Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(72) Выберем какую-нибудь гладкую функцию гр„(х) так, чтобы она *) В отдельнв|х случаях число параметров бвгеает еще больше. уеапример, в квантовой химин при решении уравнения шредингера для нес(!ернческого многоцентрового поля молекулы берут я 1000. параметров и смотрят, сходятся ли полученные значеняя Ф„и функции.
0„(х; а) к какому-то пределу. Если последовательность (и„) выбрана удачно, то величина Ф„ будет близка к своему пределу Ф уже при небольшом и. Например, для функционала энергии атома (65) пробная функция всего / 4 т — 3/х с четыРьмЯ паРаметРами Р(х) ~ ~ ~паха~ обеспечивает точь =! ность расчета полной энергии существенно лучше 1е',.
Само искомое решение (в данном примере — распределение электронов в атоме) находится при этом с меньшей, но удовлетворительной точностью. Однако оценить фактическую точность найденного приближения на основании таких расчетов не удается. Далее мы рассмотрим два частных случая метода пробных функций, когда можно получить и более высокую точность, и неплохую оценку погрешности. 3.
'Метод Ритца. Ряд важных математических задач сводится к минимизации квадратичного функционала. Примером является решение корректно или некорректно поставленных задач для линейного операторного уравнения (54), приводящее к одному из функционалов (55), (56) ил)! (58). Если в качестве пробных функций взять обобщенные многочлены МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА удовлетворяла этим краевым условиям, например, фо (х) = со + — (х — а), (73а) или фо (х) = сс + (() — сс) в\и (736) Остальные функции выберем так, чтобы они удовлетворяли однородным краевым условиям типа (72) и при этом образовывали бы полную систему. Например, согласно теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию можно аппроксимировать со сколь угодно высокой точностью алгебраическими или тригонометрическими многочленами.
Поэтому можно положить фо (х) = (х — а)' (5 — х), й = 1, 2, ..., (73в) или нй (х — а) фо (х) = з1п 1=1, 2, (73г) В этом случае пробные функции (71) при любых коэффициентах а„удовлетворяют неоднородным краевым условиям (72) и являются полными на множестве непрерывных функций, удовлетворяющих этим краевым условиям. Согласно замечанию 3 к теореме п.
2 такой выбор пробных функций допустйм. П р и м е р. Рассмотрим задачу на минимум квадратичного функционала (58) с вещественным симметричным положительным оператором А: Ф(у(х)1=(у, Ау) — 2 Д, у) = пип. (74) Подставляя в этот функционал пробные функции Ритца (71), получим квадратичную функцию свободных параметров и л Ф 1сл(х; а)1 = г" (а) = ~ ~х ' ааа (ф„ Аф ) + о=!т=~ л +2 ~ ао((фо, Афо) — (фо, Я+(фо Афо — 2)) пип. Приравнивая нулю производные этой квадратичной функции по параметрам, получим для определения параметров линейную систему уравнений л )~ а (фо, Атр )= — (фо, Аф„-)), 1(й==п. (75) Ладим схему исследования сходимости, не останавливаясь на деталях. В этом примере удобно ввести норму, связанную с данныи положнтельныл~ оператором А: 1и)РА=(у Аи).
(7б) 232 ПОИСК МИНИМУМА !Гл. Уи Таким образом, последнее условие (70) теорел1ы о сходимости выпачнено и метод Ритки в данном примере сходится. Заметим, что для не квадратичных функционалов Ф[у1 линейные по параметрам пробные функции (7!) не дают никаких пре'- имуществ, ибо получающиеся функции параметров Е (а) = = Ф[п„(х; а)) все равно оказываются не квадратичными. Поэтому метод Ритца фактически применяют только для квадратичных функционалов.
4. Сеточный метод. Введем сетку по аргументу х и заменим все производные и интегралы, входящие в функционал, некоторыми разностями и суммами узловых значений функции у, = у(х„). Тогда функционал аппроксимируется некоторой вспомогательной функцией многих переменных — значений решения в узлах: Ф[у(х)1 Е(у„у„у„..., у„)=ппп.
(78) Решая задачу Е (у„..., у,) = ппп численными методами, мы непосредственно получим приближенные значения решения в узлах сетки. Зная их, решение при остальных значениях аргумента (не совпадающих с узлами сетки) можно найти интерполяцией. Например, рассмотрим сферически-симметричный сжатый атом в модели Томаса — Ферми; его энергия задается функционалом (65), где интегралы берутся по сферической атомной ячейке радиуса Й. Вводя равномерную сетку 0 = г, ( г, (...
