Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 63
Текст из файла (страница 63)
За меча н ие 3. Для преодоления последнего недостатка предложена замена функций, несколько более сложная, чем (89), но зато делаюшая ~р (х) монотонной функцией. При этом стрельба с использованием метода Ньютона сходится за небольшое число итераций. 4. Разностный метод обычно используется в тех случаях, когда стрельба оказывается многопараметрической, илн если задача Коши для исходного дифференциального уравнения плохо обусловлена. Формулируется он так же, как для краевых задач.
Введем на 1а, Ь'1 сетку (х„, О ~ и ( [1[) и заменим в исходной задаче все производные некоторыми разностными соотношениями. Тогда вместо дифференциального уравнения и краевых условий получим систему алгебраических уравнений Г'А(хо х„.. хл', до д1 ° ° д,ч' Л) =-О, О =- й- [[[-+ 1 (93) (для простоты записи мы ограничиваемся случаем одного собственного значения). Эта система содержит [1[+2 уравнения, и из нее надо определить такое же число неизвестных: )., д„д„..., дА. Возникают те же вопросы, что и в краевых задачах. Имеет ли алгебраическая система (93) решение? Если имеет, то как его фактически вычислить? Если разностиое решение найдено, то насколько оно близко к точному решению? Сейчас мы рассмотрим линейные задачи, для которых на эти вопросы ответить легче.
Пусть исходная задача является линейной и однородной относительно и (х), как, например, задача (88). Воспользуемся линейными разностными аппроксимациями производных. Тогда система (93) будет относительно д„линейной однородной, т. е. это будет алгебраическая задача на собственные значения матрицы. Так, для задачи (88) при простейших аппроксимациях на равномерной сетке получим систему 1 — — [[р„)д„,— (2 — [[од„— Х[[') д„+~1+ -[[р„[ д„,,=О, ( -)- [ ! 1 1 = п~й[ — 1, (94) где до = дм= О в силу краевых условий. Эта система содержит [1[ — 1 уравнение; из иее надо определить Х, д„ д„ " , дА-Е. задачи на сонствгнные значения з з] Задача (94) имеет спектр собственных значений, состоящий из Ж вЂ” 1 числа (по порядку матрицы).
Первые собственные значения являются приближениями к первым собственным значениям Х из дискретного спектра исходной задачи (88). Если разностная схема составлена так, что матрица алгебраической системы (93) является эрмитовой, то приближенные собственные значения будут вещественными. Собственные значения и собственные векторы линейной системы (93) вычисляют методами, описанными в главе Ч1. Поскольку во многих приложениях матрица системы трехдиагональиая (реже — пятидиагональная), а нужны только несколько первых собственных. значений, то выгодно применять метод Дервюдье (см. главу У1, ч 4, п.
2). При небольшом числе интервалов сетки удобно также находить корни характеристического много- члена методом парабол, вычисляя сам многочлен по рекуррентиым соотношениям (см. главу Ч[, 9 1, п. 4). Сходи масть разностного решения к точному при Ь-~-О хорошо исследована только для задач Штурма — Лиувилля *) — ( й (х) †, 1 + [).г (х) — д (х)1 и (х) = О, и (а) = и (Ь) = О. Оказывается, что простейшая схема (94) дает не очень хорошие, а при разрывных коэффициентах — даже неверные результаты. Следует составлять консервативные разностные схемы (они будут подробно рассмотрены в главах Х и Х1).
Если коэффициенты уравнения непрерывны вместе со своими вторыми производными, то простейшие консервативные схемы обеспечивают равномерную сходимость у„к и(х) с погрешностью 0(6а). Так называемая наилучшая консервативная схема обеспечивает погрешность 0(6а) даже при коэффициентах, кусочно-непрерывных со своими вторыми производными, если выбраны специальныг разностные,сетки (в которых эти точки разрыва являются узлами). П р и лз е р. Рассмотрим частный случай задачи Штурма — Лиувилля ин (х) + Ли (х) = О, и (О) = и (1) =- О. (95) Точное решение этой задачи есть )с =пенза, и (х) = а[пптх, т=1, 2, ...; оно нужно для сравнения с численными расчетами.
Простейшей разностпой схемой для этой задачи является схема (94), в которой надо положить р„=-4„=0. Эта схема имеет второй порядок точности. Выполняя расчеты для сеток с числом интервалов М = 2, 3, 4, приближенно определим три первых собственных значения. ") Это исследование и доказательства приведенных ниже утверждений см. в [301, 286 овыкнованныя диээвгвнциальныв ииавивння 1гл. чш Они представлены в таблице 22 вместе с точными значениями Х„.
Из таблицы видно, что с малой погрешностью определяются только те собственные значения, номер которых заметно меньше о'. При сгущении сетки приближенные значения быстро стремятся к точным. Очень эффективным оказывается уточнение по правилу Рунге — Ромберга, также приведенное в таблице; уточнение ) по двум сеткам дает неплохую точность, а уточнение Х, по трем сеткам — отличную.
