Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Каждая лаборатория делает при измерениях систематические ошибки, и часть систематических ошибок в разных лабораториях совпадает, а часть — различается. При совместной обработке различаюшиеся систематические ошибки переходят в разряд случайных, увеличивая стандарт. Значит, при совместной обработке разнотипных измерений обычно систематическая ошибка значения х будет меньше, а случайная — больше. Но случайную ошибку можно сколь угодно уменьшить, увеличивая число измерений. Поэтому такой способ позволяет получить окончательный результат с большей точностью.
Замечание 3. Если в разных лабораториях используется оборудование разного класса точности, то при такой совместной обработке надо суммировать с весами р,:. 1 чз л Х = — та р!хг, аа = т рг(х! — х)', )з' = 1) р„ (!0) Д ~~а ' (л — 1) )7 л',а г=! 1= 1 г=- ! где р, относятся, как квадраты точности приборов. Произвольное распределение. Чаше всего число измерений и невелико и заранее неясно, можно ли считать распределение т)„ нормальным и пользоваться приведенными выше крйтериями.
Для произвольного распределения р(х) справедливо неравенство Чебышева Р(1х — М$) ~ Я) в,. ОБ Отсюда можно оценить доверительный интервал: 1 /г йь Оа~ Ол 1 — Ра 487 гл. хч) СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА Коэффициент (1 - р,)-" в этой оценке приведен в дополнительной строке таблицы 23. Из таблицы видно, что если в качестве доверительной вероятности принять р, = 0,95, то для произвольного закона распределения с'известной дисперсией доверительный интервал не превышает 5о„. Для симметричного одновершинного распределения аналогичные оценки показывают, что доверительный интервал не превышает Зо„; напомним, что для нормального распределения он равен 2а„(при выбранном р,=0,95).
Разумеется, если вместо о„используют найденное по тем же измерениям значение з„, то надо строить критерий, аналогичный критерию Стьюдента. Оценки при этом будут существенно хуже приведенных. Проверка нормальности распределения. Из сравнения критериев (6) и (11) видно, что даже прн невысокой доверительной вероятности р4~0,9 оценки доверительного интервала при произвольном распределении вдвое хуже, чем при нормальном. Чем ближе рь к единице, тем хуже соотношение этих оценок.
Поэтому целесообразно проверять, существенно ли отличается распределение р (х) от нормального. Распространенный способ проверки — исследование так называемых центральных моментов распределения: +СО т„= ~ (х — в4$)" р(х)йх, й=!,2,... (12) Два первых момента, по определению, равны т,=0, ть.=(.)$ = = о'. Для нормального распределения два следующих момента равны т,=0, т,=ЗО'. Обычно ограничиваются этими момен. тами.
Вычисляют их фактические значения по проведенным измерениям и проверяют, согласуются ли они со значениями, соответствующими нормальному распределению. Удобно вычислять не сами моменты, а составленные из них безразмерные комбинации — асимметрщо А =о'ть и эксцесс Е = = о 'т4 — 3; для нормального распределения они обращаются в нуль. Аналогично дисперсии, аычнгчнм их по несмещенным Оценкам: А ,7, (х; — х)', Е = , т (х; — х)4 3, (13) 1 м(л — 1) 4~4 ' ' 44 (л — 1) „~4 4=! где з Определяется формулой (8). Собственные дисперсии этих величин известны и зависят только от числа измерений: в(л — 1) () Е 24л(и — 2) (л — 3) 414 (л -1- 1) (и -1- 3) ' ( ) (л + 1)4 (л + 3) (и + 3) ' 488 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА [гл. ху причем собственное распределение А является симметричным.
Поэтому, если выполняются соотношения !А!(3)/0(А), !Е/==5)/П(Е), (15) то по критерию Чебышева (11) отличие А и Е от нуля недостоверно, так что можно принять гипотезу О нормальности распределения р (х). Формулы (13) — (15) непосредственно относятся к распределению единичного измерения. На самом деле надо проверить, нормально ли распределение среднеарифметического т1, при выбранном п. Для этого делают большое число измерении А! = гп, разбивают их на г групп по и измерений в каждой и среднее значение в каждой группе х рассматривают как единичное измерение.
Тогда проверка выполняется по формулам (!3) — (!5), где вместо п надо подставить г. Разумеется, такую тщательную проверку проводят не в каждой измеряемой точке, а лишь во время отработки методики эксперимента. 3 а м е ч а н и е 4. Аналогично проверяют любые естественнонаучные гипотезы. Производят большое число экспериментов н выясняют, нет лн среди них событий, маловероятных с точки зрения этой гипотезы.
Если найдутся такие события, то гипотезу отвергают, если нет — условно принимают. ((Ро и) ~ , )уо $' л (16) где коэффициенты Стьюдента !(Р„и) данпся таблицей 23. Из таблицы 23 видно, что при и = 2 доверительный интервал чересчур велик, так что следует производить не менее 3 — 4 измерений.