( г„= Й и вычисляя интегралы по формуле прямоугольников, получим л Š— ~) (ссггзр1згз — Рггрг+ уг~ргфг), 1 1 (79а) Сделаем естественное предположение, что этз норма не слабее ) й . В самом деле, длл операторов А типа (6!) такая норме содержит ннгегрзл от квадрата функции и ее производной, в средиеквндрзтичнзя близость и функций, и их производных есть более сильное требование, чем равномернзя близость функций.
Для таких операторов система тригонометрических функций (73г) будет полной по норме (76). Действительно, для любой функции у(х), непрерывно днфференцируемой г рзз, ее тригонометрический ряд Фурье среднеквздрзтично сходится к ней вместе со своими г-ми производными. А сходимость по норме (76) отличается от среднеквадратичной только нвличием весовых множителей у(х), д(х) под интегралом (62), что несущественно. Найдем вариацию функционала (74) нв произвольной функции бФ(у)=Ф (у+бу) — Ф (у)=(бу, Абу)+2 (бу, Аи — )). (77) Первое слагаемое этой взринции равно Ц бу)-э, т. е. является бесконечно малой второго порядка; второе слагаемое, по предположению о силе нормы (76), является бесконечно малой не ниже первого порядка о~носительно ~)буЦ Отсюдз следует непрерывность функционала, Наконец, звметил1, ЧтО решение У искомой задачи (74) удовлетворяет уравнению Ау=)', Подствзляя зто решение в (77), получим бФ (У! = ~! 6У(Рл, 233 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА $41 где атомный потенциал 4р(г) сам зависит от неизвестной электрон- ной плотности р(г); й ъ1 .
д 34= — ~~, гзр+ — ~~ «р, ЛГ4 4'„4 '' П (79б) 4=4+1 а коэффициенты сс„р, у выражаются через физические константы. Надо найти минимум энергии при дополнительном условии нормировки ~ р (г) сЬ = Я, причем это условие также надо приближенно записать в сеточной форме. Выражения (79а), (79б) достаточно сложные, и при большом числе узлов сетки найти минимум численными методами трудно. Очевидно, что для произвольных функционалов число узлов сетки, которое практически возможно использовать в расчетах, очень невелико: оно не превышает и 10 — 20. Однако даже при таком числе узлов нередко удается получить неплохую точность при умеренном объеме расчетов, используя прием сгущения сеток. Для этого выполняют серию расчетов на сгущающихся вдвое сетках с числами интервалов п=1, 2, 4, 8 и 18.
Поскольку порядок точности выбранных разностных формул дифференцирования и интегрирования обычно известен, то проводят уточнение результатов, полученных на разных сетках, рекуррентным методом Рунге. При этом непосредственно наблюдают, сходится ли численный расчет к пределу при увеличении п, и производят апостериорную оценку погрешности. На каждой сетке минимум функции г" (у„..., у„) находят обычно каким-либо итерационным методом спуска. Для уменьшения числа итераций (а тем самым, объема вычислений) организуют расчет следующим образом.
Сначала выполняют расчет иа самой редкой сетке, где неизвестных мало (при п= 1 всего два — у, и у4) и объем вычислений заведомо невелик даже при плохом нулевом приближении. Найденный на этой сетке профиль у(х) интерполируют на следующей, более подробной сетке, и используют на ней в качестве нулевого приближения. Вновь найденный профиль снова интерполируют и т.
д. Для квадратичных функционалов при использовании линейных формул численного дифференцирования и интегрирования задача (78), как и в методе Ритца, сводится к нахождению минимума квадратичной функции. Например, возьмем функционал (62), но на ограниченном отрезке а(х . Ь; введем на этом отрезке равномерную сетку с шагом й и аппроксимируем интеграл при ПОИСК МИНИМУМА !ГЛ. УИ помощи обобщенных формул трапеции и средних: л Ф(У1 й ~~„(р; !!т(~~ „' ~) + 1= ! + 4 У! — !м (У!+У!-!) 1!- !м (Ул+У!-!) ( ° ! (80) Ф [у) = ~ ~р (х) ф + д (х) у' (х) — 2) (х) у (х)~ г(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
