Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Чтобы схема (6) была асимптотически устойчивой, ее множители роста (13) не должны превосходить по модулю величины р„ т. е. должно выполняться условие 5!П2— лай йлтс 2а йлтт — 1-1- — "~1— а2 й2 лай а2 1 — — ', 1 д-)() — 1; (18) — + 6 5!П2— 4йт 2а здесь мы преобразовали выражение (13) для ра К более удобному виду. Разумеется, достаточно выполнения этих неравенств с точностью до членов О (т'), потому что наличие таких членов приведет к умножению амплитуд гармоник на величину 11+ О (тт)1нт = = 1+(О(т)„чем при т — 2.0 можно пренебречь, даже если ! велико. Нетрудно проверить, что правое неравенство (18) всегда выполняется. В самом деле, р монотонно убывает при увеличении з)п (лдй!(2а)), т.
е. при увеличении 2). Поэтому наибольшим является р„которое с учетом малости Ь равно ( Ь)га)2 йл (йт/4йт)+а (лй)га)2 ат и совпадает с р, с точностью до членов О(т'). Рассмотрим левое неравенство (18). Величина ра минимальна при д=21! — 1, когда 5!О(л2)й)2а)-1. Подстановка этого значения в левое неравенство (18) после несложных выкладок приводит к условию асимптотической устойчивости л2й~ й2 о) — +— 2 4а2 4йт (19) Оно несколько более жестко, чем условие обычной устойчивости (14). Его можно переписать в следующем виде: т — — (2о — 1) т — ( — 7! «= О. 22Р !ай(2 л2й '1 лй7'— ат Г 2 ! лй !21 тт,= —,— ~ (2о — 1) + у (2о — 1)'+( — ) ~.
Стоящий слева квадратный трехчлен отрицателен, если т лежит между его корнями: 376 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. х! Один из корней отрицателен, а другой положителен. Поэтому условие асимптотической устойчивости (!9) принимает вид т ~ —, 12о — 1+ 1/ (2о — 1)'+ (пй/а)'1. (20) В частности, симметричная схема асимптотически устойчива не при любом т, а только при т ~ — (о= !Я. (21) Таким образом, схема (б) при любом о формально является лишь асимптотически условно устойчивой.
Однако фактически устойчивость условна только при о="'/,+О (й), когда ограничение на шаги принимает вид т.-=.й сопз1. Если же о)",.„то условие (20) требует, чтобы выполнялось неравенство т == == [2а' (2о — 1)/изй) = сопз(, и по существу схема является асимптотически безусловно устойчивой. Замечан ие. При больших / схемы с о>!/, дают низкую точность. Поэтому для таких расчетов обычно используют схему со=/м 4. Монотонность. Точное решение и(х, () уравнения и,=йи,„ при определенных условиях сохраняет монотонность. Например, если начальные данные монотонны и температура на концах отрезка постоянна, то профиль температуры будет монотонен в любой момент времени.
То же будет при постановке задачи Коши на бесконечной прямой. Выясним, сохраняет ли схема (б) монотонность решения. Ограничимся задачей на бесконечной прямой, хотя при использовании результатов надо помнить, что краевые условия тоже влияют на монотонность (если разностное краевое условие не точное, то его неудачное написание может привести к иемонотонности схемы), Для случая о=0 результат почти очевиден. Получающаяся при этом явная схема имеет форму (10.34)! 1!о =1 хат Ат А2 ' ' -' 7Я ' Необходимым и достаточным условием монотонности является неотрицательность коэффициентов р!. Видно, что если выполнено условие устойчивости этой схемы 2йт ( й', то коэффициенты иеотрицательны и схема монотонна.
В противном случае явная схема немонотонна, 377 ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ При а~О запишем неявную схему (6), полагая у„=0 н выделяя преобладающий член на новом слое: ! — а У.=~2+е — „) ~У.-е+У.ы+ —,(Уп-~+У.-)+ + ~ета 2 а ~ Уп~ (22) Напишем для уп, и уп„аналогичные выражения и подставим их в правую часть (22).
При этом появятся другие значения с нового слоя; будем их исключать тем же способом. Коэффициенты при значениях у„ а на новом слое в правой части будут при этом убывать в геометрической прогрессии. Поэтому в пределе соотношение (22) перейдет в явную схему вида (10.34) с бесконечной суммой, т. е. с бесконечной зоной влияния. Очевидно, если выполнено условие Уп=()пУп+ .~~ Рс (Уп ~+Упн), (24а) где 4ьт 4аьт (О 1 т(А+ ) ( 1 т(Л+т)пг 4апт ()с=()г-е „+, при т у = )/й'+ 4а/гт. (246) Очевидно, (),зе0 при 1==-:1 и отрицательным может быть только коэффициент ()и. Он неотрицателен„если (2 — а) йп т =4А() — а)п Это условие необходимо и достаточно для монотонности схемы (6); оно несколько слабее ограничения (23). Таким образом, неявные схемы монотонны только при очень малом шаге по времени т а'. По абсолютно устойчивым неявным схемам расчеты обычно проводят с шагом т й, не гаран- Ап 2А 0-а) ' (23) то все коэффициенты в (22) неотрицательны.
