Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Напомним классификацию таких уравнений. Они имеют следующий вид (для простоты мы ограничиваемся случаем двух переменных): (5) Аи„, + 2 Ви„я+ Сия + Ри + Еи, + Г = О. Коэффициенты уравнения (5), вообще говоря, зависят от и, х, у. Если коэффициенты не зависят от переменных, то это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Если Е линейно зависит от и, а остальные коэффициенты от и не зависят, то это линейное уравнение с переменными коэффициентами.
Если коэффициенты зависят от и, то уравнение (5) называется квазилинейным. Если А = В = — С = О, но Р~ 0 и Е=~:О, то уравнение (5) имеет первый порядок и называется уравнением переноса. Уравнения второго порядка классифицируются по знаку дискриминанта В' — ЛС: у гиперболических уравнений дискримииант положителен, у параболических — равен нулю, у эллиптических— отрицателен. Те физические процессы, которые описываются разными перечисленными здесь типами уравнений, существенно отличаются друг от друга. Соответственно полные постановки задач для этих типов уравнений имеют свои особенности, подробно рассмотренные в [401; мы будем кратко напоминать их в соответствующих главах.
Заметим, что уравнение с переменными коэффициентами может иметь разный тнп в разных точках области б (х, у). В практике вычислений встречается немало подобных задач, причем нередко— еще неисследованных теоретически. При этом сформулировать полную постановку задачи и обосновать се корректность зачастую бывает нелегко.
2. Точные методы решения. В курсах уравнений математической физики изложен ряд методов, позволяющих для некоторых классов задач найти точное решение (см. (40!). К таким методам $ 41 ВВЕДЕНИЕ относятся метод распространяющихся волн, метод разделения переменных, метод функций источника и другие. Например, для простейшей задачи теплопроводности и!=да „, О==х~а, 0~(, й=сопз()0, и(0, ()=и(а, ()=О, и(х, 0)=14(х), (б) где функция р(х) кусочно-непрерывна, методом разделения пере- менных решение представляется в виде ряда и(х, () = ~1 а„е 44'"мима!п —, а (?а) Таким образом, получено явное выражение решения через начальные данные.
Подставляя (7б) в (?а) и меняя порядок интегрирования и суммирования, выразим решение через начальные данные и функцию источника и(х, !) =~ 6(х, $, ())4(Ц44е, о (8а) где функция источника равна Г4(Х, О, !) =-2- У Е- о!!Два!П вЂ” 4!ОХ З!и — ""~ . и хм а а (8б) Для задачи Коши на бесконечной прямой выражение для функции источника имеет следующий вид (см. 140)): — -4*-1!Ч44! 1 (8в) 2 г' а!4! Точные методы позволяют получить явное выражение решения через начальные данные, что облегчает дальнейшие действия с решением.
Например, выражения (7) — (8) позволяют многое сказать о качественном поведении решения. В самом деле, в формуле (7а) пространственные гармоники з4п (пах/а) множатся на величины ехр ( — лоп''е(?а'), затухающие при возрастании времени; это затухание тем быстрей, чем больше номер гармоники. Но чем меньше амплитуды высоких гармоник, где величины а„являются коэффициентами Фурье начальных данных а„= — ~ р(х) юп — дх. 2 Г . Еех (7б) о 294 (гл. |х ивхвнеиия в частных пгоизводных тем более плавно меняется функция. Следовательно, с течением времени решение задачи (6) должно сглаживаться. Наоборот, при движении в обратную сторону по времени амплитуды высоких гармоник возрастают тем быстрей, чем больше а; прн п-э. со скорость роста гармоник неограниченно увеличивается.
Отсюда легко понять, что обратная задача теплопроводности неустойчива. Заметим, что функция источника на бесконечной прямой положительна: б, (х, $, () ) 0 при г О. Следовательно, если в решение (8а) с бесконечными пределами интегрирования подставить начальные данные вида р (х) ) О на (а, Ь|, р (х) = О вне (а, Ь), то при г')О решение будет отлично от нуля в любой точке бесконечной прямой. Это означает, что в случае линейной теплопроводности скорость распространения тепла бесконечна. Таким образом, точные методы очень полезны. Однако они применимы в основном к линейным задачам в областях простой формы (прямоугольник, круг и т. п.), когда дифференциальное уравнение и краевые условия линейны относительно и(г, () н ее производных.
При этом выкладки удается довести до конца обычно лишь для уравнений с постоянными или кусочно-постоянными коэффициентами. 3. Автомодельность и подобие. Лля уравнений в частных производных существуют такие частные решения, когда и(х, Г) является функцией одной переменной $, роль которой играет некоторая комбинация независимых переменных х, г'. Такие решения называются автомодельными.
