Н.Н. Калиткин - Численные методы (1133437), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Обратная задача решается при помощи прямой. Перепишем формулы (23) следующим образом: / (2р, — 1, и) = "—, р (М$ =- а) = р,. (24) зл Это значит, что надо вычислить 1 по известным значениям а, х, зл, выбрать в таблице 23 строку с данным. п и найти по величине/ соответствующее значение р,. Оно определяет искомую вероятность р,=!/о(1+Р!). гл. хч! СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА ! х= — „- ~1 х;, 1 у=я- Х уу (25) у= ! Эти средние сами являются случайными величинами, причем их стандарты (не путать со стандартами единичных измерений!) при- ближенно определяются несмещенными оценками: 1 з,'„= „„, ~~! (х! — х)', з' Р—— , ~)„(уà — у)', (28) к=! !=! Поскольку эксперименты независимы, то случайные величины х н у также независимы, так что при вычислении е их математи- ческие ожидания вычитаются, а дисперсии складываются: т=М~=М) — М$=у — х, 0е=вх =з„',+з'„„.
(27) (28а) Две случайные величины. ЧЕСТО требуется установить влияние некоторого фактора на исследуемую величину— например, увеличивает ли (и насколько) прочносТь металла определенная присадка. Для этого надо измерить прочность исходного металла х и прочность легированного металла у и сравнить эти две величины, т. е.
найти г=у — х. Сравниваемые величины являются случайными; так, свойства металла определенной марки меняются от плавки к плавке, поскольку сырье и режим плавки не строго одинаковы. Обозначим эти величины через $ и Ч. Величина исследуемого эффекта равна Мь = Мт1 — М$, и требуется определить, выполняется ли условие Мь» а. Таким образом, задача свелась к сравнению случайной величины ь с константой а, разобранному выше. Прямая и обратная задачи сравнения в этом случае формулируются следующим образом: а) по результатам измерении х; и ут найти константу а, которую МЬ !!ревосходит с заданной вероятностью рь (т. е: оценить величину исследуемого эффекта); б) определить вероятность р, того, что Мь»а, где а — желательная величина эффекта; при а=О это означает, что надо определить вероятность, с которой Мт1» М$.
Для решения этих задач надо вычислить г и дисперсию этой величины. Рассмотрим два способа их нахождения. Независимые измерения. Измерим величину х в н экспериментах, а величину у — в т экспериментах, независимых от первых п экспериментов.
Вычислим средние значения по обычным формулам: 492 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЬРАЬОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА 1гл. ху Несколько более точная оценка дисперсии такова: и П3 1 и=!,. „(-„'е —.'!~~! — )-~ ! (а, )~. (ааа! /=- ! != — ! Таким образом, 2 и ее дисперсия найдены, и дальнейшие вычисления производятся по формулам (23) или (24). Согласованные измерения.
Более высокую точность дает другой способ обработки, когда в каждом из и экспериментов одновременно измеряют х и у. Например, после выпуска половины плавки в оставшийся в печи металл добавляют присадку, а затем сравнивают образцы металла из каждой половины плавки.
При этом, по существу, в каждом эксперименте измеряют сразу значение е,=у! — х! одной случайной величины ь, которую надо сравнить с константой а. Обработка измерений тогда производится по формулам (21) — (24), где вместо х надо всюду подставить г. Дисперсия при согласованных измерениях будет меньше, чем при независимых, поскольку она обусловлена только частью случайных факторов: те факторы, которые согласованно меняют $ и т1, не влияют на разброс их разности. Поэтому такой способ позволяет получить более достоверные выводы.
Пр имер. Любопытной иллюстрацией сравнения величин является определение победителя в тех видах спорта, где судейство ведется «на глазок» вЂ” гимнастика, фигурное катание и т. д. Таблица 24 Судейские оцеики в баллах В таблице 24 приведен протокол соревнований по выездке на Олимпийских играх !972 г. Видно, что разброс судейских оценок велик, причем ни одну оценку нельзя признать грубо ошибочной и откинуть. На первый взгляд кажется, что достоверность определения победителя невелика. Рассчитаем, насколько правильно определен победитель, т. е. какова вероятность события Мь .э О.
Поскольку оценки обеим всадникам выставлялись одними и теми же судьями, можно воспользоваться способом согласованных измерений. По таблице 24 вычисляем 2 = + 8,8 и а„, = 5,9; подставляя в формулу (24) эти значения и а = О, получим 1(рх, п) = 1,5. Выбирая в таблице 23 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА 493 Гл.
хч) строку п=5, находим, что этому значению г соответствует р, = = 2р,— 1= — 0,8. Отсюда ро=0,9, т. е. с вероятностью 90% золотая медаль присуждена правильно. Сравнение по способу независимых измерений даст несколько худшую оценку, поскольку оно не использует информацию о том, что оценки выставляли одни и те же судьи. С р а в н е н и е д и с и е р с и й.
Пусть требуется сравнить две методики эксперимента. Очевидно, точнее та методика, у которой дисперсия о' единичного измерения меньше (разумеется, если при этом не увеличивается систематическая ошибка). Значит, надо установить, выполняется ли неравенство о ~ о„. О дисперсиях единичных измерений судят по стандартам выборок хз —.— —, С (х; — х)", х"; =, ~за (у, — Р)', (29) вычисленным соответственно по гг и т измерениям. Эти стандарты сами являются случайными величинами. Однако сравнивать их на основании критерия Стьюдента нельзя, поскольку распределение Б не гауссово.
