Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Методом Рунге — Кутта можно строить схемы различного порядка точности. Например, схема ломаных (15) есть схема Рунге — Кутта первого порядка точности. Наиболее употребительны схемы четвертого порядка точности, образующие семейство четырехчленных схем. Приведем без вывода ту из них, которая записана в большинстве стандартных программ ЭВМ: У„, = у„+ —, (се!+ 2й, + 2ссз + Ссс), й сс й и! =С (Ха, уа), гза =С (Ха+ —, ул+ 2 (С!), йа= гг(ха+ 2 Ул+ 2 (СЗ) )СС=) (Хл+й Уя+(тйа) й а (24) (при величинах сс и шаге Й следует также ставить индекс сетки л, но для простоты записи мы его опускаем). Формулы более высокого порядка то'шости практически пе употребляются.
Пятичленные формулы имссог всего липсь четвертый порядон точности; шестичленные имеют шестой порядок, но слишком громоздки. Кроме того, высокий порядок реализуется лишь прн наличии у правой части непрерывных производных соответствующего порядка. обозначая через у, г приближенные значения функций и (х), Схемы Рунге — Кутта имеют ряд важных достоинств. 1) Все онн (кроме схемы ломаных) имеют хорошую точность. 2) Они являются явными, т. е.
значение у„,, вычисляется по ранее найденным значениям за определенное число действий по определенным формулам. 3) Все схемы допускают расчет переменным шагом; значит, нетрудно уменьшить шаг там, где функция быстро меняется, и увеличить его в обратном случае. 4) Для начала расчета достаточно выбрать сетку х„и задать значение у,=тс; далее вычисления идут по одним и тем же формулам. Все эти свойства схем очень ценны при расчетах на ЭВМ. На случай систем уравнений схемы Рунге — Кутта легко переносятся, как во всех других методах, при помощи формальной замены у, С(х, у) на у, у(х, у).
Нетрудно произвести покомпонентную запись этих схем. Например, для системы двух уравнений и'(х) =г(х, сс (х), О(х)), (25) н' (х) = д (х, и (х), о (х)), 249 ЗАДАЧА КОШИ о(х), запишем аналогичную (24) четырехчленную схему следующим образом: Ул. 4=Ул+ ь-л(лг+2/42+2/22+)24)~ (2ба) гл.,=гл+- й(д,+2д,+2д,+д,), где 1 (Хп Ул лл) ~ 4/4 К (Хл Ул лл) э 1 ! йп — /(Хл+--й, Ул+--йй„гл+- /44/,), 1 1 1 ! 4)2=-Я(хл+ й" Ул+ 2 /!/42 зп+'9 /244) ~2=/~~~ + — й, Ул+- й/р„гл+ -,-/!аз), / 1 1 1 4/2 =- 01хл+ — й, Ул+ -9-/2/22 зл+ 9 Й4/2), (2бб) /4 ! (Ап+ /4 Уп+ /4/22 лл+ /44/2) ю 4) =а(х.+/4, У,+/4/р„г„+/4М. Численные коэффициенты в остаточных членах (27) малы; это является одной из причин хорошей точности схем Рунге— Кутта.
Напомним, что именно эта схема четвертого порядка точности (разумеется, записанная для системы произвольного числа уравнений) лежит в основе большинства стандартных программ численного решения задачи Коши на ЭВМ: 3 а м е ч а н н е. Погрешности различных схем Рунге — Кутта связаны с максимумами модулей соответствуюших производных /(х, и) громоздкими выражениями типа (18) †(19). Наглядное представление о величине этих погрешностей можно получить в одном частном случае, когда / =/(х). При этом дифференциальное уравнение сводится к квадратуре, а все схемы численного интегрирования переходят в квадратурные формулы. Легко убедиться, что схема (22) переходит в формулу средних (4.!б), схсма (23) — в формулу трапеций (4.7) с шагом й, а схема (24)— в формулу Симпсона (4.1!) с шагом 6/2, Напомним, что мажоранты остаточных членов этих формул на равномерной сетке с указанными шагами соответственно равны Йр„— — — /4' шах ! /" ~, Й,р,„— — —, /4~ п!ах )/'), (27) 250 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ.
ЧП! Какими из формул Рунге †Кут целесообразно пользоваться в каждом конкретном случае и как выбирать шаг сетки? Если правая часть дифференциального уравнения непрерывна и ограничена вместе со своими четвертыми производными (и эти производные не слишком велики), то хорошие результаты дает схема четвертого порядка (24) благодаря очень малому коэффициенту в остаточном члене и быстрому возрастанию точности при уменьшении шага. Если же правая часть не имеет указанных производных, то предельный порядок точности этой схемы ие может реализоваться. Тогда не худшие (хотя, по-видимому, и не лучшие) результаты дают схемы меньшего порядка точности, равного порядку имекнцихся производных; например, для двукратно непрерывно дифференцируемых правых частей — несложные схемы (21) — (23).
Шаг сетки следует выбирать настолько малым, чтобы обеспечить требуему!о точность расчета; других ограничивающих шаг условий в методе Рунге — Кутта нет. Но выражения остаточных членов типа (18) — (19) слишком громоздки; поэтому априорными оценками точности для выбора шага в практических расчетах не пользуются. Удобнее делать расчеты со сгущением сетки, давая апостериорную оценку точности (подробнее это будет рассмотрено в п. 11).
Встречаются важные задачи, в которых функции являются достаточно гладкими, но настолько быстро меняющимися, что схемы Рунге — Кутта как низкого, так и высокого порядка точности требуют неприемлемо малого шага для получения удовлетворительного результата. Такие задачи требуют использования (а нередко — разработки) специальных методов, ориентированных на данный узкий класс задач. 7. Метод Адамса.
