Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Интерполируем это решение на следующей сетке и т. д. Общий объем расчетов при этом невелик и примерно эквивалентен 5 — 8 итерациям последней сетки. 275 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В заключение разностное решение на всех сетках уточним по рекуррентному правилу Рунге. Это настолько повышает точность, что даже в сложных задачах позволяет ограничиться небольшим числом интервалов последней сетки (А! =- 32 — 126). Если проводится серия расчетов при варьировании параметров исходной задачи, то целесообразно результат расчета одного варианта брать в качестве нулевого приближения для первой сетки следующего варианта. Рассмотрим некоторые другие усложнения задачи. 1) Сетка может быть н е р а в н о м е р н о й. В этом случае надо использовать соответствующую аппроксимацию производных, например, ил — ил, '! Хл хл-! х т — хл., !хл,— х„ Напомним, что эта аппроксимация имеет погрешность 0()>з) на квазиравномерных сетках и 0()>) на произвольных сетках.
Исследование разностной схемы (71), проведенное выше, легко обобщается на случай неравномерной сетки. 2) Можно использовать аппроксимации, явно учитывающие вид общего решения исходного дифференциального уравнения; при этом получаются с п- ециаль схемы (см, й 1, п.э). Составим, например, для задачи (64) с Р(х) ~0 такую схему, чтобы она была точна при р=-сопл!, 7'(х)=сапа!. При этом ограничении общее решение уравнения (64а) имеет вид й (х) = — ~-+ А мп (Р' ! Р ! х) -1- В соз (1' ! р ! х), ) где А,  — произвольные постоянные.
Легко проверить, что нз равномерной сетке подстановка этого решения в разностную схему ул-> — 2ул соз (й 1' — рп) + упы = 2)л11 — о>з (Ь р — рл)1 1 ея л =-" А> — 1 (80) (краевые условия учитываются аналогично (71)) дает тождества. Следовательно, эта схема точна в указанном смысле. Она позволяет получать хорошую точность расчета быстро осциллирующих решений да>ко на грубой сетке, если р (х) и ) (х) являются медленна меняющимися функциями. Однако заметим, что применять правило Рунге для уточнения разностных решений, полученных по"схемам типа (80), можно не всегда. Причина этого была подробно рассмотрена в связи с форыулами Филона (глава 1>7, й 2, п.
3). 3) Дифференциальное уравнение может иметь более высок и й п о р я д о к. Аппроксимация старших производных требует большего числа узлов, и каждое уравнение типа (71) или (66а) будет содержать соответственно большее число неизвестных. Поэтому д>(я решения алгебраической линейной (или линеаризованной) системы вместо алгебраической прогонки надо использовать несколько более трудоемкие способы, Но принципиальных осложнений это не вызывает. йв ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.
УН1 4) Возможны более сложные краевые условия. Рассмотрим, например, нелинейное условие третьего рода и' (а) = 1р (и (а)). (81) Если подставить в него аппроксимацию и;~(и, — иО)/Й, то ее погрешность 0(й) велика, что ухудшает общую точность расчета. Чтобы записать разностное краевое условие повышенной точности, рассмотрим формулу Тейлора и (х,) = и (ха) +Ьи' (х,) + — л'и" (х,)+... и на основании уравнения (70) положим и" (х,)=1(х„иО), а из краевого условия (81) возьмем и'(х,) = 1р(и,).
Тогда получим ! А 11 (У1 УО) ~Р(УО)+ й 1 (АО УО)' (82) Другие способы аппроксимации краевых условий будут рассмотрены в главе 1Х. Подведем итоги. Разностныйметодимеет своитрудности, связанные в основном с решением алгебраической системы уравнений. Однако эти трудности успешно преодолеваются. Метод естественно переносится на уравнения высокого порядка, причем трудоемкость вычислений почти не возрастает. Его численная устойчивость обычно хорошая.
Поэтому для уравнений второго порядка разностный метод успешно конкурирует с методом стрельбы, а для уравнений более высокого порядка, особенно при сложной постановке краевых условий, оказывается выгоднее стрельбы. 6. Метод Галеркина. Краевая задача для уравнения А (и (х)) =- = О сводилась в главе у'П, 8 4 к отысканию минимума функционала типа (Аи, Аи) или (и, Аи). Затем решение и(х) приближенно заменялось отрезком разложения по некоторой полной системе функций, а коэффициенты разложения находились из условия минимума функционала. Этот способ для функционалов первого типа называют методом наименьших квадратов, а для второго — методом Ритца. Метод наименьших квадратов неудобен тем, что под интегралом возникают квадраты старших производных, входя цих в оператор А, и вычисления становятся громоздкими.
Метод Ритца имеет тот недостаток, что не для всякого оператора А удается найти эквивалентный функционал (обычно нужна самосопряженность оператора). Более удобен на практике метод Б. Г. Галер- кина (или Бубнова — Галеркина), свободный от этих недостатков. Изложим этот метод. Пусть дано уравнение с некоторыми краевыми условиями (для определенности — первого рода) А (и (х)) =1(х), а~х Ь, и(а) =а, и(Ь) =р. (83) 277 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ам Как и в методе Ритца (см.