Нетрудно видеть, что оно является асимметричным: значения х(0 невозможны, а сколь угодно большие Б >О возможны. Дисперсии сравнивают по критерию Фишера. Если —;,.эг(п, т; р„), (80) 5 то с вероятностью р„первая дисперсия больше второй. Коэффициенты Фишера* ) для случаев п=т, п=сО, т=оэ приведены в таблице 25. При малых п, т эти коэффициенты довольно велики; поэтому различие дисперсий можно установить только в том случае, если это различие велико или велико число экспериментов.
Замечание. Критерий Фишера позволяет также найти отношение дисперсий. Если выполнено неравенство — '„)аг (и, т; р,), (з)) то с вероятностью р, первая дисперсия в а раз больше второй. Методы, изложенные в пп. 2 и 3, применимы не тольно к измерениям непрерывных величин, но и для суждения об очень большой партии объектов (генеральной созокунносгли) по небольшой случайной выборке нз п объектов. Эти формулы и критерии применяются в статистике, социологии, выборочной оценке больших партий товара и т.
д. В статистике н социологии законы распределения величин нередко сильно отличаются от нормального, и выяснение закона распределения играет там большую роль. ') Их называют также квонглиляни Фишера. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА [гл. ху Таблица 25 Коуффициеиты Фишера Р (л, ст; ра) Р ~ О,В О,йй 0,975 О,ййй О,йуб 0,999 «- !=т — ! Случай л = лс Случай л = со сл — с Случай т = со л — ч 4.
Нахождение стохастической зависимости. Пусть требуется исследовать зависимость г(х), причем обе величины г и х измеряются в одних н тех же экспериментах. Для этого проводят серию экспериментов при разных значениях х, стараясь сохранить прочие условия эксперимента неизменными. Измерение каждой величины содержит случайные ошибки (систематические ошибки здесь рассматривать не будем); следовательно, эти величины являются случайными. Закономерная 1 2 3 5 б 12 24 2 3 4 5 6 12 24 1 2 3 4 5 6 12 24 9,5 16! 648 4,0 19 39 29 93 15 2,5 6,4 9,6 2,2 5,0 7,2 2,! 4,3 5,8 1 7 2 7 3 3 1,4 2,0 2,3 1,0 1,0 1,0 16 254 !018 4,5 19 40 3,0 8,5 14 2,4 5,6 8,3 2,1 4,4 6,0 2,0 37 4,9 1,5 2,3 2,7 1,3 1,7 1,9 1,0 1,0 1,0 1,6 3,8 5,0 1,6 З,О 3,7 1,6 2,6 8,1 1,5 2,4 2,8 1 5 2 2 2 6 1,4 2,1 2,4 1,3 1,8 1,9 1,2 1,5 1,6 1,0 1,0 1,0 4052 16 211 99 199 29 47 1б 23 !! 15 85 11 4,2 4,9 2,7 3,0 1,0 1,0 6366 25465 100 200 26 42 13 19 9,0 12 69 89 3,4 3,9 2,2 2,4 1,0 1,0 6,6 7,9 4,6 5,3 3,8 4,3 3,3 3,7 З,О 3,4 2 8 3 ! 2,2 2,4 1,8 1,9 1,0 1,0 4,1Х10а 999 141 53 30 20 7,0 3,7 1,0 6,4Х10а 1000 124 44 24 16 5,4 3,0 1,0 1! 6,9 5,4 4,6 4,! 3,7 2,7 2,1 1,0 гл.
ху! СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОНРАБОТКЛ ЭКСПЕРИМЕНТА 495 связь случайных величин называется стохастической "). Будем рассматривать две задачи: а) установить, существует ли (с определенной вероятностью) зависимость г от х или величина г от х не зависит; б) если зависимость существует, описать ее количественно. Первую задачу называют дисперсионмы,и анализом, а если рассматривается функция многих переменных г (х, у, ...) — то тнного4акторнося днсперснонным анализом. Вторую задачу называют анализом регрессии. Если случайные сшибки велики, то они могут маскировать искомую зависимость и выявить ее бывает нелегко. Без ограничения общности можно считать, что величина х измеряется точно. В самом деле, если г от х не зависит, то ошибка бх ни на что не влияет.
Если же зависимость существует, то ошибка бх эквивалентна дополнительной ошибке зависимой переменной бг = (с(г/т1х) бх. Таким образом, достаточно рассмотреть случайную величину ь(х), зависящую от х как от параметра. Математическое ожидание этой величины йяь(х) =г(х) зависит от х; эта зависимость является искомой и называется законом регрессии, Дисперсионны й анализ. Проведем при каждом значении х; небольшую серию измерений и определим гв (! !'=-п,), Рассмотрим два способа обработки этих данных, позволяющих исследовать, имеется ли значимая (т. е.
с принятой доверительной вероятностью) зависимость г от х. При первом способе вычисляют стандарты выборки единичного измерения по каждой серии отдельно и по всей совокупности измерений: л~ $) = —,~ (ги — Й~), 3 = ~,1, (гр й)з, (32) 1=! Аг где Ф = '5; л; — полное число измерений, а ! %т 1 ът (33) являются средними значениями соответственно по каждой серии и по всей совокупности измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
