Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Вычислим интеграл в его левой части: ~л+ 112 л+12 иг' Й =- и„~ г' Й. = И„У„, 'л — С,г пс! 1!2 ГдЕ 1'л ЕСТЬ ОбЬЕМ КОЛЬЦЕВОГО ИЛИ СфЕрИЧЕСКОГО СЛОЯ: 1 л ! (Гп+112 Гл — 1Сг)' (45) Аппроксимируя остальные интегралы так, как в п. 6, получим разностную схему с весами: ! о л (Ул Ул) = у (!л — 1СЛл — 112 Гп-)-122!и'и+ 112) + 11 I и и + у 11п — 11211гл — 1!2 Сп+ !Сгни л + 1Сг)+Чалю п «л улсс %л+ 112 = Нп+!Сг С ссп=сп.1 Гп (46) л 1'л + 112 = С+ л 'л+ 1!2 СРл= — ) с)! ) 7(г, !) г'Й.
С лп — 112 Для аппроксимации этого условия удобно выбрать пространственную сетку так, чтобы г,='Щ, г,= — 1/2)гп! при этом узел г, Исследование этой схемы проводится аналогично исследованию схемы (34). Обратим внимание на постановку граничного условия при С =0 для цилиндрического или сферического случаев (у =! или 2).
На оси или в центре симметрии естественное граничное условие есть ж'(о, !) =о. (47) !гл. х! ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ будет фиктивным. Тогда точка г=О является серединой первого интервала, и разностный аналог краевого )словия (47) примет вид Уо=УП (48) Замечание.
Такой способ выбора сетки нередко применяют на внешней границе, а также в плоском случае, если на границе задано краевое условие второго рода (ил)„р„,— — )з(!). 8. Квазилинейное уравнение. Значительную трудность для численных расчетов представляет случай квазилпнейного уравнения теплопроводности, которое мы запишем, для определенности, в плоском случае; — = — ~й(х, 1, и)о — ~~+7(х, 1, и), й ~ О. (49) — (у„— ул) =;,—. ~ил+ !~я (ула, — у.) — ил- пл(ул — ул- т))+ тра, (50) и нелинейным! ! ! (Ул Уп) = уев(ил+ пз (Ул» Ул) ил — пз (Ул Ул-т)1 + Ч>л (81) Здесь и определяется формулами типа (Зба), например: ! ил+ !!2 = о гл (Хл~ 1 Ул) + л (Хлаз~ 1 Улат)1 *) Например, по закону А(и) ~ ио, где са='/, для электронной теплопроводности и к 5 — 8 для лупистой теплоправодности. 1) В таких задачах коэффициент теплопроводности нередко сильно зависит от температуры* ) и при высоких температурах может стать очень большим.
Поэтому явные схемы для уравнения (49) совершенно непригодны из-за сильного ограничения на шаг, и расчет надо вести по беэусловно устойчивым неявным схемам с весом о.=-'/,. 2) У квазилинейного уравнения теплопроводности существуют решения и(х, !), производные которых обращаются в отдельных точках в бесконечность. Примером такого решения является рассмотренная в главе 1Х бегущая тепловая волна (9.12), у которой на фронте и,=оп. Такие решения близки к разрывным, и при их расчете по немонотонным, хотя и устойчивым схемам легко возникает «разболтка», т.
е. пилообразные профили. Поэтому для численного решения уравнения (49) удобно использовать чисто неявные схемы с весом олл1, которые устойчивы и монотонны при любых шагах. Рассмотрим (ограничиваясь для простоты записи равномерной сеткой) два варианта таких схем, которые будем называть линейным: Зат одномвгныв инлвняния или / ! хл+ 02 = й хл+ п2 1+т з (Ул+ Усы))1 аналогично определяется гр. Можно показать, что обе схемы абсолютно устойчивы, консервативны, монотонны и на четырежды непрерывно дифференцируемых решениях имеют погрешность аппроксимации 0(т+ла).
