Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Будем искать автомодельное решение в виде бегущей волны и, (х, () = / (х — Р/). Подставляя его в (50), получим (ее/" +/ — Р) /' = О. Приравнивая каждый из сомножителей нулю, получим два типа решений: /, = сопз(, х — Ы /е=Р+сопз( зш е Из них можно сконструировать решение, похожее на размытую УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА 1гл, х волну шириной е: пе прн х — Р1 ( — —, 2 ' агЬ а — 6 х — М вЂ” — — з(п 2 2 е при — — (х — Р( ( —, (51) ле пе 2 2 ' ЛЕ при ' — (х — Рй 2 и„(х, 1) = то любой сильный разрыв «размазывается» на одно и то же число пу Зу интервалов сетки. Тогда при й-и 0 уравнение с псевдовязкостью (50) автоматически переходит в исходное уравнение (44), а сглаженная ударная волна (51) — в ударную волну (47). П р и м е р.
Составим простейшую (далеко не лучшую) разностную схему для уравнения (50), а тем самым — и для уравнения (44); сетку для простоты предполагаем равномерной: Ве (Ул Уп) + А Уп (Ул — Уе-»)+21» 1(улет Уп) (Уп Уп-») 1 — О. (53) Это явная схема„так что разностное решение существует и единственно. Не проводя полного исследования схемы, определим только условие ее устойчивости. Схема (53) нелинейна, поэтому сначала линеаризуем ее и получим уравнение для роста погрешности бу: 1 1 1 —,(бул — бул)+ — „бу, (ӄ— ул,) + а ул(буп — бул,)+ ее +~р1(бул+» буп-») (Упе» вЂ” 2ул+Уе-»)+ +(Упе» Уе — т) (буле» вЂ” 2бул+бУп-»)) =0 (54) Это решение не только непрерывно, но даже имеет кусочно-непрерывную вторую производную.
При е-» 0 оно переходит в ударную волну (47). Таким образом, и гладкие и разрывные решения исходного уравнения (44) можно рассматривать как предел соответствующих гладких решений уравнения (50) при е -и О. Значит, вместо численного решения квазилинейного уравнения переноса можно численно решать уравнение (50) при достаточно малом е. !'сшения последнего уравнения гладки, и нх можно находить при помощи обычных однородных разностных схем. Замечание 1. Коэффициент псевдовязкости обычно связывают с шагом сетки. Например, если в уравнении (50) положить Е=М, т=сопз1, (52) КВАзилинейиов уРАВивнив $21 Коэффициенты при бд переменные; применяя принцип «замороженных» коэффициентов, будем считать нх постоянными.
Попутно произведем замены д„ вЂ” д„., — пи, и т, д. Тогда (54) примет вид (бд» бд )+и бд +Х(бд бд — ) + гь~ (бд бдя- )+ +„-, и,(бд„„,— 25д„+бд„,) =О. (55) Рассматривая рост ошибки, имеющей вид бд„ехр (1пх„), и делая в (55) стандартную подстановку: бд„=ем", бд,„»~=еым — 'м бд =рбд определим множитель роста гармоники: р«=1 — — „(1 — е.»«) — т~и,-+1-„- и„„з)пдй — — „, и„з(п» вЂ” ~.
(56) Если согласно (52) выбран коэффициент псевдовязкости е й. то величина в квадратных скобках ограничена равномерно по шагу й. Тогда последний член в (56) есть 0(т) и не нарушает устойчивости. Первые же два члена аналогичны множнтелю (15) и приводят к условию устойчивости типа Куранта: и (х, ()т=й, (57) где роль скорости играет величина решения и (напомннм, однако, что для нелинейных схем этот способ исследования устойчивости является не строгим, а лишь правдоподобным). Схема (53) является примером однородной схемы для расчета задач с произвольным числом движущихся разрывов, причем число разрывов может меняться с течением времени.
Заметим, что для обеспечения хорошей точности расчета зона сглаживания разрыва должна быть небольшой,(3 — 5 интервалов) и сумма зон сглаживания всех разрывов должна быть мала по сравнению с общим числом узлов сетки М, Тем самым, фактически общее число разрывов не может быть большим. Замечание 2. Псевдовязкость вида (50) обеспечивает сходимость к тем обобщенным решениям уравнения (44), которые соответствуют дивергентной форме (46).