При дальнейшем увеличении п коэффициенты Стьюдента убывают слабо и доверительный интервал з„ сужается почти пропорционально п-из, т. е. довольно медленно. Поэтому обычно считают нецелесообразным брать л -> 5 — 10, так как возрастающая трудоемкость эксперимента не оправдывается достигаемой точностью. Выбор и. За счет увеличения числа измерений п можно неограниченно уменьшать доверительный интервал. Однако систематическая ошибка йо при этом не уменьшается, так что суммарная ошибка все равно будет больше !)а.
Поэтому целесообразно выбрать п так, чтобы ширина доверительного интервала составляла 50 — 100;4 !)е. Дальнейшее увеличение числа измерений бессмысленно. Чтобы найти удовлетворяющее этому требованию и, надо отдельные точки измерить достаточное число раз, вычислить стандарт з, убедиться в нормальности распределения т)„и на основании критерия Стьюдента (9) подобрать такое а, чтобы выполнялось неравенство ГЛ.
ХР1 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА 489 П р имер 2, Отношение систематической Ошибки к стандарту выборки оказалось рь/в=0,8, и принята доверительная вероятность р, = 0,95. Возьмем соответствующий столбец таблицы 23 н будем перебирать по очереди п= 2„ 3, ..., пока не получим 1(р„ п)ф' и( 0,8; этому условию удовлетворяет и = 9. О б н а р у ж е н и е г р у б ы х о ш и б о к. Отличить грубую ошибку от случайной не всегда легко. Если число измерений мало, то широк доверительный интервал и даже значительные отклонения от среднегб в него укладываются.
Если же и велико, то возрастает вероятность того, что хотя бы одно измерение сильно отклонится от среднего случайно, т. е. на законном основании. Пусть сделано и измерений и вычислены среднее х и стандарт в. Чтобы с вероятностью р, ии одно из этих измерений ие отличалось от М$ более чем на. Некоторое б, каждое измерение должно оставаться в указанных пределах с вероятностью ~Гр,, т. е. должно выполняться условие р',~х; — МЕ! 8)=..~ р. (17) Предполагая, что $ имеет нормальное распределение, сравнивая (17) с критерием Стьюдента (9) и учитывая, что величина з вычислена по всей выборке, а применяется к отклонению единичного измерения, получим 6 = г,у'рт, ~г) в.
(18) Вместо неизвестной величины М$ мы вынуждены подставлять в (17) величину х, иглеющую доверительный интервал р = = 1(р„п) ЕД' и. Сравним неравенства ,,х,— Мй',(б, ~х — МЕ~~Р; поскольку они носят вероятностный характер, то к ним надо применять не неравенство треугольника, а суммирование квадратов, что дает (х; — х~(Р бь+$'. (19) Подставляя сюда найденные б и р, можно сделать следующий вывод: Если для всех измеренных величин выполняется оценка ! хс — х ~ =-з ~~'(ъГрт и)+ —. Р(рь п))и, (20) то нет оснований считать одну из них грубо ошибочной. Если какое-либо измерение не укладывается в пределы (20), то его можно считать грубо ошибочным и отбрасывать. Общепринятых критериев для выбора вероятности рт нет; естественно полагать р„== р,. 490 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА !Гл.
хч Пр имер 3. Пусть проведено п=10 измерений и выбрано р,=р,-0,9. Тогда р!!л=0,99 и вычисления по формуле (20) при помощи таблицы 23 дают ~х; — х~«=З,Зз. Если при той же вероятности р, взять п = 100, то получим условие ~ х, — х ~ ~ 4,8з. 3. Сравнение величин. Сначала рассмотрим задачу сравнения величины х, измеряемой в эксперименте, с константой а. Величину х можно определить лишь приближенно, вычисляя среднее х по и измерениям. Надо узнать, выполняется ли соотношение ЬЦ- а. В этом случае ставят две задачи, прямую и обратную: а) по известной величине х найти константу а, которую М$ превосходит с заданной вероятностью р„; б) найти вероятность р, того, что М$)а, где а — заданная константа. Очевидно, если х с. а, то вероятность того, что М$ ~а, меньше '/о.
Этот случай не представляет интереса, и далее будем считать, что «х~эа и ро)«/о. Задача сводится к задачам, разобранным в п. 2. Пусть по п измерениям определены Х и его стандарт з„: л л х = !! —,~~ хь з'; = „— ((„ив !) ~ (х! — «)'. (21) о ! Число измерений будем считать не очень малым, так что х есть случайная величина с нормальным распределением. Тогда из критерия Стьюдента (9) при учете симметрии нормального распределения следует, что для произвольно выбранной вероятности р, выполняется условие р(йй$--~- (р„)з.)=- (+р,). (22) Полагая р,='/о(1+р,), перепишем это выражение в следующем виде: р(М$~а) =-ро, а.— х — /(2ро — 1, п)зл, (23) где 1(р„п) — заданные в таблице 23 коэффициенты Стьюдента. Тем самым, прямая задача решена: найдена константа а, которую с вероятностью р, превышает МБ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