Будем рассматривать правую часть уравнения 1(х, и) не на всей плоскости ее аргументов х, и, а только иа определенной интегральной кривой и (х), соответствующей искомому решению. Тогда она будет функцией только одного аргумента х; обозначим ее через Р (х) = ( (х, и (х)). Пусть нам уже известно приближенное решение в нескольких точках сетки: уп, у„„..., у„. Тогда в этих точках известны также Р (хп) =-((х„уп). В окрестности этих узлов можно приближенно заменить Е(х) интерполяционным многочленом; запишем его для неравномерной сетки в форме Ньютона (2.8): Р(х) =Р(х„)+(х — х„) Р(хп, х„,)+ + (х — хп) (х — х„,) г (хп, х„„хп,) + + (х хп) (х хл-!) (х хп — и) ~ (хл~ хп — ! хл-а хп — з)+ °" (28) ЗАДАЧА КОШИ Ограничимся только написанными членами, так как уже они обеспечивают четвертый порядок точности.
Для вычисления решения в следующей точке запишем дифференциальное уравнение в интегральной форме "плл илл,=и + ~ ((х, и(х))ох=и,+ ~ Е(х)дх (29) кп кл и подставим в него интерполяционный многочлен (28). Получим формулу Адамса для переменного шага ! у.,=у.+Ь.Г(х.)+--й",Г(х., хл,)+ + — й'„(26,+ЗА„,)Р(х„, хл. „хл,)+ +)!2лйл (Зйл+8йпйп — !+4йпйл — л+6лй !+6йп як-А)Х ХГ(х„, хл „, хп „хп,), где йл=хл, — хл. (30) Эта формула имеет четвертый порядок точности. Если отбросить последнее слагаемое, получим формулу третьего порядка точности. Аналогично получаются формулы низших порядков.
Формула первого порядка совпадает со схемой ломаных. Чаще пользуются менее громоздким вариантом формулы (30), рассчитанным на постояиный шаг интегрирования. Вместо разделенных разностей вводят конечные разности ААУ„= = р! У (хл, хл „..,, хп р), приблизительно равные р-й производной в точке (хл+х„р)/2, и получают ул~1 уп+АРп+ 2 л А Еп+Тйп А Еп+-З вЂ” й А гл (31) Остаточный член этой формулы равен (251/750) АлУ!ч(х).
Метод без изменений переносится на системы уравнений первого порядка типа (25). Чтобы начать расчет методом Адамса, недостаточно знать у (х,). Для начала расчета по формуле (30) надо знать величину решения в четырех точках х„, х„х„х, (а при формуле р-го порядка точности — в р точках). Поэтому надо вычислить недостающие значения у„каким-либо другим методом — методом Рунге — Кутта, или разложением по формуле Тейлора (13) — (14) с достаточно бочьшим числом членов. При работе на ЭВМ зто вдвое увеличивает обьем программы. Кроме того, формулы (30) громоздки, а несложные формулы (31) рассчитаны только па постоянный шаг н требуют нестандартных действий при смене шага: надо перейти к формулам (30), сделать по ним четыре шага и снова вернуться 252 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. ЧН1 к формучам (31).
Все это делает метод Адамса неудобным для расчетов на ЭВМ. Внешне этот метод привлекателен тем, что за один шаг приходится только один раз вычислять 1'(х, и), которая может быть очень сложной. А в четырехчленной схеме Рунге — Кутта того же порядка точности 1 (х, и) вычисляется за шаг четыре раза. Однако коэффициент в остаточном члене (2?) схемы Рунге — Кутта (24) меньше в 960 раз, чем в схеме (31)! Значит, при одинаковой точности схема Рунге — Кутта (24) позволяет брать шаг в 1('960 = 5,7 раза крупнее, т.
е. фактически вычислять 1(х, и) даже меньшее число раз, чем в методе Адамса. Поэтому сейчас метод Адамса и аналогичные методы (например, Милна) употребляются реже метода Рунге — Кутта. 8. Неявные схемы. Предыдущие методы были явными, т, е. значение упп, определялось за заранее известное число действий. Пример неявной схемы получим, если запишем дифференциальное уравнение в интегральной форме (29), а интеграл по одному интервалу сетки приближенно вычислим по формуле трапеций 1 уп„=- уп+ - 71 (7 (Хп, у„) + ~ (Х„„, у...) ~. Решая это алгебраическое уравнение, можно определить у„,„ которое и будет приближенным значением Искомого решения и (х„).
Схема (32) имеет второй порядок точности, допускает счет неравномерным шагом, не требует специальных приемов для начала счета. Но у этой схемы есть серьезные недостатки. Во-первых, неизвестно, имеет ли уравнение (32) вещественный корень, т. е. разрешима ли задача. Можно привести пример, когда прн большом шаге корня нет. Пусть 1(х, и) = и' и и (О) =- 1; тогда на первом шаге у,=-!+ -- й(1+у) и при А)(1+)( 2) ' вещественного ! корня нет, Во-вторых, даже если корень есть, то как его найтнй Метод Ньютона применять нежелательно, так как для этого надо дифференцировать 7(х, и). Метод деления пополам не обобщается на системы уравнений.
Остается метод последовательных прибли- жений Уп —, 1 = Уп -с 2 л [) (хп Уп) + 7 (хп -1 уп —,— ( )1 (и) (и — (1 (33) Однако он сходится к корню, только если А~1„'(2, т. е. при достаточно малом шаге. Если в ходе расчета 7„возрастает, то итерации (ЗЗ) могут перестать сходиться. От последней трудности можно избавиться, заодно уменьшив объем вычислений. Для этого ограничим заранее число итераций злдхчд коши и рассмотрим (ЗЗ) как самостоятельную явную схему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
