Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 68
Текст из файла (страница 68)
53: ! - ° Л л1 !3 2!2'1 2т (Уп+Уп-2) (Зс+ Ап/ (Ул-1+Упп2)+(41 Лп) Ул. (29) УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. 1х в этих узлах нетрудно написать разностные уравнения (17)1 и лог Уо = К ((т), УА1 = Рг (Ге) которые являются точными (их невязка равна нулю). Более сложен случай второй краевой задачи для того же уравнения (дальше будем рассматривать только левое условие): ти и-т и„(0, ()=р,((), и,(а,()=р,(().
(30) Можно аппроксимировать производную односторонней разностью: Л (У1 Уо) = Р1(гто1). (31) Однако невязка этого разностного уравнения равна 1 . Ь оро = (й„) о — — „(й, — й,) = — — и„= 0 (й), (32) т. е. имеет меньший порядок малости, чем невязка (25) в регулярных узлах. Это приводит к понижению общей точности расчета. Рассмотрим способы написания разностного краевого условия нормальной точности 0 (Ло). Сделаем это на примере явной схемы (18). С п о с о б ф и к т и в н ы х т о ч е к очень нагляден. Введем вне отрезка 0 =хк-а фиктивную точку х,=х,— й и будем считать исходное уравнение справедливым прн х 1~х.
Тогда разностное Возможны случаи, когда часть коэффициентов схемы типа (28) определяют из условия наивысшего порядка малости невязки, а часть коэффициентов выбирают из других соображений. Метод неопределенных коэффициентов (как и метод разностной аппроксимации) применйм к уравнениям с непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми коэффициентами и решениями.
Из-за сравнительной громоздкости он применяется реже двух ранее описанных методов. К р а е в ы е у с л о в и я. Остановимся на записи разностной схемы в нерегулярных узлах (на границе илн вблизи нее). В этих узлах для записи разностных уравнений необходимо привлекать краевые условия. Например, в разностных схемах (16) и (18) для уравнения теплопроводности и, = йи„„ нерегулярными являются граничные узлы и =О, и =уо'. Лля первой краевой И-1 и ы задачи и(0, Т)=111(~), и(а, ()=ро(() зот лппгоксимлция уравнение (18) можно написать при и =0: 1 /г —,, (Уо — Уо) =9 (У-т 3Уо+Уд. Заменим в левом краевом условии (30) производную симметричной разностью: 1 2а (Ут Исключая из последних двух уравнений фиктивную точку, получим разностный аналог краевого условия: 1 Ь Ь(У1 УО) Р1 (~ ) + 2 (Уо Уо)' (33) Заметим, что это уравнение содержит только одно значение с нового слоя у„ т. е.
оно явное. Метод уменьшения невязки менее нагляден, но более универсален. Выразим и(х„т) при помощи формулы Тейлора: и (х„1) = и (х„1)+Й и, (х„()+- Ь'и„„+... На основании краевого условия (30) положим и,(х„1)=р,(1), а из уравнения теплопроводности (15а) найдем и, -ийй. Под- ставляя эти величины в формулу Тейлора, получим и(х1, 1) = и(хо, 1)+Ьрг Е+,— и1+". А и(х) — )(х) =О, хеп б, (34а) Ри(х) — р(х)=0, хенГ.
(34б) Введем в области О+Г сетку с шагом и, состоящую из множества внутренних (регулярных) узлов ю„и множества граничных (нерегулярных) узлов у„. Заменим задачу (34) в регулярных узлах разностным аналогом уравнения.(34а): А ьуь (х) — ~рь (х) = О, х ев ы„, (35а) Заменяя здесь и~ — (у,— у,)!т, снова придем к краевому условию (33). В последнем способе можно учесть большее число членов ряда Тейлора и получить краевые условия не только нормальной, но и повышенной точности. 5. Аппроксимация и ее порядок. Пусть имеется область 6 переменных х = (х„..., х ) с границей Г и поставлена корректная задача для некоторого уравнения с граничными условиями: УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ )ГЛ. 1Х (37) (ь ) 112 Ци (х)Ц =(((р,(х) и„'(х)+р, (х) и'(х)) с)х~ а р„(х) ) О, р, (х) ~ О.
