Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 91
Текст из файла (страница 91)
При этом схема для исходной задачи Ау= — 1 записывается в виде В»=(0+т»В»)0 ~(0+т»В,), В» — — ~ ~ +Ау» '=~, (68) где 0=0н) 0 — диагональный оператор, выбираемый так, чтобы возможно сильнее уменьшить отношение у~у, границ эквивалентности (29) операторов А и В», а треугольные операторы )7„выбраны так, чтобы выполнялось В,+)с,=-А, )7,=7т,"., (нетрудно заметить, что в схеме (67) эти условия выполйены, причем Р=Е). 'Если используется чебышевскнй набор шагов, то процесс (68) сходится за К=О ()' Л) 1п — ) итераций.
Градиентные методы. Можно заменить линейную задачу Ау= — 7" задачей на минимум квадратичной функции г" (у). Если матрица А положительно определенная, то удобно взять задачу Е (у) = (Ау, у) + 2 ® у) = ппп. (69) Для произвольной матрицы А (которая встречается в задачах со смешанными производными) можно положить Г(у) — (Ау+Г, Ау+7) = ппп.
(70) Задачу на минимум можно решать методом наискорейшего спуска, что для случая (69) выполняется по формулам (6.22) — (6.26). 423 задачи Скорость сходимости метода наискорейшего спуска, согласно оценке (6.27), такая же, как н у экономичных схем с постоянным оптимальным шагом, т. е. К(е) =О(!17!и(!/е)). Она меньше, чем у схем с чебышевским набором шагов. Достоинством метода является то, что для его применения не надо знать границы спектра оператора А.
ЗйДЛЧИ 1. Найти время, необходимое лля установления стационарного режима в эволюционной задаче (1О), и исследовать характер установления. 2. Найти оптимальный шаг для счета на установление по локально-одно- мерной схеме типа (22) в случае зааачи Дирихле (1) в трехмерном параллеле- пипеде.
3. Найти оптимальный шаг и необходимое число шагов К(е) для счета на установление по явной схеме (39) в случае задачи Дирихле в Р-мерном па- алчелепипеде, когда сетки равномерны, а число узлов по каждой переменной а свое. 4, Для условий задачи 3 построить упорядоченный чебышевский набор шагов при К=64. 5. Обосновать критерий установления (27б). 6.
Дчя решения задачи (41) методом Ритма написать аналог системы (45) при <р,(х) ФО. 7. Составить вариационным методом разностную схему, аналогичную (50), используя для 7(х) спнайновую аппроксимацию типа (48), 8. Составить формулы наискорейшего спуска для задачи (70). 9.
Доказать справедливость рекуррентных формул (57). У к а з а н и е: пола- гая последовательно лг4 ЕМы )та =с)тз и т. д., использовать для индексов сле. дующую замену переменных: Р=Рг+)гзрз, Рг Рз+7игот, Рз=рз+Дгзрз, ..., п=(г+ь(з, (з =(а+с(а, (з= (з+ь(а> ... ГЛАВА ХП! ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Глава ХП! посвящена разностным схемам для уравнений в частных производных гиперболического типа, В й 1 рассмотрено гиперболическое уравнение второго порядка — волновое уравнение, которое можно заменить эквивалентной системой двух уравнений первого порядка.
На примере одномерной задачи подробно разобраны явные н неявные разноствые схемы решения э1их уравнений. Дано обобщение этих схем на случай любого числа измерений, В б 2 рассмотрены одномерные уравнения газодинамики, являющиеся гиперболической системой квазилинейных уравнений первого порядка.
Построены две однородные разностные схемы («крест« и неявная консервативная схема), дающие хорошие результаты при решении многих прикладных задач. Приведен внд псевдовязкости, используемый в этих схемах. й 1. Волновое уравнение 1. Схема «крест». К гиперболическим уравнениям приводят задачи колебания струны, движения сжимаемого газа, распространения нозмущений электромагнитных полей н многие другие. Типичным примером одномерной задачи является задача малых колебаний натянутой струны с распределенной по длине нагрузкой 1(х, !): ии=сзи„„+) (х, !), 0(х(а, 0(! ( Т; (1а) и(х, 0)=)ь,(х), ит(х, 0)=Р,(х), 0(х(а; (1б) и(0, !)=рз(!), и(а, !)=)ь«(!), 0==1==Т (1в) (это же уравнение описывает плоские акустические волны в газе при наличии внешнего силового поля !). Краевые условия первого рода (1в) соответствуют заданному закону движения концов струны; возможны и другие типы краевых условий.
Заметим, что, в отличие от параболической задачи (11.1), гиперболическая задача (1) требует постановки двух начальных условий: не только начального смещения от положения равновесия и, но и начальной скорости вещества ио Составим несложную и эффективную разностную схему для задачи (1). Выберем по х, ! прямоугольную сетку, для простоты 425 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ равномерную, и возьмем Изображенный на рис. 91 шаблон. Аппроксимируя прозводные разностями, получим трехслойную схему 1 с» у(У« — 2уп+Ул) =як(у ы — 2ул+У -т)+1 1~Л~У вЂ” 1, (2а) с граничными условиями У» =)»»(!) УА' = Р! (г) (2б) По форме шаблона эту схему называют «крест».
