Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Их можно условно разбить на точные, приближенные и численные. К т о ч н ы м относятся методы, позволяющие выразить решение дифференциального уравнения *) См., например, 137]. 239 ЗАДАЧА КОШИ зн через элементарные функции, либо представить его при помощи квадратур от элементарных функций. Эти методы изучаются в курсах обыкновенных дифференциальных уравнений. Нахождение точного решения задачи (1) — (2), а тем более — общего решения системы (1) облегчает качественное исследование этого решения и дальнейшие действия с ним. Однако классы уравнений, для которых разработаны методы получения точных решений, сравнительно узки и охватывают только малую часть возникающих на практике задач.
Например, доказано, что решение несложного уравнения и'(х) =х'+и'(х) (3) не выражается через элементарные функция. А уравнение и'(х) =— и+х (4) можно точно проинтегрировать и найти общее решение — 1п (х'+ и') + агс(ц — „= сопз1. 1 и 2 (5) Однако для того, чтобы составить таблицу значений и(х), надо численно решить трансцендентное уравнение (5), а это нисколько не проще, чем непосредственно численно проинтегрировать уравнение (4)! П р и б л и ж е н н ы м и будем называть методы, в которых решение получается как предел и(х) некоторой последовательности у„(х), причем у (х) выражаются через элементарные функции или при помощи квадратур. Ограничиваясь конечным числом п, получаем приближенное выражение для и(х).
Примером может служить метод разложения решения в обобщенный степенной ряд, рассматриваемый в курсах обыкновенных дифференциальных уравнении; некоторые другие приближенные методы будут изложены в этой главе. Однако эти методы удобны лишь в том случае, когда болыпую часть промежуточных выкладок удается сделать точно (например, найти явное выражение коэффициентов ряда). Это выполнимо лишь для сравнительно простых задач (таких как линейные), что сильно сужает область применения приближенных методов.
Ч и с л е н н ы е м ет оды — это алгоритмы вычисления приближенных (а иногда — точных) значений искомого решения и (х) на некоторой выбранной сетке значений аргумента х„. Решение при этом получается в виде таблицы. Численные методы не позволяют найти общего решения системы (1); они могут дать только какое-то частное решение, например, решение задачи Коши (1)— (2). Это основной недостаток численных методов. Зато эти методы применимы к очень широким классам уравнений и всем типам 240 овыкновенныв диффенвнцилльные эглвнвния 1гл чш Общее решение уравнения (ба) содержит одну произвольную постоянную и (х; с) = 1 + х + се".
При начальном условии (бб) она равна с = О, так что и (100) = 101. Однако небольшое изменение начального условия й(0) =1,000001 слегка меняет постоянную: с =. 10-', тогда и (100) — 2,7 х 10", т. е. решение изменилось очень сильно. В этом параграфе рассмотрены методы решения задачи Коши. Для простоты записи мы почти всюду ограничимся случаем одного уравнения первого порядка. Алгоритмы для случая системы р уравнений (1б) легко получаются из алгоритмов, составленных для одного уравнения, формальной заменой и(х) и 1(х, и) на и(х) и Г'(х, и).
3. Метод Пикара. Это приближенный метод решения, являющийся обобщением метода последовательных приближений (см. главу Ч, $ 2). Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка и'(х) =7(х, и(х)), ~~х(Х, и($) =т). (7) Интегрируя дифференциальное уравнение, заменим эту задачу эквивалентным ей интегральным уравнением типа Вольтерра х и (х) = 4) + ~ 7 (т, и (т)) йт. (8) задач для них.
Поэтому с появлением быстродействующих ЭВМ численные методы решения стали одним из основных способов решения конкретных практических задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные методы можно применять только к корректно поставленным (или регуляризованным) задачам. Заметим, однако, что для успешного применения численных методов формальное выполнение условий корректности может оказаться недостаточным.
Надо, чтобы задача была хорошо обусловлена, т. е. малые изменения начальных условий приводили бы к достаточно малому изменению интегральных кривых. Если это условие не выполнено, т. е. задача плохо обусловлена (слабо устойчива), то небольшие изменения начальных условий или эквивалентные этим измене'ниям небольшие погрешности численного метода могут сильно исказить решение.
В качестве примера плохой обусловленности рассмотрим задачу и'(х) =и — х, 0(х(!00, (ба) и (О) = 1. (бб) 241 ЗАДАЧА КОШИ З !! Решая это интегральное уравнение методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара к у, (х) = т! + ~ 1(т, у -з (т)) с(т, уз (х) = — т! (9) (приближенное решение, в отличие от точного, мы будем обозна- чать через у). На каждой итерации этого процесса интегрирова- ние выполняется либо точно, либо численными методами, описан- ными в главе 1Ч. Докажем сходимость метода, предполагая, что в некото- рой ограниченной области 6(х, и) правая часть г(х, и) непре- рывна и удовлетворяет по переменной и условию Липшица , 1 (х, и,) — 1 (х, из), «1. ~ и, — из Ч Поскольку область 6 (х, и) ограничена, то выполняются соотношения ',х — $: « а, ;и — з!, '«:8. Обозначим погрешность приближенного решения через г,(х) =у,(х) — и(х).