(38в) Употребляются и другие нормы. Напомним (см. главу !), что из локальной близости функций следует их среднеквадратичная близость; поэтому Ц Ц, называют более сильной, чем Ц Цс, Нетрудно проверить, что энергетическая норма (Ззв) сильней Ц Ц . Выбор той или иной нормы в конкретной задаче определяется двумя соображениями. Желательно, чтобы разностное решение у а в нерегулярных узлах — разностным аналогом краевых усло- вий (34б): )с»у» (х) )(» (х) =О х е— = 7» (35б) (индексом й отмечены величины, определенные только на сетке; мы будем опускать его там, где это не вызовет недоразумений). Близость разностной схемы (35) к исходной задаче (34) будем определять по величине невязки: )р» (х) = (Аи — )) — (А»и — гр„), х ен ю», У» (х) =(Рль — р) — Я»и — )(») х ен у».
Определение. Разностная схема (35) аппраксимирует за- дачу (34), если Ц 1Р Це»-ьО, ЦУ Цх„-ьО пРи )т-+О; (38) аппроксимация имеет р-й порядок, если )) РЦ»=О()гл), Цу Ц,„=О()ьл) при )г — О. Обсудим вопрос о выборе норм в этом определении. Функции и (х), ((х), р(х) определены обычно на отрезке а(х =(т или во всех точках некоторой области пространства большего числа измерений, Для них можно ввести такие нормы, как чебышевская (локальная): Ци(х) Цс= шах !и(х)), (38а) а(к(Ь или гильбертова (среднеквадратичная): гь ч1/2 ))и (х)))с, = р (х) и'(х) с(х~, р (х) ) О (38б) (выражения написаны для одномерного случая).
Часто исполь. зуют связанные с оператором А энергетические нормы, напоми- нающие формулы для полной энергии колебательной системы, например: % г1 АППРОКСИМАЦИЯ ) Аг 'цг !!у!1,= шах !у„!, !!у!1г, =( ~', р„у,"-/г„~ 0(а~% го= 1 (39) В выборе разностных аналогов норм существует некоторый произвол.
Например, сумму в (39) козино брать по л=б, 1, ..., У вЂ” 1, что соответствует выбору другой квадратурнсй формулы для интеграла (386). Этим пользуются, определяя сеточные нормы так, чгобы облегчить доказательство сходнмости. Как надо понимать Ь -ь Ор Лля равномерной сетки это не требует пояснений. На неравномерных сетках рассматривают совокупность шагов Ьа как некоторую сеточную функцию и вводят какую-либо норму шага, например: ум — ~ 'пг Ь=!!Ь„!1,=снах Ь„или Ь=!!Ьз!!ь =~ ~„"Ь,',/ а —. о Эту норму считают «величиной шага» в определениях аппроксимации, порядка аппроксимации н т.
д. Если невязку оценивают в 11 11„то аппроксимацию называют локалььог". Для уравнений с достаточно гладкими решениями наличие локальной аппроксимации и ее порядок легко проверяются; в таких задачах нередко ограничиваются установлением локальной аппроксимации. Однако наиболее сильные результаты по сходимости разностных схем связаны с использованием более слабых норм для невязки (но сильных норм для решения).
Замечание 1. Факт наличия или отсутствия аппроксимации и порядок аппроксимации зависят не только от операторов А и А„"), но также от классов, к которым принадлежат и(х), )(х), и от выбора норм. Чем сильнее норма или чем шире классы функций, тем ниже, вообще говоря, порядок аппроксимации *) Операторы краевых условий для краткости обычно будем опускать. было близко к точному решению в возможно более сильной норме; например, в задачах на разрушение конструкций малость деформаций в 11 11с, не гарантирует сохранения конструкции, а малость в 11 1!с — гарантирует. С другой стороны, чем слабее 11 11„, тем легче построить сходящуюся в этой норме разностную схему и исследовать ее.
Заметим, что функции и(х), )(х), р(х) принадлежат, вообще говоря, разным классам. Например, если и(х) есть четырежды дифференцируемая функция и А = (г(г)с(хг), то ) (х) является дважды дифференцируемой функцией. Поэтому каждую из этих функций можно оценивать в своей норме: 11 11в, 11.!1), 11 11„.
