Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Очевидно, соотношение (64) является законом сохранения для каждой отдельной ячейки; оно содержит потоки и другие величины на границах этой ячейки. Просуммируем (64) по всем ячейкам области 6: л лы (а ' — и'") г(х+-- ~ (и„'— и'„,) дг = О. (66) л=-. гпз=ь к и-г н м — г Х Х ° И(":+'-У:)+-грУ:(У: —:-,)1=' (") и= г т.=О Преобразуем второе слагаемое в квадратных скобках: 1,, 1 2 (кг" у" г) 2 (ул Тогда (67) легко привести к следующему виду: ~~1! )г (ум уи) +.
~О т [(у")О (у )О]+ Ь О (68) м — г л= г т=ь н м — г Л= — ~> ~ т(у — у"' ) О (69) л= ге =О Легко видеть, что интегралы по тем границам ячеек, которые лежат внутри 6, попарно уничтожаются; остаются только интегралы по наружной границе, и (66) совпадает с (65). Иными словами, закон сохранения во всей области есть точное следсгггвие закона сохранения в отдельных ячейках. Не всякая разностная схема обладает таким свойством. Например, возьмем схему с ложной сходимостью (59), умножим обе части на тй и просуммируем по всем ячейкам: КВАЗИЛИНЕННОЕ УРАВНЕНИЕ Первая и вторая суммы в (68) являются разностными аналогами интегралов в (65); они не содержат значений у„'" во внутренних узлах области 6.
Но остается еще третья (двойная) сумма (69), содержащая внутренние узлы неустранимым образом и заведомо не равная нулю. Поэтому при расчете по схеме (59) разностный закон сохранения во всей области 6 нарушается на величину Л. Такие схемы называют нгнонсервативныма, а величину Л называют дисбалансом схемы. Построим консервативную схему, т. е. такую, у которой дисбаланс равен нулю. Для этого в интегральном соотношении (64) аппроксимируем интегралы линейными квадратурными формулами. Если, для определенности, воспользоваться формулой прямоугольников с теми же узлами, что в предыдущей схеме, то получим явную схему следующего вида: (ул ул)+ уй (ул ул — 1) = О (7О) рис.
75. Суммирование (70) по всем ячейкам дает именно две первые суммы в (68), и дисбаланса не возникает. Выбирая другие шаблоны, можно построить различные консервативные схемы для уравнения (44). Например, если вычислить интегралы в (64) по шаблону рис. 75, то получим неявную схему ,1.
(Ул Ул)+он(Ул Ул — 1) (71а) Это — схема бегущего счета, и для выполнения вычислений ее удобно переписать в следующем виде: ь !ь гн (716) здесь из двух корней квадратного уравнения (71а) согласно условию и(х, () ) О выбран положительный. Суммируя (71а) по всем ячейкам, получим разностный закон сохранения: (т(У Ул)+ ~ ~ т[(Уй)' — (У ) ]=О. (72) а=1 Вторая сумма немного отличается от второй суммы (68), но это отличие несущественно. Дисбаланс отсутствует, так что схема (71) консервативна. Схема (у!) любопытна во многих отношенивх.
Она является схемой сквозного счета; хотя ее сходимость строго не доказана, она успешно используется для расчета сильных разрывов даже в отсутствие псевдовязкости (по-види- 386 УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА мому, это связано с наличием достаточно большой аппроксимационной вязкости схемы). Схема люнотонна. Есть обобщения этой схемы, сохраняющие все ее хорошие свойства и существенно повышающие точность расчета (70).
Интерес к таким схемам объясняется тем, что многие изложенные здесь идеи удается перенести на случай газодинамики и других сложных и важных задач. Консервативные схемы выражают закон сохранения на сетке, т. е. они качественно похожи на исходное интегральное уравнение. Неконсервативные схемы этим свойством не обладают. Поэтому, по сравнению с неконсервативными схемами, консервативные схемы обычно приводят к существенному улучшению точности расчета как разрывных, так и гладких решений.
Построены схемы, одновременно удовлетворяющие большому числу различных физических законов сохранения (см. (341). Эти схемы, назнаниые полностью консервативными, оказались полезными в задачах магнитной газодинамики, физики разреженной плазмы и ряде других. Таким образом, понятие консервативности широко используется при составлении и исследовании разностных схем. Заметим, однако, что различные полезные свойства схем (консервативность, монотонность, высокий порядок ' аппроксимации) нередко противоречат друг другу, так что может не существовать схемы, одновременно удовлетворякхцей всем этим требованиям.
Кроме того, не для всех классов уравнений консервативность является необходимым условием сходимости, и составлено немало хороших, хотя и неконсервативных схем. ЗАДАЧИ 1, Получить для схемы (9) априорную оценку точности. 2. Исследовать сходимость схем (10) и (!1). 3. Получить неаязки схем (10) и (11) и сравнить их между собой и с пе- вязкой (13) схемы (9). 4. Записать схемы (10) — (1!) для случая неравномерной сетки. 8, Исследовать устойчивость схемы (25) методом разделения переменных.
8. Показать, что схема (25) имеет аппроксимацию 0(а+Из). 7. Проверить аппроксимацию и устойчивость схемы (29) для двумерного уравнения переноса (27а), 8. Составить для двумерного урзвнения переноса (27а) явную схему, ана- логичную схеме (9), и исследовать ее устойчивость. 9. Составить для двумерного уравнения переноса (27а) симметричную схему, аналогичную схеме (!2)„и исследовать ее. 10.
