреть, как в схеме (33) вычисляется разностное решение в граничных узлах. 10.
Вывести формулы циклической прогонки для случая матрицы, изобра»кенной на рис. 95. 11. Исследовать устойчивость многомерной схемы с весами (40). 12. Провести полную лннеаризацию сисгемы (7(а) — (71г) для случая изотермической газодинамики с учетом вязкости и свести задачу к решению трехточечного уравнения относительно бо. Помимо однородных схем сушествуют схемы с явным выделением особенностей, в которых точно прослеживается движение всех сильных и слабых разрывов. Одна такая схема предложена и подробно описана в (87).
Но такие схемы очень сложны, и их применяюг только в тех случаях, когда требуется особенно высокая точность расчета. ГЛАВ А Х1Ч ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В главе Х1Ч рассмотрены простейшие методы решения интегральных уравнений. Корректно поставленным задачам посвшпен й !. В нем изложены некоторые типичные постановки задач и даны методы нх решения: разностный метод и некоторые приближенные методы. В 1 2 рассмотрены некорректно поставленные задачи для линейных интегральных уравнений первого рода.
Изложена теория построения регуляризирушщих алгоритмов по А. Н. Тихонову. Для некоторых некорректных задач, возникших в предыдущих главах, даны алгоритмы решения, доведенные до схем численного расчета. $1. Корректно поставленные задачи 1. Постановки задач. Интегральным называют уравнение, в котором неизвестная функция и (х) стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение имеет вид ь ')К(х, $, и(1)) д$=г" (х, и(х)), а~х~й, (1) а где ядро К(х, $, и) и правая часть г (х, и) — заданные функции. К интегральным уравнениям приводят многие физические задачи.
Так, задача восстановления переданного радиосигнала и (1) по принятому сигналу ) (1) сводится к решению интегрального уравнения типа свертки: ~ К (1 — т) и (т) ат =- ) (1), (2) о где ядро К(й) зависит от свойств приемной аппаратуры и среды, через которую проходит сигнал. Заметим, что даже для задач, записанных в терминах уравнений в частных производных, первичной обычно является формулировка в виде интегральных законов сохранения, т. е. интегральных уравнений. В предыдущих главах такие формулировки использовались, например, для построения консервативных разностных схем.
5 н КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ Интегральные уравнения в некоторых отношениях удобнее дифференциальных. Во-первых, интегральное уравнение содержит в себе полную постановку задачи. Например, интегральное уравнение х (х)=и,+~(Я, (В))а$ Р) х~ эквивалентно задаче Коши для дифференциального уравнения аи (х) =Г" (х, и), и(х) =и,. (4) Тем самым, для уравнения (3) не требуется задавать никаких дополнительных условий, начальных или граничных (см. также задачу 1).
Во-вторых, в интегральных уравнениях переход от одной переменной ко многим является естественным. Так, многомерным аналогом (1) является уравнение ~ К(х, $, и(й)) г(4=г (х, и(х)), о (5) х=(х„х„..., х,) я б(х), отличающееся от (1) только тем, что интегрирование проводится по многомерной области 6. Поскольку оба уравнения не требуют дополнительных условий и полностью определяют задачу, аналогия является полной.
Тем самым, теоретическое обосноварие постановок и методов решения одномерных задач непосредственно обобщается на случай многих измерений. Наоборот, в дифференциальных уравнениях переход от одной переменной к нескольким, т. е. от обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнениям в частных производных, является принципиальным усложнением, приводит к новым постановкам задач и требует новых методов для их обоснования. Далее мы ограничимся рассмотрениелл одномерного уравнения (1) и некоторых его частных случаев. Л и н е й н ы е з а д а ч и. Лучше всего изучены уравнения, в которые неизвестная функция и(х) входит линейно (см. [231). Их можно записать в виде и (х) — 1.
~ К (х, $) и ($) г$ = )'(х), а = х =' Ь. (6) а Это уравнение называют уравнением Фредгольма второго рода: ядро К(х, $) этого уравнения определено на квадрате аа-.х~ Ь, аа= $-.а Ь. Если ядро К (х, е) отлично от нуля только на треугольнике а=-$ ~х~Ь (т. е, К(х, $) =О при х($), то уравнение (б) 454 ИНТЕГРАЛЫ!ЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Х!Ч переходит в уравнение Вольв!ерра второго рода: к и (х) — А ~ К (х, е) и (а) е$ = ) (х), а ~ х ( Ь. (7) а Это уравнение теоретически исследовать или численно решить много проще, чем уравнение Фредгольма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
