Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 67
Текст из файла (страница 67)
По ним аналогичным образом вычисляется решение на втором слое и т. д. Схема (18) в каждом уравнении содержит только одно значение функции на следующем слое; это значение нетрудно явно выразить через известные значения функции на данном слое. Поэтому такие схемы' называются явными. Схема (1б) содержит в каждом уравнении несколько неизвестных значений функции на новом слое; подобные схемы называются неявными.
Для фактического вычисления решения перепишем схему (1б) с учетом краевого условия (17) в следующей уГ+'=р (1 ° ) ум+'=рг(1 ь). На каждом слое схема (19) представляет собой систему линейных уравнений для определения величин у,",'+'; правые части этих уравнений известны, поскольку содержат значения решения с предыдущего слоя. Матрица линейной системы трехдиагональна, и решение можно вычислить алгебраической прогонкой. Рассмотренный сейчас алгоритм достаточно типичен.
Он используется во многих неявных разностпых схемах для одномерных и многомерных задач. Дальше мы будем вместо индекса времени т часто применять сокращенные обозначения: и(х„, г ) =и„, и(х„, У„ьт) = й„, и(х„, („з)= й,. (20) 1гл. !х уРАВнения В чАстных пРонзВодных В этих обозначениях разностная схема (18) примет вид 1 — (у„— у„) = —, (у„+! — 2у„+ у„,). 3. Невязка.
Рассмотрим операторное уравнение общего вида (не обязательно линейное): Аи=), или Аи — р=О. (21) Заменяя оператор А разностным оператором Аю правую часть р — некоторой сеточной функцией 4рэ, а точное решение и— разностным решением у, запишем разностную схему: ААу=ЮА или ААу — р„=О. (22) Если подставить точное решение и в соотношение (22), то решение, вообще говоря, не будет удовлетворять этому соотношению: ААИ вЂ” грА~О. Величину 2Р = грА — А,и = (А и — р) — (А„и — 4рА) (23) Поскольку в данном случае 1 = 4рА =- О, то 2р„= (Аи — ААи)„= дг) — Й (дх2' — — (и„— и„)+ух (и„,! — 2и„+и„!). Разложим решение по формуле Тейлора около узла (х„, ! ), предполагая существование непрерывных четвертых производных по х и вторых по й 2 и„=и4+ти! (х„, г~)+йт ии (х~, 9~), и„а!=и ~!!и~(х, Г~)+--6~и~~(х„, 1 ) ~ 1 .+.
! 2 ! 4 .+. е-и и „,. (х„, 1,„)+ 2~Ь И,„,У (Е„х„г„), (24) где ! <6„<г „х„,<2„2<х„<$„44<х„„!. Подставляя эти разложения в выражение невязки и пренебрегая, в силу непре- называют нввязкой. Невязку обычно оценивают при помощи разложения в ряд Тейлора. Например, найдем невязку явной разностной схемы (18) для уравнения теплопроводности (15а). Запишем это уравнение в каноническом виде: !д д21 Аиж( — — й — и=О. '!дГ дх~) зоз АППРОКСИМАЦИЯ рывности производных, отличием величин $„и.„ В от х„, 1, найдем т Ааи 'фи = ! — 2 пя + -!и ихххх) = О (т+й ).
(25) Таким образом, невязка (25) стремится к нулю при т — «О и й-«0. Выражение (25) дает невязку только в регулярных узлах схемы (18). Сравнивая (! 7) и (15б), легко получим невязку в нерегулярных узлах ф,=иРА = О. Замечание 1. Решение задачи теплопроводности с постоянным коэффициентом (15) в области 6=(0<х(а) к(0(! Т) непрерывно дифференцируемо бесконечное число раз.
Однако учет пятых и более высоких производных в разложениях (24) прибавляет к невязке (25) только члены более высокого порядка малости по т и г!, т. е., по существу, не меняет вида невязки. За ме чан и е 2. Пусть по каким-либо причинам решение исходной задачи дифференцируемо небольшое число раз; например, в задачах с переменным коэффициентом теплопроводности, гладким, но не имеющим второй производной, решение имеет лишь третьи непрерывные производные.
Тогда в разложении (24) последними будут члены !-Й'иих, Я„+„(„,))6, не точно компенсирующие друг друга. Это приведет к появлению в невязке (25) члена типа йиххх= 0()!), т. е. невязка будет иметь меньший порядок малости, чем для четырежды непрерывно дифференцируемых решений. 3 а м е ч а н и е 3. Преобразуем выражение невязки с учетом того, что входящая в него функция и(х, !) есть точное решение исходного уравнения и для нее выполняются соотношения э аи ил= — (йи,х) = Уг -З(~Д =Й'и„„„.
