Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Отметим, что шаблоны рис. 57 и 58 зеркальны друг другу; это означает, что при с ( 0 схема (10) становится безусловно устойчивой, а схема Рис. 62. (11) — условно устойчивой. Симметричная схема (12) не меняется при отражении, так что она устойчива при любом знаке скорости; но направление счета, разумеется, зависит от знака скорости. 3 на к о переменная с(х, (). В этом случае задача в области 6(х, 1) поставлена корректно, если заданы значения решения на тех и только тех границах, с которых характеристики идут внутрь области.
Пусть, например, скорость с(х, с) непрерывна в области 6=10~х~а)х~0~1="Т) и меняет знак только нри х=х, причем с(0, г)- О, с(а, 1) <О. Вид характеристик в этом случае изобра- Т жен на рис, 63, Корректной будет постановка задачи с двумя гранич! 1 ными условиями: ! ис+с(х, 1) и„=)(х, (), х' с (24) и(0, г) =р (1), Рис, ЕЗ. и (а, () =и,((). Фактически здесь имеется зона влияния каждой границы; эти зоны разделены линией х=х (пунктир на рисунке).
В каждой зоне можно построить схему бегущего счета со своим направле нием движения. Можно поступить и иначе. Возьмем шаблон рис. 64 и построим на нем неявную схему —,;(У" — Уи)+ Е)е(У: е — У" -1)=Ч>, 1==а=У вЂ” 1. (25) По направлению характеристики (стрелки на рисунке) видно, УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА 1гл. х Рис. 64 При ~ с ~т.=-й она соответствует интерполяции на исходном слое. Однако она неустойчива при любом соотношении шагов (абсолюано нсустойчива), что легко доказать методам разделения переменных. В самом деле, подставляя в (26) сРп = О, У„= емп, Уп и, = е' 1" "— "1, Уп = РУп, получим множитель роста отдельной гармоники: ст р =1 — — сов уй. А Для гармоники с соз уй = — 1 этот множитель р = 1+ (ст1Ь) неограниченно велик при и- О.
Значит, устойчивости нет, Поэтому геометрическую интерпретацию используют как способ быстрой оценки качества шаблона и схемы и отбраковки заведомо плохих схем. Устойчивость выбранных при ее помощи схем обязательно проверяют методами, изложенными в главе 1Х (в большинстве случаев отобранные этим способом схемы оказываются устойчивыми). 4. Многомерное уравнение. Схемы бегущего счета естественно обобщаются на многомерное уравнение переноса. Рассмотрим, для определенности, задачу с двумя пространственными переменными в области 6=10 — х, ='а]х[О~хп=-51х10=1( Т): и, + с,и„, + с,и,, =1 (х„х„1); (27а) и (х,, х„О) = р, (х„х,), и (О, х„т) = р, (хм (), (27б) и (х„О, 1) = р и (х„().
что при любом знаке с и любых шагах т и Ь значение уп вычисляется интерполяцией. Методом разделения переменных нетрудно показать, что схема (25) безусловно устойчива при любом знаке с. Схема (25) содержит три точки нового слоя. В главе 1Х отмечалось, что в подобных случаях разностное решение находят прогонкой. Достаточное условие устойчивости прогонки (5,14) в этом случае с>Р йпй' >л выполняется только при / с й ~с~той, хотя обычно мож/ но вести расчет и при нару- шении этого условия.
Рис, 66. 3 а меч а н не. Геометри- ческая интерпретация дает необходимое, но не достаточное условие устойчивости. Например, рассмотрим явную схему на шаблоне рис. 65: 1 С , '(Уп Уп)+ 2А (Уп~1 Уп-1) ='Рп (26) линейное угдвнение йн Скоростн переноса по осям с„с, считаем положительными и, для простоты, постоянными. Построим, например, многомерный аналог абсолютно устойчивой схемы (11). Введем по переменной х, сетку (хмы О==.и ---7т), а по переменной х, — сетку (х,, О= т==М). Значения решения в узлах этой сетки обозначим следующим образом: и(хта, хз~, ()=и„, и(хим ха (+т)=ба .
