Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. все они заданы в разных точках. Сами дополнительные условия могут связывать между собой значения нескольких функций в одной точке (или даже в разных точках); тогда для системы р-го порядка (1) они примут вид ~р„(ит(йА), и,(с,), ..., и (сА)) =11А, 1==й~р, а~$А~Ь. (48) иа отрезке а(х~Ь, в которой дополнительные условия налагаются на значения функций иА(х) более чем в одной точке этого отрезка.
'Очевидно, что краевые задачи возможны для систем порядка не ниже второго. Свое первоначальное название этот тип задач получил по простейшим случаям, когда часть дополнительных условий задается на одном конце отрезка, а остальная часть — на другом (т. е. только в точках х=а и х=Ь). Примером является задача нахождения статического прогиба и(х) нагруженной струны с закрепленными концами 2Е2 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГГЛ.
Ч!П Существуют задачи с еще более сложными по форме дополнительными условиями, например, условиями нормировки ь ) иА (х) Г(х = 1, ° а (49) и'(х) =г(х, и, н), о'(х)=д(х, и, о), а~ х =Ь, (50а) гр (и (а), о Га)) = О, ф (и (Ь), о (Ь)) = О. (50б) Выберем произвольно значение и(а) =тГ, рассмотрим левое краевое условие как алгебраическое уравнение гр(н, о(а)) = 0 и определим удовлетворяющее ему значение о(а) =1(П).
Возьмем значения и(а) =П, о(а) =~ в качестве начальных условий задачи Коши для системы (50а) и проинтегрируем эту задачу Коши обычными в квантовой механике, и т. д. Несмотря на разнообразие форм краевых условий, краевые задачи решаются в основном одними н теми же численными методами, что оправдывает их обьединение в один тип. Остановимся на методах решения. Найти точное решение краевой задачи в элементарных функциях удается редко: для этого надо найти общее решение системы (!) и суметь явно определить из краевых условий значения входящих в него постоянных. К приближенным методам решения краевых задач относятся разложение в ряды Фурье, методы Ритца и Галеркнна. Ряды Фурье применяют к линейным задачам; этот метод излагается в курсах математической физики (см.
12, 40]) н здесь рассматриваться не будет. Остальные два метода применимы и к некоторым нелинейным задачам. Метод Ритца разбирался в главе УН, а метод Галеркина будет рассмотрен в этом параграфе. Для численного решения краевых задач применяют метод стрельбы н разностный метод. Метод стрельбы основан на сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы уравнений. В разпостном методе задача приближенно заменяется решением алгебраической системы уравнений с очень большим числом неизвестных (неизвестными являются значения решения в узлах сетки). В случае нелинейных задач оба метода являются итерационными; при этом построение хорошо сходящихся итерационных процессов само оказывается достаточно сложным. 2.
Метод стрельбы (называемый также баллистическим). Это численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче КОГни для той же системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим его на примере простейшей задачи для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями достаточно общего вида 263 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ любым численным методом (например, по схемам Рунге — Кутта).
При этом получим решение и(х; тй, п(х; т!), зависящее от т), как от параметра. Значение ~ выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию (50б). Однако правому краевому условию это решение, вообще говоря, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть правого краевого условия, рассматриваемая как некоторая функция параметра т): ф (Ч) = «Р (и (Ь; В) о (Ь; т!) ), (5 1) не обратится в нуль. Надо каким-либо способом менять параметр В, пока не подберем такое значение, для которого гр(т)) -0 с требуемой точностью. Таким образом, решение краевой задачи (50) сводится к нахождению корня одного алгебраического уравнения 'р(п) =0 (52) ди(х; Ч! см (х; т!) д ' ('ч) д г! ч (54) *) Это следует из теорем о зависимости решения задач Коши от параметра (см.(37)!. Эта алгебраическая задача изучена в главе Ч, 2 2.
Рассмотрим, какие методы ее решения целесообразно применять в данном случае. Простейшим является лгепид дихопюмии. Делают пробные «выстрелы» — расчеты с наудачу выбранными значениями т)ь до тех пор, пока среди величин ф(тй) не окажется разных по знаку. Пара таких значений т)ь т)т«т образует «вилку». Деля ее последовательно пополам до получения нужной точности, производим «пристрелку» параметра тр Благодаря этому процессу весь метод получил название стрельбы. Однако нахождение каждого нового значения функции ф(т)) требует численного интегрирования системы (50а), т. е. достаточно трудоемко. Поэтому корень уравнения (52) желательно находить более быстрым .методом, чем дихотомия.