Подставляя это выражение в (25), получим 7! 1 Ири = ! !З йй и х ) ( хххх)и. (26) Если выбрать шаги по пространству и времена так, чтобы т = = й'Г(бй), то главный член невязки обратится в нуль и останутся только члены более высокого порядка малости по т и 1! (которые мы опускали). Этот прием применяется при построении разностных схем повышенной точности.
4. Методы составления схем. Есть три основных способа составления разностных схем на заданном шаблоне: метод разностной аппроксимации, интегро-интерполяционный метод и метод неопределенных коэффициентов. Метод разностной аппроксимации заключается в том, что каждая производная, входящая в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяется каким-либо разностным УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 1гл. 1х выражением (включающим только узлы шаблона), Именно так были составлены схемы (16) и (18). Зтот метод очень прост и в дополнительных пояснениях не нуждается. Метод разностной аппроксимации позволяет легко составить схему первого илн второго порядка аппроксимации на прямоугольной сетке для уравнений с непрерывными (и достаточно гладкими) коэффициентами.
Однако этот метод трудно нли даже невозможно применять в более сложных случаях: для уравнений с разрывными коэффициентами, на не прямоугольных сетках, для уравнений высокого порядка на неравномерных сетках и т. д. Схемы повышенной точности в этом методе составляют, исследуя выражение невязки аналогично замечанию 3 в и. 3.
Интегро интер пол яц ионный метод, один из вариантов которого называется методом баланса, наиболее надежен и применим во всех случаях. л л- — „лг — л, В этом методе после выбора шаб- г лона область 6 (г', () разбивают на ячейки, определенным образом связанные с шаблоном. Дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке и по формулам т+г и — х 1 ! 1 Рис.
52. векторного анализа приводят к интегральной форме, соответствующей физическому закону сохранения. Приближенно вычисляя полученные интегралы по каким-либо квадратурным формулам, составляют разностную схему. Например, для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом иг = (1гик)к выберем шаблон, изображенный на рис.
52 (см. также рис. 47, а), и сопоставим ему ячейку, показанную пунктиром. Обозначая средние точки интервалов сетки полуцелыми индексами, выполним интегрирование по ячейке: ст+1 «и+!12 0 = ~ Ж ~ с(х(и, — (йи„),1 = Чп ки 112 'л ~- Пг сп+1 (й — и) СУХ вЂ” ~ ((Йи„)и+112 — (Йи„)и 112~ й. 1п ки — 112 (Ул — Уп) (Хп+ 1~2 — Хи — 1э) = т 1(пУ к)п+ 112 — ((гУк)л — 1121 Заменяя в правой части производные разностями и учитывая, Зто соотношение является точным.
В правой части приближенно вычислим первый интеграл по формуле средних, а второй — по формуле правых прямоугольников. Получим следующее выражение: АППРОКСИМАЦИЯ С 2! что на равномерной сетке х„41л — х„112=6, получим разностиую схему !г(Ул уп) = 2 ~ (сл+ 122 (Улл1 Ул) яп — 112 (Ул Уп 1)). (27) Если й=сопз(, то схема совпадает с неявной схемой (!6). Интегро-интерполяциоиный метод особенно полезен для уравнений с негладкими или разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная запись законов сохранения выделяет из всех математически допустимых решений таких уравнений физически правильное обобщенное решение. Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что в качестве разностной схемы берут линейную комбинацию значений разностного решения в узлах шаблона.
Коэффициенгы этой линейной комбинации определяют из условия, чтобы невязка схемы имела как можно более высокий порядок малости относительно т и !2. Например, для уравнения и, = йил на шаблоне рис. 52 будем искать разностную схему в следующем виде: аул, + руп+ уул.„+ буп = О. (28) Подставим сюда разложения (24), ограничиваясь для простоты членами О (т) и О (й'), и вычтем схему (28) из исходного уравнения.
Получим невязку (индекс и всюду опускаем) 2Р= и,— й脄— (и+р+у+6) и+тб и,+ +(и — у) йи — — (а+ у) й'илл+6 О (с')+ (а — у) О (62)+ Чтобы сократились выписанные здесь члены, надо положить а+()+у+6=0, сб= — ), и — у=О, — (а+у) й'= — й. 2 Отсюда находим коэффициенты: 1= — „, +-, 6= — —.
2А ! ! Подставляя их в (28), получим разностную схему ()8). Метод неопределенных коэффициентов применйм на косоугольных сетках. Например, при его помощи нетрудно составить пяти- точечную схему для уравнения и1=йи„на треугольной сетке с шаблоном рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