Таблица 22 На этом примере хорошо видно, что сочетание схемы невысокого (обычно второго) порядка точности с правилом Рунге выгодно: оно обеспечивает высокую точность расчета при несложном алгоритме. Схемы высокого порядка точности обычно довольно громоздки, и организация расчета по ним сложнее. 5. Метод дополненного вектора. Для разностного метода, особенно в случае сложных нелинейных задач, важным и трудным является вопрос о фактическом вычислении разностного решения, ибо алгебраическая система (93) имеет заведомо высокий порядок.
Для многих задач удобно находить зто решение методом дополненного вектора. Изложим этот метод. Заметим сначала, что метод стрельбы (и многие конкретные разностные алгоритмы) можно схематически описать следующим образом. Выбирается некоторое приближение Х">; затем вычисляется соответствующее ему приближение у'" (х).
По этой функции находится новое приближение )."> и т. д. При этом собственное значение и собственная функция считаются элемензами разных метрических пространств. Будем рассуждать иначе. Разностную собственную функцию у=(у„р, ..., ун) можно считать вектором в (У+!)-мерном пространстве. Увеличивая размерность пространства на единицу, рассмотрим собственное значение как новую компоненту этого вектора, уна,= — ).. Новый вектор $'=-(уа, у„..., ун, ун.,) назовем дополненным.
Относительно компонент дополненного вектора алгебраическая система (93) перепишется в каноническом виде Ра(Уа Уа Ун Ун а)=0 0---;й(У+1 (96) Эта система нелинейна, даже если исходная задача была линейной относительно и (х), как в примере (88). 287 ЗАДАЧИ НА СОЬСТВЕННЪ!Е ЗНАЧЕНИЯ Решать систему (96) будел| методом Ньютона.
Линеаризуя (96), получим на каждой итерации систему уравнений Аг-Ьг Р г~ь(к"')банг' = — Е (х'го), ()=(с=й +1, (97) р=о аур линейную относительно приращений неизвестных бргз1 = у|мыл — у|о. Р Р Р Если искомое решение алгебраической системы (96) не особенное, т. е. в нем де1 (дтсуд)г) ФО, то при не слишком плохом нулевом приближении итерации (97) быстро сходятся к разностному решению.
Отметим, что для линейных задач на собственныс значения этот итерационный процесс совпадает с методом Дервюдье (см. главу У1, З 4, п. 2). Удовлетворительное нулевое приближение для итераций (97) можно найти приближенными методами (метод Галеркина, разложение по малому параметру и т. д.), а в прикладных задачах его нередко удается получить из качественных соображений. Исключительно эффективна в таких задачах комплекемал оуганизаг(ил расчета, подробно описанная в Э 2, п. 5. Замечание !. Метод дополненного вектора особенно полезен для уравнений, у которых задача Коши плохо обусловлена: он подавляет такую неустойчивость. Замечание 2.
Метод легко переносится на более общие задачи вида А (и (х), )) =- О, где оператор А может быть интегродифферснциальпым (краевые условия предполагаются включенными в определение оператора). Вводя сетку х„и аппроксимируя разностными выражениями все производные и интегралы, входящие в оператор, получим алгебраическую систему (96) и решим ее итерационным процессом (97) *). Замечание 3. Недостатком метода является то, что при неудачном выборе нулевого приближения итерации (97) могут не сойтись, или в задачах со спектром собственных значений итерации могут сойтись не к искомому собственному значению.
Замечание 4. В методе дополненного вектора требуется решать систему линейных уравнений (97). Это легко делать, только если матрица системы целиком помещается в оперативной памяти ЭВМ (например, на БЭСМ-6 это будет при числе неизвестных Ж (160). Зто приводит к ограничению допустимого числа интервалов сетки. Если требуется решить задачу для системы большого числа днфференни. альных уравнений (напрнмер, уравнения Хартрн — Фока для многозлектрон. ного атома), то даже при довольно грубой сетке число узловых значений *) Здесь обсуждается только вопрос о вычислении разносгного решения Вопрос о его сходимости к точному решению при А О надо рассматривать отдельно; он связан со свойствами оператора А и выбором аппроксимации. 286 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДНФФЕРЕНЦИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.
УП1 всех функций будет велико, и метод дополненного вектора применять трудно. В подобных задачах успешно применяется так называемый нвлрврывныа аналог метода Ньютона, имеющий линейную сходимость итераций, но зато позволяющий оперировать с очень большим числом неизвестных. Этот метод является специальным вариантом метода последовательных приближений, организованным так, что итерации всегда сходятся. 6. Метод Галеркина. Многие приближенные методы пригодны для нахождения собственных значений и собственных функций задач, у которых краевые условия линейны относительно функции и ее производных. Среди этих методов к наиболее простым вычислениям приводит метод Галеркнна.
Метод формулируется почти так же, как для краевых задач. Ищем решение задачи А (и(х), Л) =1(х) в виде линейной комбинации отрезка полной системы функций рь(х), Й=-1: и и (х) — У, (х) = гРо (х) + 'У, 'сь1Рь (х), а ==. х ==. Ь, (98) а=1 выбранной так, чтобы удовлетворялись краевые условия. Потребуем, чтобы выполнялись условия ортогональности ь ~!А (у„(х), Л) — р(х)1грь(х)Их=0, 1=й(У. (99) а Эти условия образуют алгебраическую систему и уравнений с и + 1 неизвестным с„с„..., с„, Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