Сравним эти схемы между собой. Линейный вар и а нт (50) проще. Мы называем его линейным, ибо хь е пе зависит только от решения у с известного слоя; поэтому уравнения (50) содержат у„линейно*). Из линейности и преобладания диагональных элементов матрицы следует существование и единственность разностного решения у„.
Это решение вычисляется прогонкой, так что формулы расчета просты и легко программируются на ЭВМ. Н ел и н ей н ы й в ар на нт (51) содержит дополнительную зависимость х(у) от значения у на новом слое, благодаря чему алгебраическая система (51) нелинейна относительно у„. Очевидно, если т-ь О, то у„-ь.у„, поэтому при достаточно малом т существует вещественное решение системы (51).
Но при большом т система (51) может и не иметь вещественного решения. Вычислять решение системы (51) можно двумя способами. Первый способ — метод последовательных приближений, в котором значения х и у берутся с предыдущей итерации: — (У« — Ул) = = у~ха+ йа (Улв+1 — Ул') — х 1'йг (У" ' Ул' — ~)1+ <рл' ' (52) х' " = х(у" ~), уое =у„ (в качестве нулевого приближения здесь, естественно, берутся значения с известного слоя). Величины у~н находятся из (52) прогонкой. Итерации (52) сходятся линейно и обычно не быстро; они могут и расходиться**).
В последнем случае можно вести расчет с фиксированным числом итераций, обычно с двумя или тремя итерациями. Отметим, что при одной итерации (52) нелинейная схема (51) совпадает с линейным вариантом (50). Сложней, но заметно эффективней второй способ решения системы (51) — метод Ньютона. Учитывая, что х„~ь па = х(у„, у„м), подставим в уравнения (51) у.=ун>+бум~, Проводя линеариза- *) Зависимость от у» остается нелинейной, тах что схема (50) в строгом смысле слова нелинейна; ато надо учитывать при исследовании ес устойчивости.
"') См. гл уШ, $ 2, и. о, где рассмотрена сходная система (8.711. (гл. х! ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ цию, получим довольно громоздкие уравнения, линейные и трехточечные относительно бу(5)( дх55+ \(з „~( ГАЗ бу» ~'+ ( + - (упп,— уп)~ — бул~ —,-' '+ (и+ дулт) +6Ул )~Хи )5З вЂ” ". "'(Ул — Ул.!)~= дул-! Аа (Уп Уи) хп+ )!з(Упп! Уи) +хи — )(з(Ул Ул-!) и (ри5 у(5+ и У(5)+бу(5) ° л л п индекс итерации з в основном уравнении опущен. На каждой итерации уравнения (53) решают прогонкой, Полученный итерационный процесс сходится, если шаг т не слишком велик, причем вблизи корня сходимость квадратична. Если сходимость недостаточно быстрая (число итераций превышает 5 — 10), то целесообразнее не ограничивать число итераций, а уменьшать шаг т.
Практика численных расчетов показала, что фактическая точность расчета по нелинейной схеме (51) обычно существенно лучше„чем по линейному варианту (50). Это позволяет вести расчет более крупным шагом т, так что объем вычислений, требующийся для достижения заданной точности, получается меньше. Поэтому нелинейная схема (51), несмотря на свою сложность, выгоднее линейного варианта (50), особенно при решении больишх задач и). В к л ю ч е н и е т о ч к и, В квазилинейных задачах возможно обращение й(и) в нуль при достаточно малых значениях температуры *"). Наиболее типичным является случай й (и) — р)и", когда У=О при и=О. При этом надо обращать особое внимание на выбор формулы типа (35а) для вычисления х.
