Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Строго говоря, для нелинейных схем разностное решение может быть не единственным нли существовать не при всяких входных данных. В этом случае схему называют корректной в окрестности решения у[<Г, Х), если (по крайней мере при достаточно малом й) для любых ф, 7„, достаточно близких к р, у, в некоторой малой окрестности у [ф, Х) имеется единственное решение у[ф, Ц, устойчивое по ф, у в смысле определения (45). Отметим, что если граница области б состоит из нескольких кусков Г», то обычно операторы Й» и правые части р,(х) граничных условий на этих кусках различны. Разностные операторы В конечном итоге нас будет интересовать близость разностного решения у(х) к точному решению и(х); поскольку у(х) определено только на сетке о»+у», то сравнивать эти решения надо в сеточной норме. Определение.
Разнос ное решение у(х) сходится к решению и(х) задачи (?0), если 1~у(х) — и(х) 1~в„-~0 при й-+О; (72) 326 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ игл. >х )т>»» и пРавые части Х, на соответствУющих множествах неРегУ- лярных узлов у»„также будут различны. Для того чтобы ре>пе- ние разностной схемы (71) существовало, все онп должны быть согласованы между собой, т. е. должны удовлетворять опреде- ленным соотношениям на линиях или в точках стыка кусков гра- ницы. Например, для первой краевой задачи теплопроводиости и,=йи»„, ОСх<а, т>0„ и(х, 0) =-1»(х), 0=-х ..
а, и(0, О=)»,((), и(а, () =-р,в((), (в: .-О, условиями согласования будут соотношения р(0) =р, (О), р(а) = = р (0), или, соответственно, Х(0) =Хд(0), Х(а) =Хе(0). Теорема* ). Если решение и[1', р1 задачи (70) существует, разностная схема (71) корреюпна и аппроксимирует задачу (70) на данном реи>ении, >по разнос>иное реи>ение сходится к точному. Доказательство. Напупнем цепочку преобразований: А»и = А»и — Аи + 7 = А»и — А и + 7 — >р + >р = — >(> (х) + >р (х), где >р(х) есть, по определению, невязка разиостной схемы. Делая аналогичное преобразование для краевых условий, получим А„и (х) = >р (х) — тр (х), х ~ а>», )7»и (х) = Х (х) — у (х), х ~ у».
Равенства (74) представляют собой разностную схему (71) с правыми частями, измененными на величину невязки. Поскольку разностная схема устойчива, то для любого е'- 0 найдется такое 6 (е), что й у — и й»„~ В, если 1~ ф 4, .==. 6 (е), !! У Ц„-= 6 (В), В силу аппроксимации для любого 6) 0 найдется такое )>е (6), что й »Р'йе„«6, 'й У Ц, ==-6 пРН Ь.— Ье(6), Следовательно, для любого В~О найдется такое 7>е(6(е)), что !1 у — и йк„= е при 7> «де. Сходимость доказана.
3 а меч ание 1. Некоторые начальные или граничные условия аппроксимируются точно; примером являются граничные условия первого рода и(а, >)=)»(>), если узел хн сетки расположен на границе х=а. Устойчивости по таким условиям можно не требовать, ибо никакой ошибки в расчет они не вносят (кроме ошибки округления).
Устойчивость по правой части требуется почти во всех случаях, поскольку погрешность аппроксимации в (74) эквивалентна некоторой погрешности правой части. ") Ее кратко формулируют так: >Иа аппроксимации и устойчивости следует сходимость». з27 $ «1 сходимость 3 а меч а н не 2. Аппроксимацию часто проверяют не на решениях задачи (70), а на некотором широком классе функций, которому принадлежит решение (обычно на классе функций, непрерывных и ограниченных вместе с некоторым числом своих производных). Из замечания 2 в 3 2, п.
5 следует, что такая аппроксимация достаточна для доказательства теоремы о сходимости. 3 а м е ч а н и е 3. При исследовании аппроксимации и устойчивости конкретных разностных схем нередко используют разные нормы для одной и той же функции. Например, при установлении локальной аппроксимации для <р(х) берется <1 <р<1„а при спектральном исследовании устойчивости — 1~ <р $,.
Доказательство сходимости в этом случае справедливо, только если аппроксимация установлена в нормах ~1<р<15 1171~ более сильных (или тех же самых), чем нормы, использованные для правых частей в определении устойчивости. За меча н не 4. Если аппроксимация или устойчивость условные, то сходимость имеет место при выполнении условий устойчивости и аппроксимации (т. е. при определенных соотношениях между шагами по разным переменным). Замечание 5. Устойчивость является, как нетрудно убедиться, необходимым условием сходимости.
В самом деле, если. схема неустойчива, то найдутся такие сколь угодно малые о<пибки входных данных, которым соответствует значительная погрешность решения. Сходимости при этом не может быть. П р имер. Рассмотрим явную схему (18) для уравнения теплопроводности (15). В 3 2, п. 3 была установлена аппроксимация этой схемы с погрешностью (25), равной ~~ ф ~~, = О (я+7<а). В 3 3, и.