Исследуем ее. Вычисление решения. На нулевом слое решение известно из начального условия у"„= р, (хп), 0 =. и ==.М. (3) На первом слое решение также можно вычислить по начальным данным. Простейший способ состоит в том, что полага!От 1 ! и — (уп — уп) и! (хп О) = 1»» (хп) (4а) 1«=п У вЂ” 1. Более хорошие результаты дает использование следующего члена разложения: !» т (!и — У ) и! (хп, 0)+2 ии(х»„0); т выражение для ии в это соотношение надо подставить из уравнения (1а).
Окончательно получим Уй=уп+туа(Хл)+ ~с' 1!( и) +)(хл 0)1 1~0(й( — 1, (4б) где р,п можно заменить второй разностью. Схема (2а) явная и позволяет выразить уп через значения у с двух предыдущих слоев. Поэтому, начиная со второго слоя, разностиое решение вычисляется по этой схеме. Описанный алгоритм показывает, что, после того как выбрана одна из начальных формул (4а, б), разностное решение существует и единственно. А п п р о к с и м а ц и я.
Разложим точное решение по формуле Тейлора с центром в узле (хп, 1 ), предполагая наличие непрерывных четвертых производных: !!! Лп !!и ~2! «+ 2 "" 6 ««" + 24 !и -!. 1 тп тп ,!! и" — ' = и +- ти, + — — ии ~ — и»и+ — и»а!. и 2 6 24 42б ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. хп! Используя эти разложения, легко найдем невязку схемы (2а): 1 ар= ии — с'и, — —;(и„"'+' — 2и„"'+и„— ')+ «» м мйа + А, (и„4., — 2и„+и„,)= — 12 или+ 12 и,„, =0(т'+й ), и невязку начального условия (4а): »Р=Ра(х») — — (и~ — иа) = — 2 ив=О(т), а (ба) или начального условия (4б): а)а=)!» (Х„)+ ~-(С» В +(„) — — (иаа иа[) = — Е Х ил!= 0 ('Г ). (бб) Начальное условие (3) и краевые условия (2б) аппроксимируются точно. Таким образом, схема (2) — (3) с начальным условием (4б) имеет аппроксимацию 0 (т'+й').
Использование начального условия (4а) ухудшает аппроксимацию до 0(т+й'). Усто йч и вость исследуем методом разделения переменных, полагая в схеме (2а) [=О, у„=е ', у =р у, у=р,у. (7) Для множителя роста гармоники получим квадратное уравнение сат' . дй [ Р« — 2Р«(1 — 2 йа з[п — 2 — )+ 1 =О. (8) По теореме Виета произведение его корней р,'р" =1.
Значит, условие устойчивости ~р,,(=-1 может быть выполнено, если [р«( = = ~ р« ~ =1. Для уравнения с действительными коэффициентами (8) это означает, что корни образуют комплексно сопряженную пару; для этого дискрвминант уравнения не должен быть положительным: ~1 — 2( — — з!и — ) ~==1. Чтобы это неравенство выполнялось для любых гармоник, необ. ходимо и достаточно соблюдение условия Куранпии ст <й. (9) Таким образом, схема «крест» условно устойчива. 3 а меч а н не 1. Если ст=й, то для некоторых гармоник Х становится кратным корнем уравнения (8).
Это приводит к слабой неустойчивости счета: амплитуда этих гармоник при т-»О 427 волновое угхвнвннв $ л растет, как л«=(1/т). Поэтомч в условии Куранта (9) стоит строгое неравенство. Сходимость. Из сказанного выше следует, что схема (2) с начальными условиями (3), (4б) при выполнении условия Куранта (9) сходится со скоростью 0(т'+й'). Из наших рассуждений вытекает сходимость схемы в й ~й,, но методом энергетических неравенств можно доказать, что сходимость равномерная.
Схема (2) обеспечивает хорошую точность расчета решений и (х, 7), имеющих непрерывные четвертые производные. Она позволяет рассчитывать менее гладкие и даже разрывные решения, хотя в последнем случае точность расчетов невелика и обычно возникает легкая «разболтка», связанная с немонотонностью схемы. Условие устойчивости (9) естественное, поскольку для получения хорошей точности тоже надо полагать ст Ь. Поэтому схему «крест» часто используют для практических расчетов.
За меча и не 2. Схема (2) написана для случая постоянных шагов й и т. Если шаги переменные, то надо заменить производные по пространству и времени соответствующими выражениями (3.2), которые обеспечивают локальную аппроксимацию 0(т'+Ь') только в случае квазиравномерных сеток по х и й Поэтому для трехслойных схем, в отличие от двуслойиых, резкие смены шага т„, в ходе расчета опасны: это может привести к ухудшению точности. 3 а м е ч а н и е 3. Для задач с краевыми условиями первого рода иг=р(1) удобно выбирать сетку так, чтобы узлы х, и хи были концами отрезка 10, а|.
Если же на одном из концов задано краевое условие второго рода и„(а, г) = р ((), то целесообразно полагать хи,=а — '/»й, хм=а+'Щ чтобы граница была полуцелой точкой. Тогда естественное разностное краевое условие 1 й- (йи — рл- ) = р («) (1 !) обеспечивает аппроксимацию 0(й'). Такой выбор сетки полезен и для других типов уравнений. 2. Неявная схема. Если схема условно устойчива, то случайное небольшое нарушение условия устойчивости может привести к быстрому нарастанию погрешностей, вплоть до «авостов» при расчетах на ЭВМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
