Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Недостающее уравнение надо полу.чить из одного из краевых условий. По тем же соображениям, что и в краевых задачах, удобнее пользоватьсЯ оРтогональными системами фУнкций 91ь (х). В линейных задачах вычисления при этом заметно упрощаются. Пример. Рассмотрим задачу (95) и" (х)+Ли(х) =О, и(0) =и(1) =0 и воспользуемся полной системой многочленов грь(х) =ха(1 — х), которые заметно отличаются от точного решения зцдачи. Одним из дополнительных условий является условие нормировки реше- ния. Благодаря линейности задачи его можно формулировать разными способами; для удобства вычислений зададим его в форме у„(0) =1, что означает г,=1, Тогда, полагая п= 1 и 2, легко получим первые приближения п=1, Л' =10, у'(х)=х(1 — х), Л1 = 1 О, у' = х (1 — х), и=2, 11 Лн =21, ун =х(1 — х) — — — х'(1 — х).
13 Первое собственное значение определилось с хорошей точностью, второе — с много худшей. ЗАДАЧИ Методом Галеркина можно довольно хорошо находить наименьшие собственные значения. Но точность определения собственных функций обычно заметно хуже. Обоснование метода Галеркина сложно. В частном случае, если дифференциальный оператор А линеек и однороден относительно и (х), система (99) является задачей на определение собственных значений матрицы. Для задачи Штурма †Лиувил метод Галеркина приводит к тем же самым алгебраическим уравнениям, что и метод Ритца (сходнмость которого в задачах Штурма — Лиувилля доказана). ЗАДА ЧР! 1. Доказать теорему о сходимости метода Пикара, сформулированную в$!,п.з. 2. Вывести оценку (!О) скорости сходимостн метода Пикара.
3. В методе малого параметра вывести формулы для коэффициентов сел и функций о„(х) в уравнениях (12). 4. Найтй првближенное решение уравнения (3) методом малого пара. метра. 5. Для системы двух уравнений (25) написать схемы Рунге — Кутта второго порядка точности, аналогичные (22) и (23). 6.
Для уравнения химического распада (34) составить схемы Рунге — Кутта второго и четвертого порядка точности и выяснить ограничения на шаг в этих схемах, следующие из положительности решения. 7. Составить для уравнения хил~ического распада (34) спецвальную схему интегрирования по третьему способу из $ 1, п. 8.
8. Вычисляя в (4!) ингеграл от второго слагаемого по формуле трапеций, получить неявную специальную схему; исследовать ее точность и найти ограничение на шаг сетки. 9. Написать формулы метода стрельбы применительно к краевой задаче (46) для одного дифференциального уравнения второго порядка. 1О. Составить формулы метода Ньютона для нахождения корне уравнения (62б), возникающего прн решении краевой задачи (60) методом стрельбы. 11. Решить краевую задачу (69) мегодоч Галеркина, выбрав ортогональную систему функций фь (х)= ми 2ях; сравнить результат с примером, приведенным в42,п.б.
12. Для итерационного процесса при решении задачи на собственные значения (87) баллистическим методом составить а) формулы методр секущих, б) формулы метода Ньютона. 13. Для задачи на собственные значення (93) найти разностным методом при А!=2 и А!=4 первую собственную функцию и уточнить ее-по правилу Рунге; ответ сравнить с точным решением. ГЛАВА 1Х УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В главе 1Х рассмотрены методы численного решения задач для уравнений в частных производных. В 1 1 обсуждены некоторые постановки задач н дан обзор методов, которыми решаются подобные задачи.
Остальные параграфы содержат изложение основ наиболее широко применяемого и хорошо изученного метода — разностного. В $ 2 рассмотрены способы построения разностных схем и введено понятие аппроксимации. В 1 3 даны методы исследования устойчивости разностных схем. В 1 4 доказаны основные теоремы о сходимости разностного решения к точному. В 1. Введение 1. О постановках задач. Движение систем малого числа частиц математически описывают, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если же число частиц очень велико, то следить за движением отдельных частиц практически невозможно. При этом удобнее рассматривать систему частиц как сплошную среду, характеризуя ее состояние средними величинами: плотностью, температурой в данной точке и т.
