Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 78

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 78)

Наклон (тангенс угла наклона) характеристик в каждой точке плоскости (х, г) равен 1(и (х, 1). В данном случае наклон монотонно и непрерывно убывает слева направо. Поэтому первый квадрант всюду плотно покрыт характеристиками (рис. 69), причем через каждую его точку проходит одна и только одна характеристика. Эта характеристика переносит в данную точку граничное значение. Решение однозначно определено и непрерывно во всем первом квадранте. Если краевые значения гладки (и согласованы в начале координат), то решение также будет гладким. В т о р о й с л у ч а й.

Краевые значения монотонны указанным выше образом, но имеют разрывы. Для простоты положим и(0, г) =а, и(х, О) =а при х(х„и(х, О) =Ь) а при х)х„ так что разрыв не нарушает предыдущее условие монотонностй. Левее разрыва характеристики на плоскости (х, 1) имеют наклон 17а, а правее разрыва — меньший наклон 1(Ь (рис.

70, а). кзлзнлинепное уРлзнение Проведем обе характеристики из точки разрыва начальных данных; на рисунке они показаны жирными стрелками. Левее левой и правее правой из них через каждую точку плоскости проходит одна и только одна характеристика, т. е. решение определено и единственно. А между ними нет нн одной характеристики и решение не определено.

Потребуем корректности задачи, т. е. устойчивости решения относительно бесконечно малых возмущений начальных данных. Это позволит нам доопределить решение. Сгладим разрыв начальных данных, заменив его непрерывным монотонным переходом на бесконечно узком интервале. Тогда в пустом угле появится ивеер» характеристик и наклон каждой характеристики определит значение решения на ней (рис. 70, б).

х» ш х, »9 Рис. 70. Легко видеть, что доопределенное решение будет иметь следующий вид: и(х, ()=а при х — х (а(, и(х, () =(х — х,)7'г при а(-=х — х,=-Ы, и(х, ()=Ь при Ы(х — х,. Поэтому оно непрерывно на всей плоскости, кроме точки х=х„(=0.

Значит, такой разрыв начальных данных сглаживается со временем. Но след разрыва остается: на жирных характеристиках производные решения будут разрывны. Во всех остальных точках решение будет гладким, если начальные данные были гладкими. Разрыв производных называют слабым разрьиом решения. Слабые разрывы квазилинейного уравнения переноса распространяются по характеристикам, как и в линейном уравнении переноса. Трети й случай.

Пусть нарушено данное выше условие монотонности. Опять положим и (х, О) =а при х(х„и (х, О) = = Ь при х)х„но теперь потребуем, чтобы а)Ь)0. Тогда характеристики будут иметь вид, изображенный на рис. 71. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА [ГЛ. Х В угле, образованном жирными характеристиками, через каждую точку проходят две характеристики, приносящие в нее разные значения функции! Вне этого угла решение однозначно определено, а внутри угла оно неоднозначно. В этом случае непрерывное решение построить не удается. Сглаживание разрыва начальных данных не помогает: ход характеристик на некотором расстоянии от точки х= х, ( = О все равно не меняется, так что неоднозначность остается.

Значит, однозначное решение должно быть разрывным, т. е. оио будет обобщенным решением дифференцдального уравнения. Обобщенное решение удовлетворяет некоторому интегральному уравнению, которое получается из определенной х дивергентной формы записи данного дифференциального уравнения. Разные дивергентные формы записи одного и Рис. 71. того же уравнения приводят к разным разрывным решениям, хотя гладкие решения для всех дивергентных форм одинаковы. Дивергентная форма, соответствующая физическому закону сохранения, определяет правильное решение (его называют также допустимым).

Уравнение (44) не имеет физического смысла, и естественного закона сохранения для него нет. Постулируем такую дивергентную форму: (46) Будем искать решение, имеющее единственный разрыв. Пусть наклон линии разрыва соответствует скорости с), т. е. разрыв бежит, как волна. По поведению характеристик видно (рис. 72), что искомое решение имеет вид и(х, 7) =а при х — х (с77„ а(х, 7) =о при х — х )И. (47) ~(й — и) (х+-2-~(и-'.Р..— и.'..) (=(а — б)й+ —,Я' — а')т=о. Отсюда скорость распространения разрыва равна )7 = —,' (а+Ь), (48) Проинтегрировав (46) по площади прямоугольника со сторонами т и 6=Ос, получим 357 квазилинвлное уРАВниниа $2! Разрыв самого решения называют сильным разрывом (а в газо- динамике — ударной волной).

Сильный разрыв квазилинейного уравнения распространяется не по характеристике. В теории квазилинейных уравнений доказывается, что только такое обобщенное решение устойчиво относительно малых возмущений начальных данных. Ч е т в е р т ы й с л у ч а й, когда функция и (х, 0) непрерывна, но убывает на каком-то интервале, сводится к третьему.