4 было доказано, что она условно устойчива в |! <1<, при т ==.й»7(2й). С учетом замечания 3 отсюда следует сходимость в норме <1 у — и 11<„ если выполнено условие т (йа/(2й). Отметим, что иа самом де.ле имеет место сходимость в 11 д — и (~;, но для доказательства этого факта надо обосновать устойчивость схемы в нормах )! <р!1«, 11 э'11,. 2. Оценки точности. Для линейных задач оценки погрешности, как априорные мажорантные, так и апостериорные асимптотические, можно получить на основании приведенных ниже теорем. Т е о р е м а 1 *), Если условия теоремы из и.
1 выполнены, операторы Л» и )<<»» линейные, а порядок ацпроксима<1ии равен р, то сходимосто имеет порядок не ниже р. Доказательство. Пусть задача (70) и разпостпая схема (71) линейны, а граница Г состоит из кусков Г» (й=1, 2, ..., К). *) Ее кратко формулируют так; «Для линейных схем порядок точности не ниже порядка аппроксимации». УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. [Х Условие устойчивости (46) для линейной схемы принимает вид к !! у!! у ™О !! тр !!Ф + Х™1 !! Х[ !! хл (75) (начальные условия, если задача их содержит, входят в сумму по граничным условиям). Рассмотрим погрешность разностного решения г (х) =у(х) — и(х).
Вычтел[ соотношение (74) Али = [Р— ф, Йл»и =)[» — У» из разностной схемы (71) и заметим, что благодаря линейности схемы Алу — Али = Ал (у — и) = А лг, Тогда г (х) удовлетворяет схеме с разностными операторами (71): Алг (х) = ф (х) х е= [эл, )тллг (х) = У» (х), х я ул», (76) где в правых частях стоят невязки. Применяя к (76) условие устойчивости (75), получим к !! г!! = М )! ф !!Р+ Х Мл Ь! У» $»; (77) »=1 Поскольку схема (71) имеет порядок аппроксимации р, то !!ФВР ~ [хоп»' !!Т»!!хл слл)[Р' 1 = к = 1(' (76) Подставляя эти выражения в (77), получим априорную л[ажорантну[о оценку погрешности: к !!у — и!!» «=.
М)[Р, М = ~ М»и», (79) что доказывает теорему. 3 а м е ч а н и е 1. Для доказательства требовалась линейность только разностных операторов, но фактически линейными разностными операторами можно аппроксимировать только линейные дифференциальные или интегральные операторы. Замечание 2. Если условия теоремы 1 выполнены, то порядок точности может быть выше порядка аппроксимации.
В таких случаях более полное исследование задачи нередко показывает, что для сходимости в данной норме !! !!» достаточно устойчивости по более слабой норме !!.!!, в которой порядок аппроксимации выше. Замечание 3. При оценках погре[пности конкретных схем константы М„определяются в ходе доказательства устойчивости; они постоянны для данной схемы. Величины с»» выражаются обычно через нормы некоторых производных и(х) и тем самым зависят от решения (см. выражения невязки (25) или (26)).
Замечание 4. Для нелинейных схем можно сформулировать аналогичную теорему. При этом следует пользоваться опре- сходимость $41 делением устойчивости (45), которое можно записать так: !)у — у()(г, если !!<р — ор!! ==б (е), !!!у» — )!»!)~б» (е), 1~й~К. (80) Начальные данные и краевые условия аппроксимируются точно, и устойчивости по ним можно не требовать; согласно замечанию 1 в 2 3, п. 4 условие устойчивости по правой части имеет вид 1~бу !ц - «!!борЬ, нли !1 бу(1) $, ( (1 — (о) и!ах Цбор!и,.
Отсюда следует априорная оценка !!у иЬ, -=- (1 — (о) п!ах (й «!МЛп+12 Мй' !~и» П!) = О («+й), (81) !1 1 т. е. схема имеет первый порядок точности по времени и второй — по пространству. Для практических вычислений важное значение имеет следующая Теорема 2.
Пусть задача (70) и разностная схема (71) линейны, разностная схема корректна и аппраксимирует задачу так, что сушествуют р(х)= 1нпй о(Аи — А»и+!р — )), хеп6, (82а) »-о в» (х) = 1!гп и» Р»и — ы»»и+Х» Р»), х о: — Гм (82б) »-о Пусть существует решение (х) задачи Ав(х)=-ор(х), хит 6, Р»в(х)=е»(х), хе-=Г», (83) и на зтом решении разнос нные операпюры А„, )«»» аппраксимируют дифференциальные операторы А, )7». Тогда погрешность Тогда, если б» (е) = (е/М»)"'», 0 — й =- К, то порядок точности будет не ниже д= пип (р7т»); при т»=1 снова приходим к теоо<»<к реме 1. 3 а м е ч а н и е 5.
Для случая многих переменных порядок аппроксимапии по разным переменным может быть неодинаковым. Очевидно, порядок точности по разным переменным также может быть различным. Пример. Явная схема (17) — (18) для первой краевой задачи теплопроводиости (15), разобранная в примере к п. 1, имеет погрешность аппроксимации (25): !!»р!1„. ~ 1;-й!!' 1)и„»»,1!1, + — т !)и,Д,. ззо УРАВНЕНИЯ и ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
