Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Рассмотрим класс к'„пробных функций заданного вида о„(х; а) =па(х; а„а„..., а„), содержащих п свободных параметров и принадлежащих множеству У„. На этом классе функций рассматриваемый функционал будет функцией п переменных — свободных параметров: Ф [п„(х; а)] = г"„(а) = г"„(а„а„..., а„); (66) численное нахождение минимума функции многих переменных было подробно рассмотрено в предыдущих параграфах. Найдя 227 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА минимум функции г"„(а) и соответствующие ему значения параметров и, мы определим функцию о„(х; а), на которой функционал достигает своего минимума в классе У„.
Можно ли считать найденную функцию о„(х; а) приближенным значением искомого решения у (х)? Чтобы выяснить это, рассмотрим предельныя переход л-а- со. Построим бесконечную последовательность классов функций У„(принадлежащих заданному множеству У) с увеличивающимся числом параметров так, чтобы каждая функция предыдущего класса получалась из функции последующего класса фиксированием некоторого значения последнего параметра: о„,(х; а„а„..., а„,) =о„(х; ам аь, ..., а„,, а„). (67) Тогда каждый класс У„вложен в классы с ббльшим индексом.
Если обозначить через Ф„минимум функционала на этом классе Ф„=Ф[о„(х; а)1= 1пЕФ[о„(х; а)1, Уа (68) то Ф, = Ф, '=- Ф,.= ... ) Ф = 1п1 Ф [у (х)1. Ф[у(х)1=')7'(х, у(х), у'(х), ..., у'е'(х)) дх, (69) а где 7' — непрерывная функция всех своих аргументов. Их можно рассматривать в пространстве Сич с нормой 11у11=шах(~у(х),', 1у'(х)~, ...,', уни(х)1',; тогда непрерывность функционала Очевидна. А в чебышевском пространстве Сип такой функционал уже не будет, вообще говоря, непрерывно зависеть от у(х). Последовательность Ф„ не возрастает и ограничена снизу; значит, она сходится к пределу, который больше или равен Ф. Если 11шФ„=Ф, то последовательность функций о„(х; а), на которых а са достигается минимум функционала в классах У„, называют минимизирующей (или минимизирующей функционал).
Рассмотрим два понятия, нужных для дальнейшего изложения. Будем называть функционал Ф[у(х)1 неирерывным, еслв он непрерывно зависит от у(х), т. е. если фиксировать у(х), то для любого е)0 найдется такое б(е), что при )~у(х) — у(х)1~(б(е) будет выполняться неравенство (Ф[у) — Ф[у) ~ ~з. Очевидно, наличие нли отсутствие этого свойства зависит как от вида функционала, так и от выбора нормы функции. Наприыер, наиболее распространенные функционалы имеют вид 228 ПОИСК МИНИМУМА 1гл. ч!1 Бесконечная система функций заданного вида (о„) называется полной, если при п- оо она может аппроксимировать в данной норме со сколь угодно высокой точностью любую функцию множества У.
Это значит, что для любой заданной функции у(х) ~ У и любого 6 > 0 существует такое 64, что при и > )ч' в классах У„ найдутся функции о„(х), удовлетворяющие условию !! у (х)— — 6„(х) !!(6. Понятие полноты также существенно связано не только с выбором системы о„(х; а), но также с выбором нормы и множества У. Достаточные условия сходимости о„(х; а) искомому решению дает следующая Теорема. а) Если система функций о„(х; а) полная, а функционал Ф [д (х)1 непрерывен, то последовательность о„(х; а) является минимизирующей, б) если требования пункта (а) выполнены и функционал удовлетворяет дополнительному условию Ф[д(х)1 — Ф[д(х))=»сс!!д(х) — у(х)!!а, а, 6>0, (70) то последовательность о„(х, а) сходится к ре1иению у (х) задачи (53).
