Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 101
Текст из файла (страница 101)
довательность, сходящуюся в узле Из этой подпоследовательности выберем подпоследовательность, сходящуюся в узле 5а, и т. д. В итоге построим подпоследовательность й„,(5), сходящуюся в каждом узле $! к некоторому пределу й Щ. Выберем сколь угодно малое а) 0 н положих! Л> =18(Ь вЂ” а) х '>с>)ге '. Возьмем настолько малне иа(е), .чтобы при сс (с!а(е)' во всех узлах $! с номерами ! =-.: Л' выполнялось неравенство ! йа„(Ы вЂ” й ($!) ~.=-: е/3.
Интервал между соседними узлами настолько мал, что в силу (58) значения й„а(5!) в соседних узлах будут различаться меньп>е, чем на е73. Тогда значения йД!) в соседних узлах с номерами ! =Л> будут различаться меньше чел! на а. Отсюда, во-первых, следует, что функцию й 1с) можно доопределить во всех точках отрезка а=--$==Ь так, что она будет непрерывной. Во-вторых, подпоследовательность й„$) равномерно сходится к доопределенной функции й(5).
Функции й Я) являются решением задачи (42) с правой частью 7(х). Подставляя их в эту задачу и переходя к пределу при аа- О, мы убеждаемся, что' й(с) является решением этой задачи при к=О, т. е. решением задачи (41). Поскольку реше- 4«3 НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ ние последней задачи единственно, то й(~) =й($), что противоречит сделанному в ходе доказательства предположению.
Это противоречие доказывает теорему. Теорема 3. Алгорсспслс (4 ) при п=1 обеспечиваесп сильную регуляризацссю. Доказательство. Пусть точной правой части 1(х) соответствуют точное решение и ($) и регулярнзован~ое решение й„(6), а приближенной правой части 1(х) соответствует регуляризованное решение й, (ь). Зададим сколь угодно малое а ) О. По теореме 2 найдется такое а,(е), что !!й„— й!!с=ес2 при а а»(е).
Согласно теореме 1 задача (42) корректна, так что при любом заданном а) О найдется такое 6(а), что если !!1 — 1!!~6(а), то !! и„— сс„!!с ~«е/2. Следовательно, если а ~«с,(е) и !!1 — 1!! «.--6 (а), то !! йа и !!с ~ !! йа йа !!с+ !! йа и !!с ~ е. Это соответствует определению сильной регуляризации (см. п. 1); теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 2. Поясним действие регуляризации простыми рассуждениями. Пусть правая часть Ф(«) получила возмущение Оес:; тогда решение получит возмущение уе'"'. Прибавляя эти возмуссссния в (53а) и оценивая каждое слагаемое по порядку величины, получим Рассмотрим поведение возмущений при больших частотах.
Если а=О, то у сер, т. е. возмущения решения велики, и расчет неустойчив. Регуляризации нет. Если а-„'=О, но и=О, то у р,са, т. е. возмус)сенин решения по порядку величины равны возмущениям правой части, и расчет становится устойчивьсм. «1ем больше сс', тем меньше возмущения решения и «разболтка» в численном расчете. Но сдвиги фаз отдельных гармоник приводят к тому, что сходимость будет только среднеквадратичной (слабая регуляризация). Если п=1, то у рсаьс» и возмущения решения для высоких частот малы. Значит, расчет хорошо устойчив и и„($) равномерно сходится к и (с) (сильная регуляризацпя). При и ) 1 амплитуды у„, настолько быстро убывают при св-с-ж, что обеспечивается равномерная сходимость не только регуляризованного решения, но и его (и†1)-й производной. 4. Некоторые приложения. 1-!екорректные задачи встречаются в практике вычислений довольно часто.
К ним относятся, напри- ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !Гл. Х!У мер, сглаживание и дифференцирование экспериментально измеренных функций, суммирование рядов Фурье с неточно заданными коэффициентами, решение плохо обусловленных линейных систем, задачи оптимального управления, аналитическое продолжение функций, линейное программирование (оптимальное планирование), обратные задачи теплопроводности и геологической разведки, восстановление переданного сигнала по принятому при наличии искажений аппаратуры и многие другие, Некоторые из этих задач встречались в предыдуших главах. Покажем, как они регуляризируются вариационным методом.
Для определенности ограничилгся сильной регуляризацисй, полагая и =-1 в формулах (42) или (53). С г л а ж и в а н и е ф у и к ц и и. Пусть функция 1(х), а «х =. Ь, измерена экспериментально и содержит заметную случайную погрешность. Тогда математическая задача имеет вид и (х) =1(х); ее можно записать в каноническом виде А [х, и($)1=-)(х), полагая А [х, и(с)) ==-и(х). Подставляя последнее выражение в измененную задачу (42), составим уравнение Эйлера (53): и ~ — „(рт- -) — ри (х) 1 — и (х) + 1(х) =- О, и' (а) = и' (Ь) .= О.