Показать, что схема (32) для уравнения переноса с поглощением (ЗО) сохраняет положительность решения (т. е. разностное решение положительно, если положительны начальные данные) при любом Ь-- О, если ст~И. !1. Исследовать, монотонна лн схема (!0) и при каком условии. 12. Определись скорость ударной волны, соответствующую дивергентной форме (49) записи уравнения (44). Сравнить эту скорость со скоростью (48) и убедиться в правильности замечания ! к 4 2, п. 1. ЗАДАЧИ 13. Исследовать квазилинейное уравнение переноса с линейной псевдовязкостью (58); показать, что среди его решений есть сглаженная ударная волна Га — Ь а+Ь ехр 1à — (х — хе — РГ)~ ( 2а 1а — Ь 1+ехр ~ — (х — хе — РГ) ! с 2а 1 Р= — (а+Ь).
2 14. Для уравнения с линейной псевдонязкостью (58) составить какую- нибудь разностиую схему и исследовать ее устойчивость. 15. Исследовать устойчивость нелинейных схем (70) и (71). 16. Исследовать аппроксимацию схем (70) и (71) на дважды непрерывно диффереяцируемых решениях.
17. Доказать монотонность схемы (71). ГЛЛВЛ Х1 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Глава Х1 посвящена численному решению уравнений параболического типа. В 1 1 рассмотрены одномерные задачи, начиная от случая простейшего уравнения с постоянными козффициентами,и кончая квазилинейным уравнением с разрывными козффнциентами в криволинейных координатах. Разобраны основные разностные схемы, используемые для решения таких задач.
В 1 2 обсуждены принципиальные трудности, возникающие при переходе к случаю многих измерений; изложены продольно-поперечная прогонка, дающая хорошие результаты при решении задач с двумя пространственнымп переменными, и локально. одномерный метод, пригодный при любом числе измерений. й 1. Одномерные уравнения 1. Постановки задач. К параболическим уравнениям приводят задачи теплопроводности, диффузии и ряд других. Типичной полной постановкой одномерной задачи является, например, первая краевая задача для случая линейной теплопроводиости в однородной среде: и,(х, 1) =ли (х, 1)+Г(х„1), й=сопз1)0, 0 -х(а, 0 1(Т, и (х, 0) = )х (х), 0 ( х «- а, и(0, 1)=рь(1), и(а, 1)=рз(1), 0~1 =Т. (1а) (1б) (2) и„(0, 1) =р,(1), и„(а, 1) =р (1) (3) Она включает в себя задание самого уравнения, начальных данных на некотором отрезке и краевых условий на обоих концах этого отрезка.
Наиболее хорошо изучены линейные задачи, в которых и уравнение и краевые условия линейны. Для таких задач рассматривают три типа краевых условий. Условия первого рода (2) применительно к уравнению теплопроводности означают, что на границах задана зависимость температуры и от времени. Условия второго рода ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ % и соответствуют заданию тепловых потоков через границы. Условия третьего рода и(0, г)+ос,и„(0, 0=)А,(Г), и(а, ()+ави,(а, Г) =р,(() (4) возникают, если на границах имеется линейный (ньютоновский) теплообмен с окружаюшей средой.
Для задачи (1) с краевыми условиями (2), (3) или (4) корректность постановки доказана (см., например, [401). Часто встречаются и нелинейные задачи. Например, в главе 1Х было рассмотрено квазилинейное уравнение (9.9), связанное с задачами теплопроводиости в плазме. Краевые условия также могут быть нелинейными; так, остывание черного тела за счет излучения с поверхности приводит к краевому условию (и'+ оси„) э = О. В главе 1Х отмечалась важная качественная особенность решений параболических уравнений: разрывы начальных данных сглаживаются с течением времени.
Другое любопытное свойство следует из вида функции точечного источника на бесконечной прямой для линейного уравнения (1) э): (5) Если ()О, то 6(х, $, ()) 0 прн сколь угодно больших к и $. Следовательно, при ()О температура в каждой точке х зависит от начальных данных во всех точках $ бесконечной прямой, сколь угодно удаленных от х. Поэтому говорят, что в случае линейной теплопроводности скорость распространения тепла и область влияния бесконечны. Строго говоря, параболическое уравнение лишь приближенно описывает процесс теплопроводности.
На самом деле скорость распространения тепла конечна и не превышает (при молекулярной или электронной теплопроводиости) тепловой скорости частиц. Влияние же удаленных точек, как видно из выражения для функции Грина (5), ослабевает очень быстро; отрезку времени В1 соответствует характерная зона влияния Ьх )/ААЛЕ. Эти-соображения надо учитывать при построении разностных схем, поскольку, как отмечалось в главе Х, правильный учет зоны влияния необходим для устойчивости схемы. 2. Семейство неявных схем.
Рассмотрим простейшие, но хорошие разностные схемы для уравнения теплопроводности (1) ') Вывод втой формулы см., нэпрвмср, в [401. 370 !Гл. Х! ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ с постоянным коэффициентом: и,=)силл+), 0<х(а, 0(((Т (lг=соп51)0). Возьмем в области 6=[О~х(а~х[0.=((71 прямоугольную сетку (рис. 76), для простоты равномерную, с шагами Ь и т.
Выберем шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке жирными линиями, и составим на нем следующую двуслойную схему: ! г" 1 А22 " " " А(! — О) (Ул Ул) = Ал (Ул. 1 2Ул+ Улл1) + Ал (Ул-1 2Ул+ Ул.-1) + 2Рл~ 1 (и."~М вЂ” 1 (о=соп51). (ба) Здесь записано меньше уравнений, чем имеется неизвестных ул. Недостающие два уравнения находим из краевых условий; например, краевые условия первого рода (2) дают соотношения (бб) Уо = р1 (г лл1) УА' = р2 (1 лы) В качестве правой части ср„часто выбирают значение <р„= 7 (х„г' +т/2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