ФуНКцИИ уь, Чга, уа ОПрЕдЕЛЕНЫ ТОЛЬКО На СЕТКЕ, ПОЭтОМу дпя них надо ввести сеточные нормы 11 11 „, 11.1!ть, 11 1!х„. Их вводят так, чтобы при й — 0 они переходили в выбранные 11 11„, 11 1!), 11 11„. За разностные аналоги чебышевской и гильбертовон норм можно принять соответственно зш (ГЛ. (Х УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (последнее видно по замечанию 2 к п.
3, если оценивать невязку в (( ((с). Замечание 2. Как правило, решение и(х) исходной задачи (34) неизвестно, так что использовать его для получения невязки затруднительно. В этом случае берут достаточно широкий класс У функций и(х), которому и (х) заведомо принадлежит (обычно это класс функций, непрерывных вместе с достаточным числом своих производных). Если на всех функциях класса У имеется аппроксимация порядка р: ((Ап(х) — Аьп(х)+(ра(х) — )(х)ЦА=О(йл) при й- О, то, очевидно, аппроксимация на решении и (х) имеет порядок ие ниже р. В подобных случаях аппроксимация на решении и (х) может иметь порядок выше р. В замечании 3 к п.
3 мы видели, что для уравнения из=йи„„явная разностная схема (18) при т = = из((бя) имеет в классе сколь угодно гладких функций п(х) аппроксимацию 0(6я), а на решений — более высокого порядка (четвертого, как нетрудно проверить). Сл у ч а и м н о г и х и е р е м е н ц ы х имеет некоторые особенности.
Определение аппроксимации остается в основном прежним; надо только требовать стремления к нулю шагов по всем переменным. Порядок аппроксимации может быть разный по разным переменным. Например, для двух переменных соотношение ((зр()е =0(тл+йт) при т-ьО, Ь-ьО (40) означает р-й порядок по времени и д-й по пространству. Это хорошо видно на примере схемы (18) с иевязкой (25). Аппроксимация вида (40), погрешность которой стремится к нулю при любом законе стремления шагов к нулю, называется безусловной или абсолютной.
Если же погрешность аппроксимации стремится к нулю при одних законах убывания шагов и не стремится при других, то аппроксимацию называют условной. Например, если ((фЦь= 0,тя+йт+ — „—,) при т-ьО, Ь-ьО, (41) то аппроксимация условная: кроме т -ь О, Ь-ь О, надо дополнительно требовать, чтобы (т'/Ь') -~- О. Если аппроксимация условная, то разностный оператор АА при разных законах изменения т(Ь) может аппроксимировать разные дифференциальные операторы. Например, можно проверить, что 1 1 ! "'(ьу= (Уа — Ул)+ (Узы Ул-т) (Ул.ьт — аул+ Уя-т) (4х) зп э з1 нстоичивость при т=сл аппраксимирует сператор д д А= — + —, дт дх' а при т=сла — оператор д д 1 У А = — + — — — —. дт+дх с дхз' Поэтому, если нет специальных соображений, лучше пользоваться разностными схемами с беаусловной аппроксимацией.
5 3. Устойчивость 1. Неустойчивость. Для некоторых разностных уравнений малые ошибки, допущенные на каком-либо этапе вычисления решения, при дальнейших выкладках сильно возрастают и делают невозможным получение сколько-нибудь пригодного результата. При численном дифференцировании и суммировании рядов Фурье мы встречались с некорректными задачами, где бесконечно малая ошибка входных данных может привести к большой ошибке решения. Теперь рассмотрим пример неустойчивой разностной схемы решения задачи Коши для уравнения и'(х) =аи(х). Выберем следующую схему: а 1 — а Т (Ух:т Уа) + Ь (Уз — Ул-з) = с'Уа. (43) При а=1 она переходит в схему ломаных (8.15), устойчивость которой была доказана. 1зассмотрим случай а~ 1.
Для простоты отбросим ошибку аппроксимации и исследуем только рост ошибки начальных данных. Тогда ошибка бу„будет удовлетворять тому же уравнению (43), ибо оно линейное однородное. Удобно исследовать рост ошибки специального вида бу„=г". Подставляя ее в (43), получим аг'+ (1 — 2а — аЬ) г — (1 — а) = О. Если Ь ~1, то корни этого квадратного уравнения равны г, = ==- 1+ О (Ь), ге =- 1 — (1!а) + О (Ь) . Тогда при с ( з/з будет ~ г, ~ ) 1, т. е. ошибка такого вида. возрастает за шаг в несколько раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