До к аз а тел ьст во. Поскольку функционал непрерывен, то для искомого решения у(х) задачи (53) и для заданного е найдется такое 6, что если !!у — у!! -6, то е>Ф[у) — Ф[у)~0 (в последнем неравенстве не надо ставить знак модуля, ибо Ф[д1 есть минимальное значение функционала). Но система (о„) полная; следовательно, для функции у (х) и данного 6 существует такое 61, что во всех классах Р4 при п>61 найдутся функции о„(х; а), удовлетворяющие условию !!о„(х; й) — д(х)!!(6. Тогда выполняется неравенство е > Ф [о„(х; а)1 — Ф О. Поскольку Ф„= = ш(Ф[о„(х; а)1, то отсюда следует неравенствое>Ԅ— Ф)0. Оно означает, что !Нп Ф„=Ф, ь со так что первое утверждение теоремы доказано. Применяя к последнему неравенству условие (70), получим !!о„(х, а) — у(х) !! ((е(а)'а, так что второе утверждение теоремы также доказано.
Замечание !. Сходимость о„(х; а)- у(х) доказана в смысле той нормы, которая входила в определения полноты системы функций, непрерывности функционала и условие (70). Пусть в исходных определениях подразумевались разные нормы; в условиях полноты — аппроксимация в !!.!!„ в условии непрерывности функционала — малость !!6д!!, и в условии (70) — неравенство при !! !!м Если существует такая норма !! !!4, которая не сильнее !! !!, и !, )!„но не слабее )! )!м то при переходе к этой норме все не- 229 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА равенства сохранятся*). Тогда из теоремы следует сходимость минимизирующей последовательности в й. й,.
Замечание 2. Пусть функционал Ф)у] определен на множестве У, но при этом известно, что искомое решение принадлежит некоторому подмножеству )го. Например, функционал (64) определен на множестве кусочно-гладких функций, а решение является кусочно-гладкой функцией, удовлетворяющей краевым условиям (63б). В этом случае достаточно искать решение только среди функций подмножества Уе и проверять полноту системы пробных функций (о„', и непрерывность функционала лишь по отношению к этому подмножеству. Это может существенно облегчить решение поставленной задачи. Замечание 3.
Нетрудно доказать, что если функционал непрерывен, то для сходимости последовательности сч (х; а) к р (х) необходимо, чтобы эта последовательность была минимизирующей. 3 а меч а н не 4. Существуют функционалы, для которых последовательности сч(х; а) являются минимизирующими, но при этом ни к какой предельной функции не сходятся. Это нередко встречается в задачах оптимального управления.
Такие задачи относятся к некорректно поставленным и требуют регуляризации. В задачах для конкретных функционалов исследование сходимости сводится к выбору подходящей полной системы функций (и„) и нормы и проверке условий теоремы. Норму обычно выбирают из соображений простоты доказательства, но эта норма не должна быть слишком слабой, иначе результат не будет представлять практической ценности. Метод пробных функций в своей наиболее общей постановке применяется не часто. Если функционал имеет достаточно сложный вид, как в примере (65), или если выбрана система функций п„(х; а), нелинейно зависящих от свободных параметров, то получающаяся при этом функция Е(а) имеет достаточно общий вид.
Обычно ее минимум удается найти численными методами, только если число переменных (свободных параметров) не превышает и 1Π— 20. Такого числа параметров не всегда достаточно, чтобы уверенно констатировать сходилюсть. Поэтому для конкретных функционалов сложного вида обычно стараются исследовать качественный характер решения и выбирают пробные функции с небольпп1м (и 3 — 10) числом параметров так, чтобы по своему качественному поведению — асимптотике, полюсам и т. д. — они были бы близки к искомому решению. Проводят исследование непрерывности функционала и полноты системы.
Затем выполняют расчеты с различным числом *) Нвпочниьь что норма й йг называется более сильной, чем й йе, если для любой допустимой функции у (л) выполняется неравенство 11 у 16 рв зеСй у йт, где С=сопев поиск минимумА 1гл. чп и оа(х; а) =гр, (х)+ ~~ патра(х), а=! (71) то на них квадратичный функционал будет цвадратичной функцией параметров аа. Задача на нахождение минимума квадратичной функции г" (а) посредством дифференцирования по переменным пе сводится к системе алгебраических линейных уравнений; ее нетрудно числе!(Ио решить даже при числе параметров п 100 — 200*). Этот частный случай метода пробных функций называют методом Ритца. Обсудим выбор функций тра(х). Его целесообразно связать с краевыми условиями для задач типа (54), которые обычно линейны. Пусть, для определенности, это условия первого рода у(а) =се, у(Ь) =р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