Если правые части уравнений (50а) и левые части краевых услоний (50б) имеют непрерывные и ограниченные первые производные, то ф(т!) также будет иметь непрерывную производную*). В »том случае можно построить аналог мелгода Оьюлюна. Нам пока известен только способ вычисления ф (Ч), а нужна научиться определять также производную дф(Ч) дф ди (Ь; т!) дф гЪ (Ь; Ч) дт! ди (Ь) дя ди (Ь) дп Входящие сюда производные по параметру от решения задачи Коши можно найти, если продифференцировать по »гому параметру систему (50а). Вводя обозначения 264 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.
УН1 н дифференцируя (50а) по параметру, получим ер [и (х и о) 11 (х) +[а (х и о) т (х) (55а) †„ — = йа (х, и, о) р (х) +а„ (х, и, о) т (х), а = х - Ь Одно нз начальных условна ддн этой системы очевидно: р(и)р Ви(и)[дч=[; второе условие нетрудно найти, дифференцируя левое краевое условие (506) по Ч. Отсюда получим р (и) = 1, т (и) = — Чзи (Ч, Ь)/фа (Ч, Г). (55б) Интегрируя систему' (55а) с начальнымн условиямн (55б) совместно с задачей Коши для системы (50а), определим вспомогательные функции р(х), т(х). Подставляя нх значения прн х=Ь в (53), найдем значение производной правого краевого условия по пристрелочному параметру. Новое зваченне параметра определяется по формуле касательных (5.28); Ч5 г1 Ч5 сф (Чю))ф (Чт)з' (55) Однако описанный способ требует интегрировании лишней пары дифференциальных уравнений, что приводит к усложнению н двукратному увелнчеаню трудоемкости каждой итерации.
Поэтому нм пользуются не часто. Можно избежать этого усложнения, если решать уравнение (52) разностным аналогом метода Ньютона — мепюдом секущих. Для этого первые два расчета делают с наудачу выбранными значениями Ч„Ч„а следующие значения параметра вычисляют по формуле (5.32): (Ч вЂ” Ч-)ф(тн) (57) 'Р (Ч ) — ф (Ч.-1) Вместо этого процесса можно использовать мепюд парабол, в котором также не требуется располагать явным выражением производных, а достаточно лишь знать об их существовании. Напомним, что последние трн метода быстро сходятся вблизи корня; сходимость вдали от корня зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.
Линейные задач н решаются методом стрельбы особенно просто. Пусть система (50а) и краевые условия (50б) линейны; и' (х) = ест (х) и + рт (х) о+ у, (х), а( х ( 5, (58а) о' (х) =а,(х) и+не(х) о+уз (х), п,и (а) (- ото (а) = г реи (Ь) + део (Ь) = га (585) Тогда начальные условия соответствующей задачи Коши примут внд и (а) = Ч, о (а) = ь = (гт — РХЧ))01. (58в) Нетрудно сообразить, что решение задачи Коши (58а), (58в) будет линейно зависеть от параметра Ч, поэтому тР (Ч) также КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ будет линейной функцией. Но линейная функция одного аргумента полностью определяется своими значениями в любых двух точках т(о и Пм а ее график является прямой, т.
е. совпадает со своей секущей. Значит, найденное по формуле секущих (57) значение а), является точным корнем уравнения (52), так что расчет с этим значением параметра даст искомое решение. Таким образом, для решения линейной краевой задачи (58а) — (58б) достаточно трижды решить задачу Коши. Замечание. Для линейных задач можно несколько уменьшить объем расчетов, если воспользоваться тем, что общее решение линейной неоднородной системы равно сумме ее какого-нибудь частного решения н общего решения соответствующей однородной системы. Найдем частное решение неоднородной системы (58а), (58в), соответствующее значению а),=0, и обозначвм его через и (х), о, (х).
Затем рассмотрим соответствующую однородную задачу Коши и' (х) = аа (х) и + (3, (х) о, о' (х) = а, (х) и + ()а (х) о, и (а) = а), = 1, о (и) = — РЯа', вычислим ее решение и обозначим его через и,(х), о, (х). Тогда общее решение неоднородной задачи Коши, удовлетворяющее (в силу выбора начальных условий) левому краевому условию (586), является однопараметрическим семейством и (х) = и, (х) + си, (х), о (х) = о, (х) + со, (х). (59) Значение параметра с выбираем так, чтобы удовлетворить правому краевому условию (58б); „, Раио (")+ а)аоо (Ь) аа Р о (Ь) + Час (Ь) Затем найдем искомое решение по формуле (59), что позволяет избежать третьего интегрирования задачи Коши. Метод стрельбы прост, применим как к линейным, так и к нелинейным задачам и позволяет использовать при численном интегрировании схемы Рунге — Кутта (или другие) высокого порядка точности. К большинству задач типа (50) он применяется успешно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
