Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Явная двуслойная линейная однородная схема збо УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА 1гл. х уменьшения индекса, приведем схему к явной форме: ст А+от ~, ~а+с») Ри ' г о Все коэффипиенты здесь положительны; следовательно„схема (!1) монотонна при любых т и й. Схема (12) линейна н имеет второй порядок точности на трижды непрерывно дифференнируемых решениях уравнения переноса.
Из теоремы следует, что эта схема немонотонна. Рис. 88. Различие монотонных и немонотонных схем особенно четко проявляется при расчетах задач с разрывными точными решениями (см. рнс. 68, жирная линия — точное решение). Расчет по монотонной схеме (11) дает сглаженное разностное решение (кружки), а расчет по пемонотоиной схеме (12) — характерную «разболтку» (точки); эта «разболтка» не является неустойчивостью.
Сходную «разболтку» дают немонотонные схемы на быстропеременных решениях, особенно если шаг сетки ие мал. Именно поэтому приходится решать подобные задачи при помощи монотонных схем, несмотря на их невысокую точность 0(т+)г). Наоборот, если решение достаточно гладкое и шаг сетки мал, то даже расчет по немонотонным схемам не нарушает монотонности решения. Например, для схем второго порядка точности монотонность разностного решения обычно сохраняется, если ~ )тих„(и„~(1.
В этих случаях для расчетов используют схемы точности 0(т»+Ь») или более высокой. Таким образом, фактически немонотонность проявляется на сетках со сравнительно большим шагом. Особенно сильно она сказывается при расчетах многомерных задач, ибо для них скорость или объем оперативной памяти даже лучших ЭВМ не позволяют брать малый шаг. В то же время расчет таких задач по монотонным схемам с погрешностью 0 (т+)г) дает хорошее качественное поведение разностного решения, но невысокую точность.
Теорема о монотонности доказана только для линейных схем. Были по. пытки построить нелинейные монотонные схемы второго порядка точности. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ В частности, были предложены нелинейные монотонные схемы (701, имеющие на лостаточно гладких решениях аппроксимацию Г> (т»+й») почти во всех точках; эффективный порядок точности этих схем, определенный па задачах-тестах, близок ко второму при большом lг и стремится к первому при А — » О. Эти схемы дают неплохие результаты при расчетах многомерных задач с быстро- переменными решениями.
»«ругов перспективное направление связано с использованием схем третьего порядка точности. Как показали всследоваивя, их фактическая немоно. тонность на разрывных решениях существенно слабее, чем у схем второго порядка точности: амплитуда «разболтки» меньше, и «разболтиа» быстро затухает при удалении от разрыва. 7. Диссипативные схемы. Когда устойчивость линейных разностных схем исследуется методом разделения переменных, то для каждой гармоники определяют ее множитель роста р, при переходе со слоя на слой.
Отметим, что число пробных гармоник не бесконечно. Поскольку рассматривается разностная, т. е. дискретная, задача Фурье на сетке (х„, О=-п=-.йг), то надо использовать только гармоники ехр (2п(г(~М), О = г) =- Аг' — 1, образующие полную систему по отношению к функциям, периодическим на этой сетке. Схема устойчива, если (р (=1+а«с — ехр (а«т), где ач — не зависящие от й константы. Если хотя бы у одной гармойики а) О, то устойчивость слабая. Если для всех гармоник а -О, то схема заведомо хорошо обусловлена; но это требование слишком жесткое, и ему удовлетворяет очень мало схем. Рассмотрим более мягкое требование, также обеспечивающее хорошую обусловленность. Схема обладает аппроксимаг(ионной вязкостью, если а «-О при г) чьО и с«,=0.
Это требование реализуется у многих схем. Например, схема (9) имеет множитель роста (15), который с учетом замечания об ограниченности числа гармоник принимает вид р„= 1 — - (1 — е — 'п«0"), 0 ~ д = Аг — 1. /1 Легко проверить, что если ст<й, то р,= — 1 и (р ! <1 при г) = = 1, 2, ..., Аг — 1. Если от=-п, то для всех гармоник (р,(=1. При ст)й большинство гармоник неограниченно растет.
Таким образом, схема (9) обладает аппроксимационной вязкостью при от</и это условие почти совпадает с условием устойчивости. Аналогично доказывается, что схема (1О) обладает аппроксимационной вязкостью при ст) 6, а схема (11) — при любом соотношении шагов т и й. У схемы второго порядка точности (12) множитель роста (18) таков, что (ре(=1 для всех гармоник.
Следовательно, схема (12) не обладает аппроксимационной вязкостью. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА 1гл. Х При наличии аппроксимационной вязкости гармоники с с) ~0 затухают, напоминая тем самым точное решение (9.7а) параболического уравнения. В точном решении параболического уравнения разрывы начальных данных сглаживаются со временем. Из рис. 68 было видно, что расчет по схеме с аппроксимационной вязкостью (11) приводит к аналогичному сглаживанию разрыва начальных данных, а расчет по схеме без аппроксимационной вязкости (12) — нет.