Построим пример автомодсльпого решения. Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности, в котором коэффициент теплопроводности зависит от температуры по степенному закону ди(х, 4) д (~ ди(х 01 й(и) =й и", йе)0, т)0. (9) и(х, () =Г(9), $=х — с(. При подстановке такого решения уравнение (9) преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение д / дг'', с — — + — ~Йе('" — ) = О. (! 0) Такая зависимость часто встречается в физических задачах; например, коэффициент электронной теплопроводности плазмы приблизительно пропорционален ими. Будем искать частное решение уравнения (9), имеющее вид бегущей волны ВВЕДЕНИЕ зп Однократное интегрирование этого уравнения дает соотношение 1 $) + — ' 1'" ($) — —. = сопз1.
(11) с се Если функция 1($) обращается в нуль хотя бы в одной точке $р, то константа в правой части (11) равна нулю и соотношение (11) нетрудно проинтегрировать еще раз: Доопределим решение при к)5„полагая ) ф =О, что удовлетворяет уравнению (9). Таким образом, получим искомое решение и (х, 0 = ~ — (х, — х+ сг)1 и(х, г) =О, х(х,+с(, (12) х)х,+с(.
и(х, 0) =О, х= х„ и(хм () =~~ — ", 1)", (=О. (13) ~ иа Автомодельное решение (12) представляет собой температурную волну, бегущую с постоянной скоростью по нулевоРис. 45. му фону температуры (рис. 45). Скорость движения волны с определяется скоростью роста температуры на границе (13).
Точка х=хи+сс является фронтом волны. Профиль температуры всюду непрерывен, но на фронте он имеет вертикальную касательную (ди/дх)„-=оа, и производная в этой точке терпит разрыв. Автомодельные решения довольно часто удается найти для линейных и квазплинейных уравнений или систем уравнений, коэффициенты которых зависят от переменных х, г и решения и по степенным законам.
Для построения решения надо «угадатьи подходящую комбинацию независимых переменных и описанным выше приемом свести уравнение в частных производрых к обыкновенному дифференциальному уравнению. Выразить решение этого уравнения через элементарные функции, подобно (12), удается далеко не всегда, но найти это решение численным интегрированием несравненно проще, чем численно решить исходное уравнение в частных производных. Чтобы это решение могло существовать, начальные и граничные условия должны быть с ним согласованы. Например, если уравнение (9) рассматривается при г)0 на полупрямой х=-х„то следует задать ус- ловия УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [Гл.
!х Если уравнение в частных производных описывает сложный физический процесс, то автомодельные решения дают отдельные режимы протекания процесса и позволяют исследовать многие его особенности. Поэтому автомодельные решения широко используются в современной физике (см. 1361). Автсяяодельность является частным случаеМ подобия. В теории подобия при помощи анализа физических размерностей коэффициентов уравнения ищутся такие преобразования, всех переменных и функций, относительно которых уравнение инвариантно.
Например, уравнение (9) не изменится при таком преобразовании: (14) х-э.ах, 1-! а[, и-+а!т'и. Если для уравнения известно преобразование подобия, то, найдя каким-либо способом одно частное решение, мы при помощи этого преобразования получим целое семейство решений. Это особенно ценно, если задача настолько сложна, что частные решения удается находить только трудоемкими численными методами. Разумеется, автомодельные решения или преобразования подобия существуют далеко не для всех классов уравнений, а лишь при некоторых видах коэффициентов уравнения и начальных и граничных условиях.
Однако многие важные физические задачи точно или приближенно удовлетворяют этим ограничениям. 4. Численные методы. Задачи для нелинейных уравнений с коэффициентами достаточно общего вида или даже линейные задачи, но в областях сложной формы, редко удается решить классическими методами. Основным способом решения таких задач являются численные методы. Среди ннх чаще всего применяют разностные методы благодаря их универсальности и наличи[о хорошо разработанной теории. Для применения разностного метода в области изменения переменных 0 (», !) Вводят некоторую сетку. Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяют разностями (или другими алгебраическими комбинациями) значений функции и (», [) в узлах сетки. Получаю[циеся при этом алгебраические уравнения называют разностной схемой.
Решая полученную алгебраическую систему, найдем приближенное (разностное) решение в узлах сетки. Как и в главе у'!П, возникают вопросы: существует ли решение алгебраической системы и единственно ли оно; как это решение фактически'вычислить (за возможно меньшее число действий); при каких условиях это разностное решение стремится к точному и какова скорость сходимости? Есть еще два вопроса, которые для обыкновенных дифференциальных уравнений были несложными; как выбрать сетку и как составить разностиую схему на этой сетке? 291 ВВЕДЕНИЕ 4П Пример. Составим простейшие разностные схемы для одномерной задачи линейной теплопроводности на ограниченном отрезке и,=йи,„О<х<а, 0<(~Т, (15а) и(х, 0)=1з(х), и(0, з)=)зз(У), и(а, ()=)зз(1). (15б) Решен ие ищется в области 6 =- 10 "= х .—.. а] м 10 == 1.=..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
