Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Разностные схемы. При вариационном методе регуляризации численно решать приходится либо задачу на минимум функционала (42), либо краевую задачу для интегро-ди1)хреренциального уравнения Эйлера (53). К этим задачам целесообразно применять разностные методы. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ 477 (71б) л =о где с =1 пРи 1«лт=лМ вЂ” 1, со=си =1/2, Ьл=-1 при 1«ис="Лг — 1, Ьо — — Ьи= ?2.
Подставляя (72) — (7б) в (71) и Обозначая разностное решение через у, получим вместо (71) алгебраическую задачу и г м 12 'У, 'Ь.~й ~ с К. у — ~.) + Л=О 1Л=-О и М вЂ” 1 +айе ~~ с„у' + — - г (у,— у„,)'= ппп (77) 1-О 1Л = О на минимизацию квадратичной формы. (7б) Дадим пример построения разностной схемы, исходя из,ва- риационной формулировки (42). Введем на прямоугольнике (с « «х«г(, а=="$=Ь) сеткУ (хл, Е, О«и«йг, 0-=т«М) так, что х,=с, хА =-д, Ко=а, $м = Ь. Для простоты ограничимся слу- чаем равномерных сеток х„=с+ай„$ =а+тйы сильной регу- ляризации и единичных весовых функций роф=Р. Я) =1.
Задача (42) при указанных ограничениях принимает вид ~ 18(х))2 г(х+а ~ ~ио ($) + ~-„— ")~ 112$= ш)п, (71а) б (х) = ~ К (х, 4) и 5) гф — ~ (х), а где величина, обозначенная через 6(х), имеет смысл невязки ис- ходной нерегуляризованной системы при подстановке в нее регу- ляризованного решения. Аппроксимируем входящие в (71) интег- ралы квадратурными формулами, использующими значения функ- ций в узлах сетки. Для этого ~(и')огф вычислим по формуле средних (4.17), одновременно заменяя производную разностью: гллаг ~ ( — ал) ТЦ вЂ” йе( — ~, =йе( " " ) .
(72) ллг Остальные интегралы вычислим по формуле трапеций (4л8): ь М )ио(~)г($ йХ '5; с„и'„, и =и(й„); (73) а Л1 = О )К(х„, $) и(Е) г($ йл ~ч, 'с„Кл„,илл Кл =К(хл, $ ); (74) а лг =- о ~ [6 (х)12 г(х =11 '5", Ь„18 (хл))', (?5) 478 интегРАльные уРАВнения 1гл хш Для решения этой задачи приравняем пулю производные от левой части (?7) по у . Получим систему уравнений, линейных относительно уо,: оку„,— Л(у )+ЬЕ 'о сг(;),р,=Ф, О =по =М; (78а) г,« 1=о Л (уо,) =- „- (у „— 2д +у,„,з) прн 1== т-.= М вЂ” 1, 1 1 1 Л (ро) = „. .(р — ро) "$ 1 Л (рог ) == Ь, (рм з — рм) 6 где м м Фа~ =Ь«,~, 5«К««Ц«н Ф~=Ь«.5', Ь«К,~(,. (78В) «=о «=о ЗАДАЧИ 1.
Показать, что интегральное уравнение (й — а) х+ (Ьи — ай) — (Ь вЂ” а) и (х) =- о х = [х — а) ) (Ь вЂ” 5) 7 (ь, и $)) г11+ (Ь вЂ” х) ~ (еь — а) 7 (еь, и (о)) аа х о (79) аквивалентно краевой задаче дли дифференнналы<ого уравнении и" (х)=1(х, и), и(а)=и, и(Ь)=(). Матрица системы (78) является, вообще говоря, плотно заполненной; поэтому обычно эту систему решают методом исключения Гаусса. На исследовании полученной разностной схемы не будем останавливаться, поскольку сходные вопросы были рассмотрены в главе тгП, 9 4. Отметим только, что схема (77) или (78) имеет аппроксимацию 0(Ь;„'+Ьа), если ядро и правая часть непрерывны со своими вторыми производными.
Замечание 1. Если умножить уравнение (78а) на с„, то матрица этой линейной системы станет симметричной. Тогда для решения этой системы мохтно будет применить метод квадратного корня (который вдвое быстрей метода Гаусса). Замечание 2. Нетрудно видеть, что Я,„, и Ф являются разностнымн аналогами ядра и правой части (535) интегродифференциального уравнения Эйлера. Выражение Л (у ), возникшее при дифференцировании последней суммы в (77), есть разностный аналог дифференциального оператора в уравнении (53а).
Поэтому система (78) аппрокснмнрует также задачу регуляризации в форме уравнения Эйлера (53), причем выражения Л(уо) и Л(ум) учитывают краевые условия (53в). задачи 2. Записать уравнение (79) в каноническом виде (1); найти выражение для ядра К (х, $, и). 3. Для уравнения Вольтсрра (7) составить разностную схему и полный ал- горитм вычислсния развостного решения, используя формулу трапеций с рав- ночерным шагом, 4.