Вычитая (8) из (9) и используя условие Липшица, получим к ! гк (Х) « Е )! гк ! (т) С(т. Решая это рекуррентиое соотношение н учитывая, что ,'г,(х) ~ = = !т! — и (х)( « (з, найдем последовательно ! г, (х) ! « Ь(. (х — Е), ) г, (х) ! « — И.з (х — Е)', ..., ( г, (х) /,-= †, о1.' (х — $)'. Отсюда следует оценка погрешности ! г, (х) / « — (аЕ.)' "- =. ! — ~ . (10) з! ф'2зз! з, Видно, что шах ~ г,(х) !-з-0 при в-з-со, т.
е. приближенное ре!пе- ние равномерно сходи!пся к точному во всей области 6(х, и). Пример. Применим метод Пикара к задаче Коши для урав- нения (3), решение которого не выражается через элементарные функции и'(х) =х'+и' и(0) =О. В этом случае квадратуры (9) вычисляются точно, и мы легко получаем 1 1 / 1 уз(х) О ук(х) 3 у (х) 3 !1+ 2! ) 3 у (х) хз! 1 + хз+ хз + хы ~ з — 3 ~ 2!' 693 19845 и т. д. Видно, что при х==. 1 эти приближения быстро сходятся и позволяют вычислить решение с высокой точностью, 242 ОВЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. УИ! 4.
Метод малого параметра. Достаточно простыми оказываются вычисления методом малого параметра, предложенным Пуанкаре в 1892 г. Пусть правая часть уравнения и'=1(х, и; А) зависит от параметра и известно частное решение уе(х) при некотором значении параметра )ь=ле. Будем искать решение в виде ряда и (х) =,У, (г ге) у» (х) »=о (1 1) Подставляя этот ряд в исходное уравнение и разлагая ((х, и; )) по формуле Тейлора по степеням (Х вЂ” Х,), получим для опреде- ления у„(х) линейные уравнения у,', (х) = а„ (х) у» (х) + и„ (х), и = 1, 2, 3, ...
(1 2) Здесь коэффициенты а„(х) выражаются через производные 1(Х, И; "г) ПРИ и=-до(Х), А=).„а ФУНКЦИИ О„(Х) ВЫРажавтСЯ ЧЕРЕЗ уе(х), 0 й(п. Тем самым нахождение у„(х) сводится к квадратурам. Достаточным условием сходимости ряда (11) является аналитичность 1(х, и; А) по всем аргументам. При практическом применении метода малого параметра специально вводят в правую часть уравнения (7) параметр так, чтобы при некотором его значении легко находилось частное решение; после этого действуют по описанной схеме.
Например, для уравнения (3) можно прибавить к правой части член Аиэ, положив, таким образом, 7" (х, и; А) =хе+(!+Х) и'! тогда при 1 Х„= — 1 сразу видно частное решение у, (х) = - - х'+ с, где постоянная с определяется из начального условия. Метод малого параметра естественно переносится на уравнения высоких поря;1ков или на системы уравнений. При этом Из этого примера видно, что метод Пикара выгодно применять, если интегралы (9) удается вычислить через элементарные функции. Если же правая часть уравнения (7) более сложна, так что эти интегралы приходится находить численными методами, то метод Пикара становится не слишком удобным.
Метод Пикара легко обобщается на системы уравнений способом, описанным в п. 2. Однако на практике чем выше порядок системы, тем реже удается точно вычислять интегралы в (9), что ограничивает применение метода в этом случае. Имеется много других приближенных методов. Например, С. А. Чаплыгин предложил метод, являющийся обобщением алгебраического метода Ньютона на случай дифференциальных уравнений. другой способ обогэденнй метода Ньютона предложил Л. В.
Канторович в 1948 г, В обоих этих методах, так же как и в методе Пикара, итерации выполняются при помощи квадратур. Однако квалратуры в них имеют гораздо более сложный вид, чем (9), и редко берутся в элементарных функциях. Поэтому эти методы почти не применяют. 243 зддхсга коши вместо цепочки последовательно решаемых линейных уравнений (12) возникают цепочки систем линейных дифференциальных уравнений. Однако все выкладки становятея существенно более громоздкими. 5. Метод ломаных. Это простейший численный метод.
В практике вычислений ои употребляется очень редко из-за невысокой точности. Но на его примере удобно пояснить способы построения и исследования численных методов. Рассмотрим задачу Коши (7) и выберем на отрезке 1$, Х1 некоторую сетку (х„, О.«.=л~ггг) значений аргумента так, чтобы выполнялись соотношения $ =хо(хг (хз(... (хм =Х (сетка может быть неравномерной).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