Например, полагать хп+)(з=)уй(ул) й Ь.+!) или 2й (Ул) /г (д„п () х„+)(з= „"+„„" ') Большими задачами называют сложные задачи современной математической физики, описываемые системой болыного числа уравнений в частных производных; в число этих уравнений может входить и уравнение теплопроводности. '*) В физических задачах при достаточно малой температуре геплопроводность становится пренебрежимо малой (исключая случаи сверхпроводимости и сверхтекучести); при высоких температурах теплопроводность заведомо не обрашается в нуль. 389 » 21 МНОГОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ 1 ил+1!2 = й ~хл-~-1!2 1 9 (Ул+ У»11)) (54а) или Ил+112= л (й (хл, 1, у,)+2 (хл»1 1ю ул+2)) (54б) 1 При дважды непрерывно дифференцнруемом коэффициенте теплопроводности на произвольных сетках, а при кусочно-непрерывном коэффициенте с кусочно-непрерывными вторыми производными — на специальных сетках они имеют аппроксимацию 0 (й'). $ 2.
Многомерное уравнение 1. Экономичные схемы. Для уравнения переноса хорошие одномерные схемы — схемы бегущего счета — естественно обобщались на случай многих измерений. Однако попытка обобщить на случай многих измерений хорошие одномерные схемы расчета теплопроводности '- неявные схемы типа (6) и (34) — наталкивается на принципиальные трудности. Рассмотрим их на примере двумерного уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом, для которого задана первая краевая задача в прямоугольной области: и»=й(и,,„,+и„,„,)+~(х», х„1), й=сопз1)0, 0<х,<а, 0<х»<Ь, О<ЕСТ; и(0, х„1)=р,(х„1), и(а, х„!)=р,(х„1), и(х, О, 1)=р»(х„1), и(х„Ь, 1)=р,(х, 1), и (х„х„О) = р (х„х»). (55а) (55б) ВВЕДЕМ ПряМОуГОЛЬНуЮ СЕтКу (Х„л, Х,, О~П~ЛГ, 0(Л»~М) (рис. 81), причем для простоты шаги по каждой переменнои Ь„ й» выберем постоянными.
Возьмем изображенный на рис. 82 шаблон, имеющий на каждом слое форму креста, и составим на нем неявную двуслойную схему с весами, являющуюся обобщением схемы (6) на двумерный случай: — (Ул — Ул ) = (Л»+Л») ~ОУ„л+ (1 — С) У„л), (56) нельзя: если в точке х начальная температура у„' =О, то в примыкающих к этой точке интервалах хл 11»=х„+112=0, и тепло в эту точку никогда не проникнет (точка «не включится»).
Поэтому надо выбирать такую формулу вычисления к«+112 = =- н(ул, ул+,), чтобы выполнялось ял 811»ФО, если й(х, 1, и) чьО хотя бы в некоторой части отрезка 1х„, х„«11. Этому условию удовлетворяют, например, формулы ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Х! А Л,у, = —; (ул+ь — 2ул + ул ь т), ! .Адулт = / (ул, тд д 2улт+ул, т — д). (57) Рис.
82. Рис. 81. Легко проверить, что погрешность аппроксимации этой схемы на решениях с непрерывными четвертыми производными равна 0(т'+й[+йд), где Р=2 пРи и=',, и У=1 пРи аФ'/,. Методом разделения переменных, подставляя гармоники ул =ехр(/дхд„+ + дгх, ) и определяя их множители роста р „можно получить условие устойчивости схемы (56) в 1[ [[1,: 1 1 /! 1[ — ! 2 Алт1й) д+ Аг/ похожее на одномерное условие (14). При выполнении условия устойчивости (58) схема (56) среднеквадратично сходится с точностью 0(т'+й'[+йдд). Нетрудно написать обобщение схемы (56) и условия устойчивости (58) на любое число измерений р.
Оценим число действий, требующихся для выполнения расчета до момента времени Т по такой схеме в случае р измерений. Прн о = 0 схема (56) становится явной и значение ул непосредственно вычисляется по значениям с предыдущего слоя. Поэтому общее число действий для перехода со слоя на слой пропорционально числу узлов сетки; оно /!/и, если число узлов по каждой пространственной переменной равно й/. Но явная схема устойчива только при 2/гт~(йрл+йдл) ' Ж-'. Значит, для расчета до момента времени Т надо сделать й/' ШаГОВ ПО ВРЕМЕНИ И ПОЛНЫЙ раСЧЕт ПОтрЕбуЕт йдР"и дЕйетВИй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