Для двумерного уравнения Фрсдгольма (6) составить разностную схему, используя в качестве кубатурной формулы произведение одномерных формул Гаусса. б. В методе последовательных приближений для уравненвя (6) выразить и„(х) через и, (х) при помощи рекуррентного соотношения (16). 6. Доказать, что нз соотношения (20) следует оценка (21). 7. Учитывая, что уравнение [23) имеет вырожденное ядро, а) найти его точное решение; б) сделать то же для ) (х) =-з!и х, 8. В уравнении (23) так подобрать правую часть 1(х), чтобы при Л=2 существовало решение, 9. Доказать утверждение, сформулированное в 6 1, п. 5, замечании !.
10. Для задачи сглаживания функции и (х)=-) (х) написать уравнение и краевые условия париационной регулярнзации с и =2. Обсудить влияние и на погрешность сглажнвання вблизи границ, для простоты полагая р„ [х)= — 1 и рь(х)=0 при й(гп 11. Регулярнзирозать задачу р.кратг ого дифференцирования и (х) =Дш (х), используя запись этой задачи в виде интегрального уравнении х — (х .)л-' и Я 6е =) (х), 1 М-!) ) (80) а 12.
Аппроксимировать разностной схемой краевую задачу для уравненич Вйлера (53); сравнить ее с разностной схемой (78). 13. Составять разностную схему для регуляризации однократного диффе- ренцирования, если !'(х) задана а) на равномерной сетке, б) на неравномерной сетке. ГЛАВА Хч' СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА В главе ХЧ рассмотрены основные вопросы статистической обработки результатоа зксперименса: определение наиболее достонерного значении измернемой величины и погрешности этоса значения по нескольким измеренинм, оценка достоверности различия двух близких величии, установление досзоверной функциональной зависимости между двумя величинами и аппроксимация этой зависимости.
Глава носит нспомагательвый характер. Материал в ней изложен в справочной форме, без доказательств. Обоснование и более подробное изложение приведенных методов имеется, например, в [7, 26, 43]. 1. Ошибки эксперимента. Численные методы часто применяют при математическом моделировании физических н других процессов. Результаты расчетов в этом случае сравнивают с экспериментальными данными и по степени их согласованности судят о качестве выбранной математической модели. Чтобы обоснованно сделать заключение о соответствии или несоответствии, вычислитель должен знать, что такое погрешность эксперимента и как с ней обращаются, а также уметь в случае необходимости провести статистическую обработку первичных данных эксперимента. Кроме того, задача статистической обработки эксперимента представляет самостоятельный интерес, поскольку ояа очень важна в тех приложениях, когда или требуется особенно высокая точность (например, уравнивание триангуляционных сетей в геодезии), или разброс отдельных измерений превосходит исследуемый эффект (что нередко встречается в физике элементарных частиц, химии сложных соединений, испытании сельскохозяйственных сортов, медицине и т, д.).
Обычно, чем точнее эксперимент, тем более сложной аппаратуры он требует и дороже обходится. Однако хорошо продуманная математическая обработка результатов в ряде случаев позволяет выявить и частично исключить ошибки измерений; это может оказаться не менее эффективным, чем использование более дорогой и точной аппаратуры. В этой главе будет рассмотрена статистическая обработка, позволяющая существенно уменьшить и аккуратно оценить случайную ошибку измерений. гл. хтч СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА 481 Ошибки эксперимента условно разбивают на систематические, случайные и грубые; рассмотрим их подробнее. Систематические ошибки — это те, которые не меняются при многократном повторении данного эксперимента.
Примерами таких ошибок являются пренебрежение выталкивающим действием воздуха при точном взвешивании или измерение тока гальванаметром, нуль которого неправильно установлен. Различают трн вида систематических ошибок. а) Ошибки известной природы, величину которых можно определить; их называют поправками. Так, при точном взвешивании рассчитывают поправку на выталкивающее действие воздуха и прибавляют ее к измеренной величине. Внесение поправок позволяет существенно уменьшить (или даже практически исключить) ошибки такого рода. Заметим, что иногда расчет поправок бывает самостоятельной сложной математической задачей. Например, некорректно поставленная задача (14.2) о восстановлении переданного радиосигнала по принятому является, по существу, нахождением поправки на искажение принимающей аппаратуры, б) Ошибки известного происхождения, но неизвестной величины.
К ним относится погрешность измерительных приборов, определяемая их классом точности. Для таких ошибок обычно известна только верхняя граница, а как поправки их учесть нельзя. в) Ошибки, о существовании которых мы не знаем; например, используется прибор со скрытым дефектом пли изношенный, фактическая точность которого существенно хуже, чем обозначено в техническом паспорте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
