Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(69) и воспользуемся разностной схемой (66). Если выбрать шаг сетки )т=л/4, то алгебраическая система фактически будет со- *) В общем случае — со скоростью, соответствующей порядку точности схемы. Утверждение доказано. Сейчас была найдена мажорантная оценка погрешности. Прн некоторых дополнительных ограничениях можно получить асимптотическую оценку типа г„=ь(х„)ля+о(ия), где ",(х) — некоторая функция (об~дан теорема о таких оценках будет доказана в главе 1Х).
Из наличия асимптотической оценки следует возможность применения правила Рунге — Ромберга для апостериорной оценки точности или для уточнения решения при помощи расчетов на сгущающихся сетках. Остановимся на устойчивости расчета, Если р(х))0, то задача Коши для уравнения (64а) плохо обусловлена, причем чем больше р(х), тем хуже ее устойчивость. А из оценки (68) видно, что погрешность нашего разностного решения при большом р (х) мала. Отсюда видно, что хорошо построенные разностные схемы яечувствительны к неустойчивости задачи Коши.
В обратном случае р (х) ( 0 не выполняется достаточное условие устойчивости алгебраической прогонки (5.14). Однако в практике численных расчетов нарушение этого условия обычно не вызывает заметного ухудшения устойчивости. Только в редких случаях, когда определитель алгебраической системы (66) почти равен нулю, точность расчета резко падает из-за возрастания ошибок округления. Чтобы легко опознать и исключить такую потерю устойчивости, можно провести расчет на трех (или более) сетках с различными шагами. Если при убывании й все разностные решения близки между собой и стремятся к некоторому пределу со скоростью 0(й') *), то это свидетельствует о хорошей устойчивости. П р и мер.
Возьмем частный случай задачи (64), соответствующий р(х) 0: 271 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Таблица 20 ал и оа а =л)8 А — — ли 1 0,2084 О,3283 0,273! л78 и!4 Зл,'8 0,2!22 о,ззп 0,2778 0,2090 0,3247 0,2748 О,ЗЕОЗ Заметим, что, зная разностное решение в узлах сетки, можно интерполяцией получить приближенное решение при произвольных значениях х. Точность интерполяции целесообразно согласовывать с точностью разностного решения: например, для схемы (66) интерполировать многочленом первой степени, имеющим точность 0(й'), а уточненное решение у интерполировать много- членом второй степени. 5.
Разностный метод; нелинейные задачи. Выше была построена несложная разностная схема для простейшей задачи. Перейдем к более общим случаям. Наибольшие трудности вызывают нелинейные задачи. Рассмотрим краевую задачу для нелинейного уравнения второго порядка и" (х) = 7 (х, и), и (а) = 88, и (6) = 5 (70) с краевыми условиями первого рода. Будем предполагать, что 7(х, и) ограничена и непрерывна вместе со своими вторыми производными, так что существует ограниченная и непрерывная и'и (х). Обозначим через М, =-: шах ~Ги, М, = гпах ) и'~'(. Аналогично и. 4, введем на 1а, Ь) равномерную сетку х„и заменим вторую производную разностным выражением (65). Подставляя его в дифференциальное уравнение (70), получим систему нелинейных алгебраических уравнений ри — 2ри+р: =)8'7" (Хи, уи), 1- П~Лà — 1, (71) Уо=а, Ул =~; последние два уравнения аппроксимируют краевые условия. стоять из одного уравнения, а при а = и/8 — из трех уравнений.
Разностное решение ди для этих случаев приведено в таблице 20. К этим двум решениям применено правило Рунге, и уточненное решение р„ тоже представлено в таблице; для сравнения дано точное решение и(х) = — 81пх — х. Из таблицы видно, что рас- 2 смотренная разностная схема дает неплохие результаты даже на сетке с большим шагом.
272 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИГЛ, ЧН! Докажем с ход им ость разностного решения к точному, дополнительно предполагая, что )»гэт, ° О. Поскольку для погрешности аппроксимации производной (65) справедливо соотношение (3.12): ш и„, — 2и„+ ила.1 = и'иа (х„)+)- и'У ($„), 5„~ (х„„х„+1), точное решение удовлетворяет разностным уравнениям и» т — 2и,+и„,=й»)(хл, и„)+ — и' (5»), 1 п -М вЂ” 1, и„= и, ин = 5.
Вычитая эти уравнения из (71), обозначая погрешность г„= = ӄ— и„и УчитываЯ, что 7(х„, У„) — 7(хл, и„) =(7'„)„г„, полУчим для погрешности систему уравнений г»,— (2+6~7„)».„+~„„=" —,',~ы~($„), 1( (Ж вЂ” 1, (72) г,=О, гн=О. Пусть х„, есть узел, в котором ~г„~ максимален. В этом узле перепишем соотношение (72) в форме неравенства (2+57",).. ! г., ! = ~ г, 1! + ~ г., >1 ~+12! и1У 6.,) ). УСИЛИМ Эта НЕРаВЕНСтВО, ЗаМЕНЯЯ В ПРаВОй ЧаСтИ ) гл, 1) На ) г„, ); тогда получим ./11 ~ и (Б»„)1 ИН~3~ Ш (() гг » ла Это означает, что при й-~ О разностное решение равномерно сходится к точному со вторым порядком точности. Займемся фактическим нахождением разностного решения.
