Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(81) й Сплайн должен иметь порядок тоже не ниже первого. Ограни- чимся простейшим сплайном первого порядка — ломаной линией, проведенной через точки (хь у!): 5 (х) =- У; т+"— '-"'..' (х — х!..!), х, =. х ~ хи (82) Отыскание минимума опять сводится к решению линейной системы уравнений с неизвестными уь 0~!=-и, легко выполняемому численными методами.
Это позволяет брать очень большое число узлов. Тогда имеет смысл ставить вопрос о теоретическом исследовании сходимости прнближенного решения к искомому при и- со. Обоснования сходимости мы не будем давать. Укажем только один случай, когда применима сформулированная в п. 2 теорема. Пусть функционал имеет вид (69), т. е. явно содержит функцию н ее производные вплоть до р-й. Построим последовательность сеток так, чтобы предыдущая сетка содержалась в последующей; это можно делать сгущением сеток вдвое, причем сетки могут быть даже неравномерными.
В качестве пробных функций возьмем сплайны 5(х) порядка не ниже р (см. главу П, 5 1). Эти сплайны являются многочленами степени р, коэффициенты которых линейно выражаются через узловые значения искомой функции у,; их производные порядка ниже р непрерывны, а р-я производная всюду существует и кусочно-непрерывна. Нетрудно убедиться в том, что условие вложения классов пробных функций У„во все последующие классы при атом выполнено, и что такими пробными функциями прн а-~-со можно со сколь угодно высокой точностью аппроксимировать любую р раз непрерывно дифференцируемую функцию вместе с ее производными вплоть до у!У! (х), Следовательно, система сплайн-фуикций обладает свойствами, нужными для применения теоремы о сходимости.
В качестве примера рассмотрим квадратичный функционал типа (б2), содержащий первую производную: МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА Нада разбить интеграл (81) на сумму интегралов по отдельным интервалам сетки и каждый из этих интегралов вычислить, используя заданный закон интерполяции (82). Например, поскольку 5'(х) =(у,— у;,)((х; — х; т) при х; г(х(хь то ~ р(х)(у'(х)1'Их — у~ ~ю ш '~ ~ р(х)г(х. к ~=1 к„ Аналогично вычисляются остальные слагаемые в (81).
Получающиеся выражения имеют более сложный вид, чем при не сплайновой аппроксимации (80); использование сплайнов высших порядков привело бы к еще более сложным выражениям (зато получающиеся при этом сеточные схемы имели бы более высокий порядок точности). Тем ие менее, поскольку сами сплайны линейно зависят ат узловых значений функции, то подстановка нх в квадратичный функционал приводит к задаче на минимум квадратичной формы. Поэтому такой подстановкой пользуются даже для многомерных функционалов, к которым сводятся краевые задачи для эллиптических уравнений в частных производных. Коснемся построения сплайнов в многомерных задачах. Если область 6 двумерна, то ее можно разбить на треугольные ячейки (у гранвчиых ячеек одна сторона может быть не прямой).
В каждой ячейке д~ по узловым значениям функции двух переменных г(х, у) в трех вершинах ячейки однозначно строится простейший линейный сплайи 5(х, у) =а;+6;х+с;у, где (х, у) спи,; он соответствует аппроксимации поверхности г(х, у) плоскостью. Сплайновые плоскости соседних ячеек пересекаются па прямым, проходящим через выбранные узлы поверхности г (х„у); эти прямые проектируются точно на границы ячеек. Следовательно, двумерный линейный сплайн, построенный указанным образом, является непрерывным и кусочно-гладким в области б. Описанный способ построения линейного сплайна естественно обобщается ча случай любого числа измерений. При этом область 6 следует разбить на многомерные симплексы.
Но для построения сплайнов более высокого порядка этот несложный алгоритм не годится: в этом случае ои не гарантирует непрерывности и требуемой гладкости сплайновой поверхности на границах ячеек. Требования непрерывности функции и некоторого числа ее производных на границах ячеек надо формулировать в виде дополнительных уравнений, которым должны удовлетворять коэффициенты сплайнов. Надо, чтобы полное число уравнений равнялось полному числу коэффициентов; это будет не при любой форме ячейки.
236 ПОИСК МИНИМУМА (гл. уи Например, рассмотрим двумерный кубический сплайн 5 (х, у) = аь„х"ум в прямоугольных ячейках со сторонами, параль+м- — -О лельными осям координат. Потребуем непрерывности иа границах сплайна вместе со вторыми производными. Этот сплайн имеет 10 коэффициентов в расчете на одну ячейку. Совпадение сплайна с функцией г(х, у) в вершинах ячейки дает 4 уравнения. Потребуем на обеих сторонах ячейки, параллельных оси х, непрерывности 5 (х, у), 5, и 5ч„; дифференцируя их по х, нетрудно убедиться, что тогда на этих сторонах величины 5„5х, и 5хя тоже будут непрерывны.