Тогда все коэффициенты в соответствующей явной схеме также будут неотрицательны. Следовательно,. неравенство (23) есть достаточное условие монотонности схемы (6). Можно получить необходимое и достаточное условие монотонности, приведя схему (22) после выполнения громоздких выкладок к явной форме (10.34): 378 (гл. хг ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ тируюшим монотонности. Единственное исключение †чис неявная схема с о =- 1, которая монотонна при любых шагах. Напомним, что достаточно гладкое решение на подробных сетках можно хорошо находить и по немонотонным схемам. На грубых же сетках, особенно при разрывных начальных данных, симметричная схема может привести к «разболтке» счета.
Чисто неявная схема даже в этих условиях дает плавно меняющееся разностное решение, хотя точность его невысока. 3 а меч а ни е. Монотонные схемы для параболического уравнения могут иметь второй порядок точности по пространству. Но, как и для уравнения переноса, для параболического уравнения не известно ни одной монотонной схемы, которая имела бы второй порядок точности по времени (хотя никаких теорем о невозможности построения таких схем не доказано). 5. Явные схемы. Явные схемы имеют важное достоинство: они просто записываются и легко программируются на ЭВМ.
Поэтому предпринималось много попыток построить для параболического уравнения и,=йип +) хорошую явную схему. Однако все эти попытки были неудачными. Например, Ричардсоном была предложена трехслойная схема, использую. шая шаблон рис. 77 с аппроксимацией производных двусторонними разностями: 1 й 2 .' (уп уп) Аз (уп-т 2уп+ упю) +(и' (26) Из симметрии схемы легко усмотреть, что локальнан погрешность ее аппроксимации есть 0(та+Аз).
Однако схема Ричардсона непригодна для расчетов, ибо она безусловно неустойчива. В самом деле, используем метод разделения переменных и сделаем подстановку у„=ехр ((ухп),.уп=рду; поскольку схема трехслойна, надо дополнительно положить уп=(1/рд) у„. Тогда для множителя роста получим квадратное уравйенйе 8йт ., ЧА р»+ — -р яп» вЂ” — 1=0, !Р д 2 (27) Рис. 77; один из корней которого нри любом д ~0 по модулю больше единицы на величину 0 (йт)дз). Дюфорт и Франкел в 1953 г.
видоизменили схему Ричардгона, заменив в правой части (26) величину уп на (уп + уп)72: ! - й 2т(Уп Уп)=й» (Уп-т Уп Уп+Упдт)+гп (28) Эта схема также явно разрешается относительно уп. Методом разделения переменных нетрудно показать, что она безусловна устойчива. Однако погрешность аппроксимации схемы (28) равна 0(тз+/гз+т»дгз), т. е. аппроксимация условная, Поэтому сходимость имеет место, только если (т!А) — «.О прн Ь-»0.
Фактически, чтобы в расчетах по схеме (28) получить точность 0(йе), надо положить йт — Ь', как в явной схеме (6). Правда, коэффициент пропорциональности а=(йг(Ь») можно брать любым, ибо его величина влияет только на ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 379 (29а) точность расчета, а не на устойчивость. Позтоиу схема Дюфорта †Френке удобнее явной схемы (6), но ненамного. Плохие качества явных схем обусловлены одним принципиальным ограничением: явная скелга для параболического уравнени может сходиться, только если (т(п) ь-О при й- О. В самом деле, пусть решение в точке нового слоя выражается через г точек исходного слоя, т. е.
через отрезок длиной гп (рис. 78). Тогда оно выражается через отрезок нулевого слоя длиной тгй=г(й!т; этот отрезок будет зоной влияния. Для точного решения зона влияния бесконечна. Значит, сходимость к точному решению при т-м О, Ь-ьО возможна, только если дополнительно (г()ут) — ь оо, т. е.
(т/Ь) -ь О, что и требовалось доказать. Этот результат можно уточнить. тг)г В п. 1 отмечалось, что для проме- Рис. 78. жутка времени т эффективной зоной влияния является отрезок й - ')Г)ет. Следовательно, условие сходимости явных схем должно иметь вид ят ( )зз. Поэтому для'параболического уравнения неявные безусловно устойчивые схемы дают лучшие результаты, чем явные. Отметим одну любопытную схему для уравнения теплопроводности — схему бгеуи(езо счета на шаблоне рис. 79. На четных слоях счет идет слева направо (рис. 79, а) по формулам (Уч Ул)=/2 (Уч-т Ул Уз+Увы)+7(хл а на нечетных слоях — справа налево (рис. 79, б) по симметрично преобразованным формулам 1 ( тт — (Уч — Ул) = Ьз (Уч-г — Уэ — Уз+ Уэ т)+) '(хл, Г+ — ). (29б) Организация расчета здесь так же проста, как в явных схемах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