(28) Возьмем шаблон, изображенный жирными линиями на рис. 66, и составим на нем схему —;Ыа — у...)+-„'-'-(д. — р.-т, )+-„"-(д. — да, -) =р.м (29) где (ты ггз — шаги по соответствующим направлениям. Исследовать схему (29) несложно. Из принципа максимума сразу следует безусловная устойчивость этой схемы. Ее невязка определяется разложетщем по формуле Тейлора и равна 0(т+и,+й ). Следовательно, схема (29) сходится в й. ~~, с первым порядком точности *).
л Вычисления проводятся послойно. Зна- 1 'хлхг чение у„в узле, отмеченном на рис. 66 1 двойным кружком, выражается по формуле (29) через значения в нескольких дру- ~lтг гих вершинах ячейки. Когда решение на слое ( вычислено, то его значения на слое гг (+т можно вычислять по этой формуле вдоль направлений х, (см. рис.
67, а, где последовательность вычислений указана стрелками). Заьгетим, что последовательность вычвслевнй может быть иной. Например, можно вести расчет на слое вдоль направлений х, (рис, 67, б). В принципе, не обязательна даже послойная организация расчета; достаточно, чтобы последовательность расчета соответствовала какому-то порядку заполнения первого координатного угла в пространстве (хн х„О ячейками, при котором новая ячейка прикладывается тремя гранями к ранее уложенным ячейкам или координатным плоскостям.
Двумерный аналог симметричной схемы (12), имеющий второй порядок точности, нетрудно написать методом баланса. Для этого проинтегрируем уравнение (27а) по ячейке, преобразуем трехкратные интегралы в двукратные и вычислим последние по формуле трапеций. Детали настолько очевидны, что мы на них не будем останавливаться. *) Разумеется, ссяи решение дважды непрерывно дифференцируеьго. В дальнейшем обычно будем опускать такие оговорки, подразумевая сушествование у решения требуемого числа непрерывных пронзводнык.
346 УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА 1гл, х Таким образом, в уравнении переноса многомерность не приводит к принципиальным усложнениям. Вычислительный алгоритм остается простым и экономичным. В декартовых координатах даже формулы расчета имеют обычно простой вид, хотя в криволинейных координатах (цилиндрических, сферических и т. д.) они могут быть громоздкими. а) Рис.
67. 5. Перенос с поглощением. Для неоднородного уравнения переноса (3) от способа аппроксимация правой части Г(х, 1) зависит только порядок аппроксимации. Для получения схемы второго порядка (12) следует выбирать ф„ так, чтобы выполнялось условие р )~х 2, ( + ~)=о(т +Ь). В схемах первого порядка достаточно было требовать, чтобы А т1 <р„— Г(х„— —, г,„+-,-) = — 0(т+Ь), для этого можно, например, положить ср„равным 1'(х, 1) в любой точке ячейки.
На устойчивость выбор ср„не влияет. Положение несколько изменится, если правая часть ) зависит от решения и. Рассмотрим это на примере простейшей линейной зависимости ) = — Ьи, когда уравнение переноса принимает вид и,+си„= — Ьи. (30) Будем искать решение этого уравнения в виде и (х, () =- = О(х, 1) ехр( — Ь(). Подставляя его в (30), получим для о(х, 1) однородное уравнение переноса о,+сс,=0, общее решение которого является бегущей волной О (х, 1) = с (х — с1, О). Следовательно, общее решение задачи Коши для уравнения (30) имеет вид и(х, 1) =е-ми (х — с(, О).
