Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1129999)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций покомплексному анализуЛектор — Евгений Прокофьевич ДолженкоIII курс, 6 семестр, поток математиковМосква, 2005 г.Оглавление1.Принцип аргумента1.1. Логарифмический вычет . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Замечание о теореме Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.Аналитическое продолжение2.1. Теоремы Пенлеве . . . . . . .

. . . . . . . . . .2.1.1. Хаусдорфова мера . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Свойства хаусдорфовых мер . . . . . . .2.1.3. Первая теорема Пенлеве . . . . . . . . .2.1.4. Вторая теорема Пенлеве . . . . . . . . .2.2. Принцип симметрии Римана – Шварца . . . .2.2.1. Продолжение функции через границу .2.2.2. Принцип симметрии Римана – Шварца .2.3.

Аналитическое продолжение по цепи . . . . .2.3.1. Непосредственное продолжение . . . . .2.3.2. Особые точки многозначного характера2.4. Аналитическое продолжение вдоль пути . . .2.5. Модулярная функция . . . . . . . . . . . . . .3.4.5566..................................................................................................................................7777891010101111111213Конформные отображения. Теорема Римана3.1. Компактные семейства аналитических функций .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1. Сходимость в топологии O(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2. Критерий компактности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.3. Применения принципа компактности .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Отображения посредством аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Лемма о локальном обращении и её трагические следствия . . . . . . . . .3.2.2. Локальное обращение аналитических функций . . . . . .

. . . . . . . . . . .3.2.3. Критерий конформности в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Конформные отображения круговых областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1. Лемма Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2. Автоморфизмы круговых областей . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Теорема Римана о конформном отображении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.1. Доказательство теоремы Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.2. Соответствие границ при конформных отображениях . . . . . . . . . .

. . .3.4.3. Достаточные условия однолистности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.4. Условие единственности конформного отображения (условие нормировки)................................................................................................................................................1313131415161616171717181818191920Гармонические функции4.1. Гармонические функции двух переменных .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1. Общее определение гармонической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2. Двумерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.3. Физическая интерпретация гармонических функций и комплексного потенциала4.2. Свойства гармонических функций . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1. Инвариантность гармоничности при голоморфной замене переменных . . . . . .4.2.2. Принцип экстремума для гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.3. Теоремы о среднем . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.4. Аналитичность комплексно сопряженного градиента гармонической функции .4.3. Ещё несколько свойств гармонических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1. Теоремы единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .4.3.2. Теоремы Лиувилля и Гарнака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.3. Гармонические полиномы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1. Формула Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.2. Задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.3. Следствие формулы Пуассона . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5. Гармоническое продолжение. Принцип отражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................202020202122222222232323232424242626262....................................................................................................................................................................................................................................................................5.Операционное исчисление5.1.

А на фига оно надо? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Определение преобразования Лапласа и его обращение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3. Свойства преобразования Лапласа . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327272728ПредисловиеСлова благодарности и прочие комментарииОгромное спасибо Роме и Маше Ждановым за героизм, проявленный при наборе этого текста и Диме Горяшину, предоставившему свои лекции. Правка, вёрстка текста, набор разделов про теоремы Пенлеве и стандартизация оформления были проведены DMVN Corporation. В текущей версии уже поменьше глюков, частькоторых относится к устранимым, а некоторые лечатся только полной заменой плохих доказательств хорошими.Несколько теорем заменены их аналогами из лекций В. К.

Белошапки — (5 семестр) там они доказаны красиво, правильно и строго. Вообще настоятельно рекомендуем почитать лекции второго потока — узнаете многонового!Что касается благодарностей по поводу поиска опечаток и прочей лажи, мы направляем их Паше Наливайко,Володе Филатову, Алексею Басалаеву, Мише Малинину, Shviller’у и особенно Ване Вегнеру за непреодолимоервение навести в этом тексте порядок.Мощность множества здесь иногда обозначается значком Card.Release NotesЗначком «z» на полях отмечаются места гибели лажи, чтобы удобнее было следить. Обозначение введено с16 июня 2005 года.

В данном издании уже есть кое-что про операционный метод.От редактора русского перевода• Через O(G) здесь мы обозначаем множество функций, голоморфных в области G, а через M(G) — множество функций, мероморфных в области G (то есть все особые точки — не хуже, чем полюса).• Пространство гармонических в области G функций обозначается через H(G).• Замыкание множества обозначается чертой сверху.• Для сокращения записи мы, в отличие от лектора, будем вместо тяжеловесной фразы «функция f (z)однозначна и аналитична в области G» писать просто и понятно: f ∈ O(G).• Лектор часто использовал странную конструкцию Int Γ, где Γ = ∂G. Мы будем писать более просто: G.• Лектором было выбрано крайне неудобное обозначение для приращения функции на контуре: ∆γ (f ).

Всенормальные люди пишут Varγ (f ), но против маразма не попрёшь.• Слова «однозначная и аналитическая» далее по тексту заменены словом «голоморфная».• Окружность с центром в точке a радиуса R обозначается CR (a).• В интегралах типа Коши будем просто указывать, по какому контуру ведется интегрирование, сокративтем самым длинную запись «ζ ∈ ∂G» под значком интеграла.Последняя компиляция: 26 января 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.41. Принцип аргументаКак правило, везде, если явно не указано обратное, под словом «область» мы будем понимать область спростой или составной спрямляемой жордановой границей.Нули и полюса функций всегда подразумеваются с учётом кратностей!1.1. Логарифмический вычетОпределение.

Пусть G — область с границей γ, и функция f (z) ∈ M(G). Логарифмический вычет — этоинтегралZ ′1f (z)dz.2πif (z)γНазвание объясняется тем, что этот вычет есть интеграл по контуру γ от логарифмической производнойфункции f (z), то есть от функции′f ′ (z)Ln f (z) =.(1)f (z)Разумеется, в определении предполагается, что в области G у функции f могут быть полюсы, а на границенулей и полюсов функции f (z) нет.Определение.

Через ∆γ (f ) будем обозначать приращение функции при обходе контура γ. Через Nf будемобозначать количество нулей в некоторой области, а через Pf — количество полюсов.Теорема 1.1 (Принцип аргумента). Пусть G — ограниченная область, γ = ∂G, и f ∈ O(Gr{b1 , . . . , bp }),где bi — полюса кратностей mi . Пусть a1 , .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций