Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 83
Текст из файла (страница 83)
В то же время зона влияния бесконечна благодаря наличию двух точек А верхнего слоя в каждом уравнении (29); поочередная смена м — направления расчета обеспечиваст бесконечность зоны влияния в обоих направлениях. Методом разделения переменных нетрудно проверить, что схема (29) безусловно устойчива.
Невязка каждого из — э- уравнений (29а) и (296), вычисленная разэожением относил) тельно центров, показанных на шаблонах рис. 79 крести- ками, есть 0(та+та+Н'+тм). Если бы расчет произРис 79. водился только по одному из этих уравнений, т, е, ис- пользовалась бы односторонняя схема бегущего счета, то именно таким был бы порядок точности. Однако при сложении погрешностей прямого и обратного хода на последовательных слоях происходит их частичная компенсация.
Поэтому двусто- ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гл, х! ронина схема бегущего счета (29), как показывает более детальный анализ, сходится со скоростью О (т" + Ае+ тхгйз). (ЗО) Теы самым, она по своим свойствам близка к схеме Дюфорта — Франкела (28). 6. Наилучшая схема. Рассмотрим, как следует обобщать схему (6) на уравнение теплопроводиости с переменным коэффициентом теплопроводности, которое имеет следующий вид: л( — — й-(м(х, () т1+г (х, г).
(31) Заметим, что производные этих величин разрывны; и„имеет разрывы в точках разрыва Й(х, (), а ((у, разрывна в*точках разрыва )(х, (). Чтобы получить сходнмость к допустимому обобщенному решению, составим методом баланса консервативную разностную схему. Уравнение (31) записано в дивергентной форме, соответствующей закону сохранения энергии.
Удобнее заменить его системой уравнений — = — — +1 ди дйг (32) Выберем шаблон и связанную с ним ячейку (рнс. 60) н запишем первое уравнение (32) в виде закона сохранения энергии для Случай непрерывных и ).Ладких коэффициентов несложен, и отдельно мы его разбирать не будем. Исследуем более общий случай, когда й (х, () и ((х, () — кусочно-непрерывные функции. Разрывы коэффициентов уравнения (3!) возникают, например, на границах областей в задачах для слоистых сред или на ударных волнах в движущейся среде. В точках разрыва коэффициентов решение и(х, () будет иметь особенности, т. е.
оно ю будет обобщенным и, вообще говоря, ие единственчым. Для выделения допустимого решения из множества обобщенных решений надо М выяснить, какие величины всюду непрерывны, согласно физическому смыслу заРис. 80. дачи. Для теплопроводности, как уже отмечалось в главе УШ, 9 2, п. 7, непрерывны температура и(х, () и поток тепла (((' = — й (диу'дх). ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ этой ячейки: лп+!/2 (и — и) йх= ".— /12 /+» л, ( л'и — 1/2 (» л+ //2) Й+ ~ ~ / (Х, 1) /(Хи(.
(33а) лп — / 12 "л+1 лх ил+2 — и» вЂ” )р~+ //2 ') л („ "л что допустимо в силу непрерывности потока. Получим консервативную разностную схему, называемую наилучшей: 1 . о — (уп — Ул) = а (У(/и /12 — и/л+ //2)+ 1 — е + а (11/и //2 — %'л+ /М) + /рл, (34а) Уп Ул/И Ул - Уп 1 й'«+/12 =ил+//2 А ~ )чл+/12 =ил+/М, (34б) л + где 1 )2» = Хл.ц — Х»1 йп лл «(Пп-2+и») = Хл+ /М вЂ” Хл //2 ~ (34В) л»1 1 1" лх Ал,) А(х, 1) Нл+ //2 = (34г) /+л лп-/- 1/2 р,= — „1 Ж ') йх)(х, 1). "и — //2 (34д) Второе уравнение (32) проинтегрируем по интервалу сетки; пл1 а/ или — ил пл — 1 йХ.
3 А(х, /) (33б) л Гправедливость формулы (33б) очевидна,' если коэффициент е(х, 1) непрерывен на интервале сетки; но благодаря аддитивности интегрирования формула остается справедливой при наличии разрывов й(х, 1) внутри (х„, Х„,Е). Припишем значения температуры узлам сетки, а значения тепловых потоков — серединам интервалов (крестики на рис. 80). Аппроксимируем интегралы в (33) квадратурными формулами. При этом ~ 77й( вычислим по двухточечной формуле с весом о на верхнем слое, а в (33б) вынесем среднее значение потока за знак интеграла: ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.
Х! где (Збб) (Збв) Вул = ул+ отАул, У,,— Ул — У,— У., ') '(Ул = — ~ил+1[в Л й — Мл-1[З Л й " ). л л и П-1 Введем скалярное произведение + оо (ш ц[) = ~х~~ гт„п„[п„. (зу) л = — со Нетрудно убедиться, что операторы А и В неотрицательные и самосопряженные. В самом деле, (Ау, у) = (у, Ау) = -[- со + со Ул 1 — Ул '~ Уп — Ул-т Увил+ 1са й +, Упмп — 1/2 й ° л юп л-1 При вычислениях интегралы (34г), (34д) также аппраксимируют несложными квадратурными формулами. Например, если [е(х, () и ) (х, () непрерывны всюду, за исключением узлов хл, то можно воспользоваться одной из следующих формул: Х-, [,з=я,» [з =- (и.+е„т)= ' ""' =) й„й„„„, (35а) л+ лпт хл хл — 112 хп + 112 хл тРп — Л ~л-1[а+ а " ~п+ [са (35б) л и где черта означает, что величина отнесена к моменту времени г".