д. Математические модели сплошной среды приводят к уравнениям в частных производных, которым удовлетворяют упомянутые средние величины. Например, изменение температуры в неподвижном теле описывается уравнением теплопроводности с(и, Г, 1) — -=Йц[Й(и, Г, 1) ягас( и1+у(и, Г, 1), (1) где и — температура, с в теплоемкость, Й вЂ” коэффициент теплопроводности и д — плотность источников тепла. К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, переноса излучения, распространения нейтронов, теории упругости, электромагнитных полей, процессов переноса в газах, квантовой механики и многие другие.
Независимыми переменными в физических задачах обычно являются время 1 и координаты г; бывают и другие переменные, например, скорости частиц е в задачах переноса. Решение требуется найти в некоторой области изменения независимых пере- 291 введзнив менных 6 (1, г, е, ...). Полная математическая постановка задачи содержит дифференциальное уравнение, а также дополнительные условия, позволяющие выделить единственное решение среди семейства решений дифференциального уравнения. Дополнительные условия обычно задаются на границе области 6. Если одной из переменных является г, то чаще всего рассматривают области вида 6(1, г, ...)=д(г, ...)х[1„Т1, (2) т. е.
решение ищут в некоторой пространственной области д (г, ...) на отрезке времени гь~1~Т. В этом случае дополнительные условия, заданные при 1= г„называют начальными, а дополнительные условия, заданные на границе Г(г) области а(г), — граничными или краевыми. Задачу, у которой имеются только начальные условия, называют задачей Коши. Например, для уравнения теплопроводности (1) в неограниченном пространстве можно поставить задачу с начальными условиями и (г, 1,) = )ь (г). (3) Если (ь (г) — кусочно-непрерывная ограниченная функция, то решение задачи (1), (3) единственно в классе ограниченных функций (при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения; см. [401). Задачу с начальными и граничными условиями называют смешанной краевой задачей или неетаь(ионарной краевой задачей. Для уравнения (1) дополнительные условия такой задачи могут иметь, например, вид и(г, (ь)=)ь(г), г~д(г), и(г, 1)г=р,(г, 1), гь~.1=Т.
(4) Для этого уравнения допустимы и другие граничные условия, например, содержащие нормальную производную решения. Встречаются задачи, в которых область 6(1, г) имеет другой вид. Примером является задача с условиями на характеристиках (см. [401), возникающая при изучении процессов сушки, сорбции газов и многих других, При исследовании установившихся состояний или стационарных (не зависящих от времени) процессов в сплошной среде формулируются математические задачи, не зависящие от времени.
Их решение ищется в области д (г), а дополнительные условия являются граничными. Такие задачи называют краевыми. Мы ограничимся рассмотрением корректно поставленных задач, когда для некоторого класса начальных и граничных данных решение (в заданном классе функций) существует, единственно и непрерывно зависит от этих данных. Будем также предполагать, что решение непрерывно зависит от всех коэффициентов уравнения, 292 уРАВнения В чАстных пРОизВОдных !Гл.
!х Для уравнений в частных производных существуют физически интересные задачи, являющиеся некорректно поставленными: обратные задачи теплопроводности, задачи на развитие неустойчивостей и другие. Так, рассмотренный в главе 1 пример Адамара связан с возникновением репей-тейлоровской неустойчивости, когда слой тяжелой жидкости налит поверх слоя легкой жидкости. Но здесь мы такие задачи не будем рассматривать (см. (39! и приведенную там библиографию). В этой главе излагаются методы численного решения уравнений в частных производных и способы обоснования этих методов. Они применимы к широким классам уравнений и различным типам задач для них. Но примеры, иллюстрирующие изложение и конкретные применения этих методов, рассмотренные в главах Х вЂ” Х!! ), касаются наиболее распространенных и хорошо изученных задач для уравнений первого и второго порядков, линейных относительно производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