Алгебраические системы общего вида решают методами последовательных приближений или линеаризации. Однако, если взять метод последовательных приближений в естественной форме (5.44): 2у1а+ и = у1»1 + у" 1, — Ь'7 (х„, у1'1), то нетрудно убедиться, что критерии сходимости этого метода (5.45) не выполняются. Положение улучшается, есчи придать методу последовательных приближений специфическую форму у1а1 2у1»1+у1а1 =(11)(х, у~а — »), 1(п — М 1, (74) у1.1,„у:1 о кахввыв задачи 273 Тогда для определения у<'! на каждой итерации получается линейная система, решаемая алгебраической прогонкой. Исследуем сходимость итераций (74). Рассмотрим погрешность ип<ера<(ии ь<'! =у<«! — у,, Она удовлетворяет системе уравнений, получаемой вычитанием (71) из (74): 2~<'! + ~<'! <(<4! 1 ( и ()<7 — 1з 1<1=О, Р<=о, о ' л <(<е =й«1(х„, у'„' — '!) — й') (х«, у«) =Ь«(«(х., у«) ф — ".
Решим эту трехдиагональную систему методом прогонки. Для данной системы рекуррентные соотношения (5.12) для коэффициентов прогонки нетрудно преобразовать к такому виду: $«<!=2 — — — 1, О п(й< — 2, оп=О, 2 — $««+1' « т) ы = $ю! 171 — <('') = — „+ 1,~, й<Ф', 1 == и ~ й( — 1.
А=! Формулы обратного хода прогонки (5.11) также преобразуются и ь †! 'Ч <~! ~~'~ =$„+ Д)+ 1+<1„+ ! — — — и ~~~~ „1 г р<(р (76) ь=«+1 р=! и дают искомое решение системы (75). Для правых частей системы (75) выполняется неравенство ! <(и! ( 4<к! <)<Я! (<2М 1! ьо — и /! Подставляя его в (76), получим и ь — 1 ~~о!(=-.<7<'!и 7, т р= — <7<'!п(Ж-п)~ — <7<'!№. ъз ! ъч 1 1 «(« — 1) ~~< 2 8 ь=«+! р=! Отсюда следует 11 ~<„'! 11, -=. д 11 ь<„' — " !1,, где <7 = — №)<«М, = — (Ь вЂ” а)' М,.
(77) Это означает, что итерации (74) сходятся при выполнении условия в (Ь вЂ” а)' М! (1, М, =!пах ~ — ~. (78) 1 ! <7! Из соотношения (78) следует, что сходимость линейная, т. е. довольно медленная. Условие (78) является достаточным, но оно близко к необходимому: более сложные опенки показывают, что если (Ь вЂ” а)' М )и', то итерации (74) могут расходиться.
274 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ )ГЛ ЧП) Целесообразнее решать уравнения (71) методом Ньютона. Соответствующие формулы нетрудно записать, линеаризуя правые части этих уравнений: уь+ и = у)') + Дь), 0 == п ~ й), Дп) (2 + й2) ) Да) + Дп) йе)ь) уп) + 2уо] усч 1 < п«...=Ж вЂ” 1, ДФ) = Д) ) = 0. а и Линеаризованную систему также решают алгебраической прогонкой. Сходимость итераций исследуют описанными выше приемами.
Потребуем, чтобы )игьт))0. Тогда сравнивая (79) и (7!), можно получить для поправки ).),') =у~„') — у„такое неравенство: И ~п -и ' 1)2(и(х, и) (см> Это означает, что если нулевое приближение взято не слишком далеко от корня (например, удовлетворяет условию 1! ь'"' 1(с == !1 21.)')"ии 11с ).), то итерации (79) сходятся, причем квадратично. Поэтому метод Ньютона обычно выгодней метода последовательных приближений, несмотря на более громоздкие формулы. 3 а м е ч а н и е. Если итерации (79) или (74) сходятся, то в силу непрерывности и гладкости функции 7(х, и) они сходятся к решению системы (71). Тем самым устанавливается существование разностного решения в этих случаях. Для нелинейных задач очень эффективна комп))гксная оргапцза)(ия расчета, позволяющая при небольшом объеме вычислений получать высокую точность. Опишем ее.
Возьмем первую сетку с очень малым числом интервалов М = 2 — 8; остальные сетки получим из нее последовательным сгущением вдвое. 'На первой сетке начальное приближение выберем каким-либо приближенным способом: методом Галеркина, или разложением по малому параметру. Поскольку для первой сетки порядок алгебраической системы мал, качество нулевого приближения здесь малосущественно. Когда итерации сошлись, полученное разностное решение интерполируем (например, линейно) на второй сетке и возьмем на ней в качестве нулевого приближения. Тогда итерации обычно быстро сходятся; в методе Ньютона достаточно 2 — 4 итераций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