(61) Таким образом, сглаженная функция и(х) удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, для которого поставлена вторая краевая задача. Методы численного решения этой задачи подробно разобраны в главе И11. Замеча нне 1. Весовые функции р,(х) и р,(х) выбирают, исходя из дополнительных сведений о виде функции 1(х) и величине погрешности б) (х). Например, р„(х) целесообразно брать болыпими в тех диапазонах значений х, где погрешность 51(х) особенно велика.
Если подобных сведений цет, то обычно полагают р, (х) = р, (х) = 1. 3 а м е ч а н и е 2. На концах отрезка [а, Ь) погрешность сглаживания может быть значительна, поскольку краевые условия второго рода в (61) не соответствуют, вообще говоря, истинному поведению функции. 3 а м е ч а н и е 3. Можно уменьшить погрешность сглаживания вблизи концов отрезка [а, Ь), если воспользоваться регуляризацией более высокого порядка (см.
задачу !О). Однако, как отмечалось в п. 2, при этом могут исказиться качественные особенности решения (типа, наприьиер, узких экстремумов). Д нфферен ц ир ова н ие. Задачу дифференцирования и (х) = =-('(х), а .-.х === Ь, можно записать в виде уравнения Вольтерра первого рода (36): ~ и (6) г(с = 1(х) — ) (а), НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 475 (64) с.= с коэффициенты которого р, заданы приближенно. Эту задачу можно рассматривать как сглаживание неточно заданной функции Г" (х). Воспользуемся для ее решения уравнением (61), где в качестве Рь(х) и Р,(х) выбРаны веса, входЯщие или, формально, в виде уравнения Фредгольма первого рода с разрывным ядром: ь ~К(х, ')иф)с($=)(х) — )(а), а==х~Ь; (62а) а К (х, $) =- 1 при а -= з =:= х ( Ь, (626) К (х, Д) =- О и р и с ) х, Поскольку требование непрерывности ядра не является сущест- венным, применим к этой задаче алгоритм (53).
Легко получим ь Я(ь„с)) = К(х, $) К(х, т1) с(х=Ь вЂ” псах (ь, с)), и ь ь Ф Д) = ~ (Г (х) — ) (а)) К (х, $) с(х = ~ (р (х) — Г" (а)) с(х. и Отсюда вытекает, что регуляризованное решение удовлетворяет следующему исстегро-дифференциальнолсу уравнению и краевым условиям: Г сС Г ЮсС вЂ” и —; ~ р, 6) —. — р, Ф %~+ ий с ий с ь ь + ~ (Ь вЂ” с) и (й) с(О+ ~ (Ь вЂ” т)) сс (с)) с(с1 = $ 1Р (х) — Г (а)|с(х, (63) а с с и' (а) =- О, и' (Ь) =- О. К этой задаче также относятся сделанные выше замечания о выборе весовых функций, о значительной погрешности на концах отрезка 1а, Ь1 и возможностях ее уменьшения.
Сулим и р ова иие р яда Ф ур ье. Пусть задана полная орто- нормированная система функций ср,(х), которую можно рассмат- ривать как систему собственных функций некоторой задачи Штурма — Лиувилля: -„- — ~рл(х)-„+Гр„(х)+Цср(х) =О, ср'(а) =О, ср'(Ь) =О. Требуется просуммировать ряд Фурье р (х) = „'л р,ср, (х), (65) 476 ГЛ. ХШ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ в задачу Штурма — Лиувилля (64). Будем искать регуляризованное решение также в виде ряда Фурье: СО и (х) = ~ у,ср, (х). (66) Подставляя (66) и (65) в (61) н учитывая (64), получим 1+аЛо ' Р5 (6 ) 7 где ), 0 — собственные значения задачи Штурма — Лиувилля (64), Этот способ регуляризации приводился без доказательства в гл. П, $ 2, и. 3.
Плохо обусловленные линейные системы Аи=г", где и и 7" — конечномерные векторы, можно регуляризировать, записывая их непосредственно в вариационной форме (42) и выбирая п=-0: '5Аи — ~~)о+айи~~о=ш(п, 'йа ~~о=(а, а). (68) Формально Н=О соответствует слабой регуляризации. Но в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, поэтому сходимость регулярнзованного решения к точному при а-о.О является равномерной.
Уравнение (68) означает, что среди решений, приближенно удовлетворяющих исходной задаче, ищут вектор наименьшей длины. Часто рассматривают более общую постановку: !) Аи — 7()о+ а Г и — ио (Р = ш1п, (69) которая определяет норииланое решение — приближенное решение, наименее отличающееся от заданного вектора и,. Ее используют, например, в задачах линейного программирования (см. гл. И1, % 3). Поскольку (69) является квадратичной формой относительно и, то нахождение ее минимума сводится к решению линейной алгебраической системы (АНА + аЕ) и = А "7" + аио.
(70) Благодаря слагаемому аЕ эта система хорошо обусловлена, по крайней мере, при не слишком малых а- О. Поэтому ее нетрудно решить методом исключения Гаусса. Описанный алгоритм применяют также для решения систем с вырожденной матрицсй А. 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