Под узловыми значениями разрывных величин здесь надо понимать соответствующие односторонние пределы. Название схемы (34) связано с ее высокой точностью. Например, мо1кно показать, что для однородного стационарного ур~внения (3[) наилучшая схема является точной, если интегралы [34г) вычисляются точно, Эта означает, что РависетиОЕ РЕШЕНИЕ У ПРИ ЛЮбЫХ ВЕЛИЧИНаХ ШаГОВ СОВПаДаЕт С и(Хл, 1) (ХОта ревностные значения йгл+, могут не совпадать с точными значенйями потоков в точках хл+, ).
Исследуем схему (34). Подставляя (34б) в (34а), получим линейную трехточечную (по пространству) схему. Для определения ул надо решить линейную систему с трехдиагональной матрицей, что выполняется методом прогонки. Легко видеть, что диагональные члены матрицы преобладают; это обеспечивает единственность разностного решения и устойчивость прогонки. Устойчивость по начальным данным исследуем методом операторных неравенств. Ограничимся случаем задачи Коши на бесконечной прямой, когда и ( — со, 1) =и(+ со, 1) =О. Перепишем двуслойную схему (34) в канонической форме: В ":У+ Ау = 1р, (Зба) ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Сдвигая во второй сумме индекс на единицу, получим +:О (у — и )' (Ау, у) =,у, ил+ ие """ "" =--О. "и (38) Равенство (Збб) означает, что В = Е+ отА; тогда (Ву, у) = = (у, Ву) =(у, у)+(у, Ау) =О, что доказывает наше утверждение об операторах А и В.
Заметим, что из (38) следует оценка Ц А Ц:=: 4 п4ах (н//ьт). (39) Пусть выполнено условие 1 ! о«о, о= — —— 2 т1А,:~ ' (40) Учитывая, что О~А =. ЯА Ц Е, т. е. Е«АЛ! А Ц, получим: 2 тА =Е+(о 2)тА «) 4 +(о — 2)т)А = =(о — о,) тА «О.
Это означает, что В « '/,тА; следовательно, по теореме из главы 1Х, 2 3, и. б схема (34) устойчива в норме ~~ (~А. Таким образом, неравенство (40) является достаточным условием устойчивости схемы (34). Если выполнено условие 6 « -- — — ппп (6 /н), 2 2 4т (4 1) то, в силу неравенства (39), условие (40) имеет место. Поэтому неравенство (41) также является достаточным условием устойчивости схемы (34).
С х о д и м о с т ь для своего доказательства требует оценок аппроксимации. Это связано с громоздкими выкладками (см. 1301), поэтому приведем только окончательный результат. Пусть й(х, /) я /(х, /) кусочно-непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными, причем разрывы неподвижны (т. е. линии разрыва на плоскости (х, /) параллельны оси /). Выберем специпльную сетку по х, т. е. такую, что все точки разрыва коэффициентов н их указанных производных являются ее узлами; эта сетка будет, вообще говоря, неравномерной. За средний шаг этой сетки примем п,=р'(и, /т) со скалярным произведением (37).
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КРАВНЕПИЯ [гл. хт Тогда наилучшая схема (34) при вьтолнении условия устойчивости (41) равномерно сходится на специальных сетках с точностью О(тт+Ц), где к=2 при весе а=ття и к=1 при о=~з/а. Если й(х, () и ~(х, 1) дважды непрерывно дифференцируемы, то наилучшая схема при выполнении условия устойчивости равномерно сходится на произвольных (неравномерных) сетках с точностью О (т'+ Ь,"). Монотонность схемы имеет место при достаточно малом шаге по времени: . (Я1 т»з, ш!и,— "~, ~(1 о) л (42) за одним очевидным исключением; чисто неявная схема с о=1 монотонна при любых шагах. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству условия (23).
3 а меч а н не. Коэффициенты разностной схемы вычисляются с некоторымн ошибками, что может привести к искажению решения. Устойчивость разностного решения относительно изменения коэффициентов иазъшается коэффициентной устойчивостью (ко-устойчивостью) . Доказано (см. 130)), что наилучшая схема при выполнении условия (41) является ко-устойчивой. 7. Криволинейные координаты. Нередко приходится решать одномерные задачи с цилиндрической пли сферической симметрией. Например, цилиндрическая симметрия имеется в задачах об остываиин длинного цилиндра или в задачах о шнуровых электрических разрядах, где требуется определить теплопроводность н диффузию магнитного поля. Сферически-симметричными являются задачи о теплоотводе от ядра к поверхности звезды*).
Естественной системой координат в таких задачах является, соответственно, цилиндрическая (г, тр) или сферическая (г, 8, чз). Вследствие одномерности все ве.чичины не будут зависеть от углов 8, ~. Тогда параболическое уравнение с переменными коэффициентами в соответствующих координатах примет вид вт — — — — тдт (г'11')+Г(г, (), ит'= — н(г, т)8 . (43) *) Но в тех слоях звезды, где есть конвекция, перенос тепла описывается ие параболическим уравнением. Здесь т — показатель симметрии, равный О, 1, 2 соответственно для плоского, цилиндрического и сферического случаев. Для уравнения (43) можно построить консервативную схему, являющуюся обобщением наилучшей схемы (34). Для этого проинтегрируем первое уравнение (43) по элементу объема гтйгй1 ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ в пространстве г, с, а второе уравнение — по радиусу: 'л + 112 С.ь л (и — и) Г С!Г = ~ (Гп — 112% л — 112 !'л+ 112 СУ л+ 112) ССС ! сл — 1Сг С !+с лл+ 1/г -(- ~ Ш ~ 7" (г, 1) гп дг, (44а) сл — !12 лл1 !!г и„и= Й, л л л (44б) Уравнение (44а) есть интегральная запись закона сохранения энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