(31) Оно описывает перенос частиц по характеристикам при наличии поглощения (если Ь)0) или размножения (если Ь(0) частиц. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ Дальше мы ограничимся случаем Ь) О, когда точное решение экспоненциально убывает со временем. Рассмотрим два варианта явной схемы (9): (32) (33) отличающиеся только аппроксимацией члена с поглощением. Обе схемы имеют первый порядок аппроксимации. Исследуем их устойчивость методом разделения переменных. Делая стандартную подстановку гармоники ехр(11)х), получим для схемы (32) множитель роста р = — 11 — — (1 — е-1с )~.
1 Г сс 1Ат 1+ст ~ А Если выполнено условие Куранта ст=.: —. 6, то для любых гармоник справедливо неравенство (рт~.==(1+Ьт) 1(1, так что схема (32) не только устойчива, но и хорошо обусловлена: ошибки не нарастают, а неограниченно убывают при (-~-со. Для схемы (33) множитель роста р, = 1 — — „(1 — е-"") — Ьт. Если положить ст=й, то для гармоники с ехр ( — Сдй) = — 1 выполняется соотношение 1рс ~ = 1+Ьт, т.
е. устойчивость слабая. Таким образом, характер устойчивости схем (32) и (ЗЗ) является не вполне одинаковым. Это различие проявляется сильней, если рассмотреть асимптотическую устойчивость схем (соответствующую поведению относительной погрешности ~~ бу Цй и 1! при (-~ос). Точное решение убывает, как е-с', так что его гармоники за один шаг затухают, как е "- (1+ Ьт) '. Гармоники схемы (32) затухают не медленнее, так что схема (32) асимптотически устойчива при стаей. Наоборот, у схемы (ЗЗ) при ст=й нет асимптотической устойчивости: гармоника с ехр( — Сдй)= — 1 не только не убывает, а даже возрастает. Этот пример показывает, что на устойчивость может влиять способ аппроксимации не только высших производных данного уравнения, но и всех остальных членов.
3 а м е ч а н и е. Общее решение (31) положительно, если начальные данные были положительны. Нетрудно показать, что схема (32) сохраняет зто свойство общего решения. Если же схему (33) переписать в форме ст С д. 1 — — Ь д„+„д,м А УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА [гл. х Ул =,~ ~Р[улМ ! (34) монотонна пюгда и только пюгда, когда все р!~0.
Док азат ел ь ство. Из (34) следует равенство У -! Ул=.л! [?[(У -!и — У н). ! (35) Если профиль ул монотонен (для определенности — невозрастающий), то все скобки в правой части (35) неотрицательны. Тогда, если все р!) О, то у,,— у„)0 и профиль ул также невозрастающий. Достаточность условия ()!'=- О доказана. Предположим, что хотя бы один коэффициент рь «О.
Выберем такой невозрастающий профиль: у«,,=1 при 1~й — 1, у«и=О при 1~й. Подставляя его в (35), получим у -~ у =р! (у -! ~ — у иь) =([[ < О т. е. монотонность нарушена: имеется локальное возрастание профиля ул. Необходимость условия р! =.- О доказана. Замечание 1. Признак монотонности относится к разностным схемам, аппроксимирующим как уравнение переноса, так и любые другие типы уравнений.
3 а меч ание 2. Если двуслойная линейная однородная схема неявна, то ее можно преобразовать к явной форме (34), где пре- то нетрудно видеть, что при достаточно большом коэффициенте Ь>0 (и не слишком малом шаге т) возможны случаи, когда у„ становится отрицательным при ул, у„!) О. Фактически это приводит к дополнительному ограничению на шаг т схемы (ЗЗ). В задачах с сильным поглощением это ограничение, формально не связанное с устойчивостью, может оказаться достаточно жестким.
б. Монотонность схем. В и. 1 отмечалось, что решение однородного уравнения переноса (3), соответствующее монотонным начальным данным, в любой момент времени имеет монотонный профиль. Сохраняется ли это свойство у разиостного решения? Иными словами, пусть профиль у, монотонен; будет ли монотонным профиль ул? Однородные разностные схемы, сохраняющие монотонность профиля разностного решения, называются монотонными. Признак монотонности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