главу 1ГП, 2 4, п. 3), будем искать приближенное решение в виде суммы и и (х) — у„(х) = ф, (х) +,т, сьфь (х), где гр, (х) — некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (83), а грь(х), 1 =.й оо,— какая-то система линейно-независимых функций, полная в классе непрерывных функций, определенных на отрезке (а, Ь1 и обращающихся в нуль на его концах. Докажем, что если для некоторой функции Р(х) и полной системы функций фь (х) выполняется соотношение ь (Г(х)фь(х)с(Х=О при 1(й(со, л то Р(х) = — О на (а, Ь).
Для этого из полной системы грь(х) последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему т(гь (х). Очевидно, тогда фь (Х) =,Р, 1ья!т(Ая (Х) т= 1 причем ГААФО, иначе ф„(х) были бы линейно-зависимы. Разлагая по новой системе Е (х) = )', угфг(х), г=! придем к соотношению О =-)г (х) фь(х)дх= ~ у„ДА — — О, 1=1, 2, Полагая 2=1, получим 7,=0. Полагая а=2, получим у,= О и т. д. Следовательно, все Т,=О и г(х)=О. Отметим, что если исходная система фь (х) уже ортогоиальна, то доказательство становится тривиальным.
Таким образом, если бы мы нашли такую функцию и(х), чтобы А (и(х)) — ((х) было ортогонально <рь(х) при любых /г-" 1, то это означало бы, что А (и(х)) =((х) и задача (83) была бы решена "). Если же ортогоиальность есть только при й(п, то в разложе- ') Ортогональности А (и) — / к фа(х) не требуется, ибо !р,(х) не входит в полную систеиу 4!ункций фь(с), 27В овыкноввнные диафвганцилльныа эилвияния 1гл шп ние А (и) — 7 по фл (х) входят у„„и более старшие коэффициенты, т. е. А (и) — 7.
Возьмем вместо и(х) приближенное решение в форме (84) и потребуем, чтобы и ~ 1А (У„(х)) — ((х))сРл(х) ох=О, 1=-.й(п. (85) а Это дает нам алгебраическую систему для определения коэффициентов см Найдя из иее коэффициенты, получим приближенное решение (84). В этом и заключается метод Галеркииа. Вопрос об условиях сходимости у„(х) при л- са к точному решению и о скорости сходимости здесь не рассматривается. Если оператор А (н) нелинейный, то система (85) тоже будет нелинейной.
При этом больше чем 3 — 4 коэффициента трудно найти. Если же оператор линейный, то алгебраическая система (85) линейна и можно решать задачу с большим числом коэффициентов. Отметим, что для линейных уравнений второго порядка метод Галеркина приводит точно к тем же уравнениям, что и метод Ритца. Пример. Рассмотрим задачу (69). Положим ~р (х)=0 и выберем полную систему функций срл(х) =х'((я!2) — х), 1 =.Й(оо. Тогда, если ограничиться одним членом суммы (84), то легко получить, что с = 5п!(40 — пи) 0,521, и = 1. Если возьмем два члена суммы, то получим с, 0815, си, 0377, л=2. Соответствующие приближенные решения, вычисленные в нескольких точках отрезка, приведены в таблице 21; для сравнения там же дано точное решение. Таблица 21 Хотя в этой задаче решение является плавно меняющейся функцией, метод Галеркина при небольшом числе членов дает неважные результаты. Обратим внимание на то, что при увеличении п не только добавляются новые коэффициенты, но и меняются старые, что не очень удобно.
Легко заметить, что если задача линейная, а система грл(х) ортогональная, то уже найденные с„не будут меняться при увеличении п. Поэтому ортогональные системы обычно удобнее неортогональных. Метод Галеркина для нелинейных задач используют лишь для нахождения грубого приближения; для линейных задач им можно 5 2! КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ найти решение с хорошей точностью. Результат очень чувствителен к тому, насколько удачно выбрана система функций грА(х) для данной задачи. Отметим также, что при нелинейном краевом условии вида, например, и' (а) = п(и (а)) линейная комбинация (84) с произвольными коэффициентами ЕА уже не будет удовлетворять этому краевому условию.
Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными (относительно и(х) и ее производных) краевыми условиями, хотя допустйм и нелинейный оператор А (и). 7. Разрывные коэффициенты. Во всех предыдущих пунктах явно или неявно предполагалось, что правые части рассматриваемых дифференциальных уравнений непрерывны вместе с некоторым числом своих производных. Однако в задачах о слоистых средах коэффициенты уравнений (коэффициентами являются различные свойства вещества — плотность, теплопроводность, упругость и т. д,) обычно разрывны на границах раздела двух сред, т.
е. во внутренних точках (а, (2). Бегло рассмотрим, как переносятся на этот случай развитые выше методы. Сделаем это на примере уравнения ,—, ~й (х) -,—,"~ — д (х) и (х) = г (х). (86а) Сначала обсудим характер решения. Если д(х) нли Г(х) кусочно- непрерывны, то и" (х) также лишь кусочно-непрерывна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