Понятие аппроксимационной вязкости применимо к линейным схемам. Для произвольных разностных схем, как линейных, так и нелинейных, можно ввести понятие первого дифференциального приближения. Пусть дифференциальное уравнение Аи=( имеет решение, у которого непрерывны производные достаточно высокого порядка, и составлена разностная схема А„у = ср порядка аппроксимации р. Невязка этой схемы выражается через некоторые производные от решения и(х), и ее можно представить в следующем виде: ф (х) = А и — А ьи + ср — 1 = ПРВи + о (ссг), (40) где  — некоторый дифференциальный оператор (обычно оператор В содержит производные, порядок которых на р превышает порядок старших производных дифференциального оператора А). Запишем равенство (40) двумя способами: Ахи — ср = А и — 1'+ О (ссе), А ьи — ср = А и — (сг В и — 1" + о (ссР) . Это означает, что разностная схема Аьу=ср аппроксимируетдифференциальное уравненне Аи=( с порядком р и аппроксимирует уравнение (А — пРВ) и=[ с порядком выше р.
Первым дифференциальным приближением разноетной схемы А„у= ср называют уравнение (А — (сРВ) и = 7', Ви = 1пп [и Рф (х)1. (41) л-о Разностная схема аппраксимирует свое первое дифференциальное приближение более точно, чем исходное уравнение. Поэтому следует ожидать, что свойства разностного решения будут во многом напоминать свойства точных решений уравнения (41). Пусть уравнение (41) является диссипативным, т. е.
описывает какой-либо физический процесс с затуханием: теплопроводность (это сильное затухание), колебания в вязкой среде (слабое затухание) и т. д. Такие процессы приводят к более или менее быстрому сглаживанию разрывов начальных данных. 353 ЛИНЕЛНОЕ УРАВНЕНИЕ Обычно в этих случаях разностное решение тоже имеет сглаженный вид. Наоборот, если уравнение (41) является недиссипативным, например чисто колебательным, то разрывы его решений не сглаживаются. В разностном решении при этом легко возникает слабо затухающая (или совсем не затухающая) «разболтка».
П р и меры, Рассмотрим однородную разностную схему (9), полагая )' = <р = О. Ее невязка (13) принимает вид = (сйи,„— тии)/2. Учитывая, что для однородного уравнения переноса (3) выполняется условие ив=с'и,„, преобразуем иевязку к виду»р=с(й — ст) и„„/2. Отсюда легко получить первое дифференциальное приближение разностной схемы (9): с и» 2 (й ст)и си (42) Если ст(й, то уравнение (42) относится к параболическому типу.
Действительно, выше было показано, что расчет по разностной схеме (9) приводит к сглаживанию разрывов (если ст (й). Случай ст) й для уравнения (42) соответствует обратной задаче теплопроводности, которая относится к некорректно поставленным задачам, С этим обстоятельством связана неустойчивость схемы (9) при нарушении условия Куранта. Рассмотрим однородную разностную схему (12). Если учесть, что для однородного уравнения переноса выполняется соотно- шение им= — сии =с и„,= — с и „„, » то главный член невязки (17) этой схемы принимает вид ф = = с(й' — с'т») и „.)12. Следовательно, ее первым дифференциаль- ным приближением является уравнение и~+ си — — с (й' — с'т') и, „= О, 1 (43) которое не содержит диссипативных членов.
Действительно, из рис. б8 было видно, что схема (12) не сглаживает разрывы решения. Если разностная схема обладает аппроксимационной вязкостью или ее первое дифференциальное приближение является уравнением с диссипативными членами, то схему называют диссипативной. Обычно в расчетах по таким схемам разболтки не возникает или она невелика; поэтому понятие диссипативности плодотворно используется при качественном анализе разностных схем. Однако это понятие пе является строгим, и полученные при его помощи выводы надо проверять другими методами.
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА 1гл. х й 2х Квазилинейное уравнение 1. Сильные и слабые разрывы. Решение линейного уравнения переноса может иметь разрывы только в том случае, если они содержатся в начальных или граничных данных. В квазилинейном уравнении даже при непрерывных и достаточно гладких начальных данных могут возникать разрывы решения. Характер этих разрывов удобно исследовать на простейшем квазилинейном уравнении переноса ди ди —, +и — „=О, д1 дх х, г', и)0, (44) которым мы и ограничимся в данном параграфе. Оно напоминает линейное уравнение переноса, в котором роль скорости переноса играет величина самого решения и(х, ().
Полная постановка задачи при знакопеременной скорости сложна; мь1 рассмотрим только наиболее важный случай и ) О. Тогда начальные и граничные значения т решения, заданные на положительных полуосях координат х, г, определяют решение в первом квадранте. Эти значения переносятся по характеристикам х— — и1 = сопз(. Рассмотрим характер решех ния при четырех основных типах начальных данных. Первый случай. Начальные и краевые значения — непрерывные функции, причем и(х, О) монотонно не убывает, и(0, Г) монотонно не возрастает и они непрерывно согласованы в начале координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