Для другого уравнения или даже для другой дивергентной формы того же уравнения эта псевдовязкость, вообще говоря, непригодна. Замечание 3. Псевдовязкость (50), называемая квадратичной, имеет один заметный недостаток: не все решения уравнения (50) являются дважды дифференцируемыми. В самом деле, нетрудно проверить, что кусочно-гладкое решение (45) также удовлетворяет этому уравнению. На таких решениях однородные 362 УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА (гл. х схемы, рассчитанные обычно на дважды или трижды непрерывно дифференцируемые функции, имеют пониженный порядок аппроксимация. Зтот недостаток устраняется, если использовать для уравнения (44) другую псевдовязкость, называемую линейной: и~+пи, =еи,.„а=О(й).
(58) ! 1 (д„д„) ), д„(д„д„,) =о, (59) напоминающий явную схему (9) для линейного уравнения переноса. Проведем по схеме (59) расчет движения сильного разрыва (47). Пусть начальные данные таковы, что у„=а при п(п,— 1, (60) у„=Ь при и)п,. Выберем шаг по времени т = Ь/Ь. Подставляя (60) в (59), нетрудно убедиться, что на следующем слое разностное решение будет равно у„=а прн и(и, у,=Ь при п~п +1. (61) Уравнение (58) напоминает уравнение теплопроводности, все решения которого многократно дифференцируемы.
Его нетрудно исследовать аналогично уравнению (50). Однако линейная псевдо- вязкость тоже не лишена недостатков. 4. Ложная сходимость. На практике для нелинейных уравнений и схем редко удается строго доказать сходимостгп например, сходимость разностных схем для уравнений газодинамики не доказана. Поэтому зачастую пользуются следующими соображениями. Проверим локальную аппроксимацию схемы и затем на численных расчетах со сгущением сеток убедимся, что разностное решение при Ь-э 0 сходится к какой-то предельной функции. Поскольку нет расходимости, то расчет устойчив, а из устойчивости и аппроксимации следует сходимость к решению исходной задачи. Зти рассуждения справедливы, если точное решение достаточно гладко. Если же решение имеет сильные или слабые разрывы„ то локальной аппроксимации в точках разрыва нет и предыдущие рассуждения могут привести к неверному результату. Пример.
Приведем разностную схему, которая сходится, но не к точному решению. Возьмем схему (53) для уравнения с псевдовязкостью (50) и тем самым для квазнлинейного уравнения переноса (44); положим в ней а=О, т. е. выбросим псевдовязкость. Тогда схема примет внд КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ Значит, прн Ьт=й-к.О разностное решение (60) — (61) сходится к предельной функции ( а при х — хк(И, и(х, () =4 ( б при х — х)Ы, (62) которая отлична от точного решения (47). Таким образом, для задач с разрывными или недостаточно гладкими решениями (а также при разрывных или недостаточно гладких коэффициентах уравнения) визуально наблюдаемая сходимость разностного решении к пределу прн т-к-О, й-к-О может оказаться ложной. 5, Консервативные схемы.,Ложной сходимости можно избежать, используя консервативные схемы. Этн схемы со- Рис. 74.
ставляют методом баланса, исходя нз физических законов сохранения н соблюдая дополнительное правило, описанное ниже. Сначала разберем законы сохранения на примере уравнения (44). Запишем ту дивергентную форму этого уравнения (46), которая в п. 1 была условно принята за правильную: ау+ д-„-(-е) =О (63) Выбирая отдельную ячейку сетки (рнс. 74) и интегрируя по ней уравнение (63), получим точное интегральное соотношение к к ятк (и "— и ) 4(х+ — ~ (и'„— и,',) И=О. (64) к к-к Уравнение (63) можно проинтегрировать не по отдельной ячейке, а по всей области 6=(х,> ~ х --хр~]х(10 г- гм1 Это значит, что разрыв продвинулся за один временной шаг ровно на один интервал сетки и сохранил свою форму.
Очевидно, так же он будет двигаться и на всех других шагах по времени. Таким образом, в этом расчете сильный разрыв будет двигаться без сглаживания, 'точно сохраняя форму, но с неправильной скоростью Р" = й!т =- б ~ (а+ 6) /2. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ггл. х и получить аналогичное интегральное соотношение: (икг — ио) с(х+ — ~ (ин — ии) г(1 = О. 1 г 2 (65) Это соотношение напоминает физические законы сохранения: первый интеграл дает изменение )гг йх за истекшее время, а второй есть разность потоков г/О ~иве(1 через правую и левую границу. Соотношеггие (65) является законом сохранения для данной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