По- прежнему пересечение характеристик приводит к образованию сильного разрыва (рис. 73). Местная скорость разрыва будет определяться по формуле типа (48) приносимыми в данную точку значениями решения и уже не будет постоянной. Существенно, Рис. 73. Рис. 73. что здесь при непрерывных и гладких начальных данных с течением времени возникают сильные разрывы решения. Число разрывов со временем тоже может измениться. Замечание 1. Если вместо (46) мы постулируем другой закон сохранения, например: д йу(!пи) + д„—— О, ди то скорость ударной волны изменится. Но для слабых ударных волн, на которых решение мало меняется, скорость ударной волны будет отличаться от (48) в !+0(е') раз, где е=(Ь вЂ” а)7(6+а), т.

е. изменится очень мало. 3 ам е ч а н и е 2. Разрывные решения линейных уравнений можно рассматривать как предел последовательности непрерывных и гладких решений. Для квазнлинейных уравнений это сделать не удается. 2. Однородные схемьь Выше встречались случаи, когда на недостаточно гладких решениях (т. е. имеющих малое число непрерывных производных) порядок аппроксимации и порядок УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА [Гл. х точности разностной схемы был ниже, чем на более гладких решениях.

Особенно сильно ухудшается точность расчета, если искомое решение содержит сильные или слабые разрывы; некоторые разностные схемы при этом приводят даже к грубо ошибочным результатам. Удовлетворительные результаты на таких решениях дают два типа схем — однородные схемы (которые не надо путать с линейными однородными схемами для линейных однороднедх уравнений) и схемы с явным выделением особенностей решения. Однородные схемы (называемые также схемами сквозного счета) более просты и широко распространены в практике численных расчетов.

В этих схемах шаблон и разностные аналоги производных выбираются так, чтобы нужная аппроксимация была обеспечена всюду, в том числе и на особенностях решения. Поэтому весь расчет ведется по однотипным разностным уравнениям без явного выделения особенностей. Например, из рис. 68 видно, что схема (11) позволяет рассчитывать перенос разрывных начальных данных без явного выделения этого разрыва.

Однородные схемы не громоздки, требуют умеренного объема вычислений, и каждая хорошая схема пригодна для широкого класса задач. Программы для ЭВМ, составленные на их основе, также позвочяют без заметных переделок рассчитывать широкий круг задач. Зато точность расчета по однородным схемам обычно ниже, чем в схемах с выделением особенностей. По однородным схемам успешно проводят расчеты даже таких сложных задач, как задачи многомерной магнитной газодинамики, в которых возникает большое число ударных, тепловых и других волн, являющихся разрывами. Схемы с выделением о с о бе и н остей. В них каждую особенность решения выделяют и детально описывают.

В промежутках между особенностями решение непрерывно и достаточно гладко; в этих промежутках дифференциальное уравнение аппроксимируют разностной схемой Уравнения, опвсывающие особенности, служат своеобразными внутренними краевыми условиями, связывающими между собой разиостные уравнения в соседних промежутках. Особенности решения могут быть связаны с разрывами или нарушением гладкости начальных данных и коэффициентов уравнения, с возникновением ударных волн, с образованием слабых разрывов при столкновении ударной волны с какой-либо особенностью решения. Число особенностей с течением времени может меняться.

К каждому типу особенностей нужен индивидуальный подход. Очевидно, явно учесть все особенности можно только в наиболее простых задачах. Схемы с выделением даже небольшого количества особенностей очень громоздки. Они нестандартны, т, е. каждый сравнительно узкий класс задач требует разработки своей схемы расчета. Но зато их точность существенно выше, чем точность прочих схем. Поэтому их используют в задачах, имеющих мало существенных особенностей и требующих особенно высокой точности расчета. Такие схемы мы рассматривать не будем.

КВАЗИЛИНЕЯНОЕ УРАВНЕНИЕ 2 2] 3. Псевдовязкость. Основную трудность для вычислений по разностным схемам представляют сильные разрывы решения. Эффективный прием расчета задач с разрывными решениями заключается в следующем. Подберем такую «малую» добавку к исходному уравнению, чтобы его разрывные решения превратились в непрерывные и достаточно гладкие. Тогда составить разностную схему для численного расчета этих гладких решений уже несложно. Гладкие решения присущи уравнениям с диссипативными членами типа вязкого трения. Поэтому добавляемый в исходное уравнение член должен играть роль вязкости.

Его называют исевдовязкостью, а также искусственной или математической вязкостью. Рассмотрим подробно указанный способ на примере квази- линейного уравнения переноса (44). Заменим его следующим уравнением: ди+ ди+ ее д!ди')2 0 (50) д) дх 2 дх(дх/ где последний член является псевдовязкостью, а коэффициент ее мал. Очевидно, на дважды непрерывно дифференцируемых функциях последний член при малых е невелик, так что для всех достаточно гладких решений исходного уравнения (44) найдутся близкие к ним гладкие решения уравнения. (50). Выясним, нет ли среди гладких решений уравнения (50) тахого, которое напоминало бы ударную волну (47): ~ а при хс'Р1, и(х, () = (Ь(а при х- Р1, движущуюся со скоростью Р=-(а+5)/2.

Характеристики

Список файлов книги