Аналогично потребуем непрерывности величин 5(х, у), 5, и 5„. На сторонах, параллельных оси у. Это дает по 3 уравнения*на каждой стороне ячейки, но этн уравнения связывают коэффициенты двух ячеек. Следовательно, всего непрерывность дает б уравнений в расчете на одну ячейку. Таким образом, полное число уравнений равно полному числу коэффициентов, и сплайн определяется однозначно (с точностью до условий на границе области 6). ЗАДАЧИ 1. Вывести итерационную формулу (12) поиска минимума функции одной переменной Ф (х), заменяя истинную нривую ннтерполяционной параболой, проведенной через три точки х,— Ь, х„х,+й. 2. Дать аналогичньш вывод формулы (!3), строя интерполяционную параболу по таянам х„х, „х, з.
3. Доказать оценну (14) для скорости сходимасти процесса (13); для этога л!ожпо воспользоваться схемой доназательгтва, данного в главе 1Г, 4 2, и. 7. 4. Написать уравнение для линий уровня квадратичной формы (!8); найти главные осн полученных эллипсов и определить опюшенне длин главных осей. 6. Написать линейную систему уравнений, решение которой минимизирует регуляризованную задачу линейного програллмиравания (62). 6. Построить накую-нибудь полную систему функций в методе Ритца, если вместо нраевога условия первого рода (72) задано условие второго рода у' ( ) =, у' (6) = 6.
7. Провести аккуратное доназагельство сходимосги негода Ритце для функционала (62), используя схему, данную в 4 4, п. 3. 8. Написать систему уравнений для определения сеточных значений функ ции уь н которой привод!пся задача минимума функционала (62) после раз.
ьостной замены (80). Убедиться, что эта линейная система имеет трехдиагональвую матрицу и решение ее методом прогонки устойчиво. 9. Показать, по двумерный нвадрагичный сплайн 2 3 (х, у) = ~~ ~а„марь а+ =о па треугольной сетке и трехмерный нвадратнчный сплайн на сетке из тетраэдров определяются однозначно (с точностью до условий на границе области 6). ГЛАВА гг111 ОБЫКНОВЕННЪ|Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ В главе У111 рассмотрены асноваые методы численного решения различных типов задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. В |! излонгены постановка и методы решения задачи с начальными условиями (задачн Коши); зти методы применяются и при решении других типов задач.
В 1 2 даны постановки и методы решения краевых задач, а в | 3 — задач на собственные значения. 5 1. Задача Коши 1. Постановка задачи. Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, химической кинетики, электрических цепей, сопротивления материалов (например, статический прогиб упругого стержня) н многие другие. Ряд важных задач для уравнений в частных производных также сводится к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Так бывает, если многомерная задача допускает разделение переменных (например, задачи на нахождение собственных колебаний упругих балок и мембран простейшей формы, или определение спектра собственных значений энергии частицы в сферически-симметричном поле), или если ее решение зависит только от некоторой комбинации переменных (так называемые автомодельные решения).
Таким образом, решение обыкновенных дифференциальных уравнений занимает важное место среди прикладных задач физики, химии н техники. Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка, или к системе уравнений любого порядка. Но известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение р-го порядка игг1 (х) =) (х, и, и', и", ..., и1Я '>) при помощи замены им1(х) =— иа(х) можно свести к эквивалентной системе р уравнений первого порядка иь (х) = илгз (х), 0 == й == р — 2, и' 1(х) =1(х, и„и„, ..., ир,), 238 ОБыкнОВенные диФФеРенциальные уРАВнения ]гл. уп1 где и, (х) = и (х).
Аналогично, произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно заменить некоторой эквивалентной системой уравнений первого порядка. Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, рассматривать системы уравнений первого порядка иа(х) =Ге(х, и„и,„... „и„), 1;==Й~р, (1а) записывая нх для краткости в векторной форме и'(х) =у(х, и (х)), (1б) и=]и„и,, ..., и ), Уе=(1„(т, ..., Ц. Известно, что система р-го порядка (1а) имеет множество решений, которое в общем случае зависит от р параметров с =- = (ст, с.„..., са) и может быть записано в форме и =и(х; с). Для определения значений этих параметров, т.
е. для выделения единственного (или нужного) реп1ения, надо наложить р дополнительных условий на функции иа (х). Различают три основных типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши, краевые задачи и задачи на собственные значения. 3 а д а ч а К о ш и (задача с начальными условиями) имеет дополнительные условия вида и,ф)=т]м ]~й =.р, (2) т. е. заданы значения всех функций в одной и той же точке х=е, Эти условия можно рассматривать как задание координат начальной точки (е, т]„т]„..., т] ) интегральной кривой в (р+ 1)- мерном пространстве (х, и„и„..., и„).
Решение при этом обычно требуется найти на некотором отрезке 1(х Х (илн Х.==х $), так что точку х=$ ~можно считать начальной точкой этого отрезка. Напомним *), что если правые части (1) непрерывны и ограничены в некоторой окрестности начальной точки (е, т]„ т]„ ... ..., т]„), то задача Коши (1) — (2) имеет решение, но, вообще говоря, не единственное.
Если правые части не только непреРывны, но и УДовлетвоРЯют Условтцо Липшица по пеРеменным иы то решение задачи, Коши единственно и непрерывно зависит от координат начальной точки, т. е, задача корректно поставлена. Если вдобавок правые части имеют непрерывные производные по всем аргументам вплоть до д-го порядка, то решение и(х) имеет д+1 непрерывную производную по х. 2. Методы решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
