Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1129999), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Докажем2 , что f (G) связно. Пустьb1 , b2 ∈ f (G), а a1 , a2 ∈ G — какие-либо прообразы точек b1 , b2 соответственно. Так как G — область, то a1 и a2можно соединить кривойL = z(t), где t ∈ [α, β], z(t) ∈ G для всех t ∈ [α, β], и a1 = z(α),a2 = z(β). Рассмотримкривую w = f z(t) , где t ∈ [α, β], и f (z(t)) ∈ f (G) для всех t ∈ [α, β], и b1 = f z(α) , b2 = f z(β) .
Эта криваянепрерывна и соединяет b1 и b2 в G. Значит, f (G) связно, что и требовалось доказать. В качестве ещё одного следствия можно доказать одну уже известную нам теорему.Следствие 3.2 (Принцип максимума модуля). Для любой непостоянной функции f ∈ O(G) и любойточки a ∈ G найдётся точка z ∈ G такая, что |f (z)| > |f (a)|.3.2.2.
Локальное обращение аналитических функцийТеорема 3.9. Если функция f ∈ O U (z0 ) и f ′ (z0 ) 6= 0, то в некоторой окрестности точки w0 := f (z0 )′1.определена обратная однолистная функция f −1 ∈ O U (w0 ) , причём f −1 (w0 ) = f ′ (z0) Воспользуемся леммой о локальном обращении. Из нее следует, что существует непрерывная обратнаяфункция f −1 в окрестности Uδ0 (w0 ):∀ ε 6 ε0∃ δ > 0 : |w − w0 | < δ ⇒ |z − z0 | < ε′1∃ f −1 (w0 ) = ′f (z0 )Для точки w′ ∈ Uδ (w0 ) применяем лемму и получаем требуемое. Обратная функция будет однозначна и однолистна. Следствие 3.3 (Критерий локальной однолистности). Функция f ∈ O U (z0 ) локально однолистнатогда и только тогда, когда f ′ (z0 ) 6= 0. В одну сторону утверждение уже было доказано.
Наоборот: будем доказывать от противного. Пустьf ′ (z0 ) = · · · = f (k−1) (z0 ) = 0, а f (k) (z0 ) 6= 0. По лемме о локальном обращении в любой окрестности точки w0уравнение w = f (z) имеет k корней. Поэтому в точке w0 она k-листна. Если f (z) однолистна в области G, тоf ′ (z) 6= 0 ∀ z ∈ G. Теорема 3.10. Пусть функция f (z) однозначна и аналитична в окрестности точки z0 , причем для некоторого k > 2 выполнено f ′ (z0 ) = · · · = f (k−1) (z0 ) = 0, а f (k) (z0 ) 6= 0. Тогда в некоторой окрестности Uδ (w0 )2 Насамом деле это общий топологический факт: образ связного множества при непрерывном отображении связен.16существует k-значная аналитическая функция f −1 (w), причем точка w0 для нее является алгебраическаяточка ветвления порядка k − 1. Функция z = f −1 (w)в этой окрестности точки w0 может быть записана ввиде√(14)f −1 (w) = θ( k w − w0 ),где θ(ζ) — однозначна, аналитична, однолистна в окрестности точки ζ = 0.Замечание.
Теорема 3.9 является частным случаем теоремы 3.10 при k = 1. Введем промежуточную переменную:w = f (z) = w0 + ck (z − z0 )k + ck+1 (z − z0 )k+1 + . . .p√kw − w0 = ζ = (z − z0 ) k ck + ck+1 (z − z0 ) + . . .Заметим, что в окрестности точки z0 правая функция распадается на однозначные ветви (всего k штук):f (k) (z0 )6= 0.k!Значит, это равенство между двумя многозначными функциями от z. У функцииpζ = (z − z0 ) k ck + ck+1 (z − z0 ) + . . .ck =(15)′в окрестности выделим какую-нибудь однозначную ветвь.
Заметим, что ζ (z0 ) 6= 0. По теореме 3.9 у этой функции существует обратнаяUδ0 (0).√ функция z = θ(ζ) в окрестностиВспомним, что ζ = k w − w0 , положим r √= δ0k . Если w ∈ Ur (w0 ), то ζ ∈ Uδ0 (0), так как |w− w0 | < r = δ0k .√−1kkНаша искомая обратная функция: f= θ ( w − w0 ). Из однолистности θ и того, что для w − w0 — точкаветвления (k − 1)-го порядка следует, что w0 — точка ветвления (k − 1)-го порядка для функции f −1 (w). 3.2.3.
Критерий конформности в точкеТеорема 3.11 (Критерий конформности в точке). Отображение f ∈ O U (z0 ) конформно в точке z0тогда и только тогда, когда f ′ (z0 ) 6= 0. ⇐ Было доказано в 5-м семестре.⇒ Допустим, f ′ (z0 ) = 0. Тогда∆w = w − w0 = ck (z − z0 )k + ck+1 (z − z0 )k+1 + . . . ,где ck 6= 0 и k > 2. Имеем:(16)∆w = ck (∆z)k (1 + O(∆z)) , ∆z = z − z0 ;Arg ∆w = Arg ck + k Arg ∆z + O (|∆z|) .Отсюда видно, что когда вектор ∆w вращается вокруг нуля, то вектор ∆z вращается вокруг нуля в k разбыстрее. Значит, углы увеличиваются в k раз.
Поскольку k > 2, то возникает противоречие с конформностью вточке z0 . 3.3. Конформные отображения круговых областейЗдесь и далее через D обозначается единичный круг.3.3.1. Лемма ШварцаЛемма 3.12 (Шварца). Пусть функция f : D → D голоморфна на D. Пусть f (0) = 0 и |f (z)| 6 1. Тогда|f (z)| 6 |z|, причём если существует точка z0 ∈ D такая, что |f (z0 )| = |z0 |, то f (z) = eiθ z при некоторомθ ∈ [0, 2π). Рассмотрим функцию ϕ(z) := f (z)z . Поскольку f (0) = 0, то нуль будет устранимой точкой для ϕ(z).Значит, ϕ голоморфна в круге D.Возьмём замкнутый круг радиуса ρ < 1. По принципу максимума функция ϕ достигает своего максимумана границе этого круга.
Но так как |f (z)| 6 1, то f (z) 16 .|ϕ(z)| = (17)z ρ 6 1, следовательно, |f (z)| 6 |z|.Устремляя ρ к единице, получаем f (z)zПусть теперь |f (z0 )| = |z0 | в некоторой точке z0 . Из доказанного выше следует, что |ϕ| 6 1. В точке z0функция |ϕ| достигает значения 1, а больше единицы быть не может. Значит, по принципу максимума ϕ = constи |ϕ| = 1, то есть ϕ(z) = eiθ . Тогда f (z) = eiθ z — поворот на угол θ. 173.3.2. Автоморфизмы круговых областейОпределение.
Круговые области — это круги, полуплоскости и внешности кругов.Теорема 3.13. Если аналитическая функция w = f (z) однолистна и конформно отображает одну круговуюобласть на другую, то f (z) — дробно-линейная функция. Сначала докажем это для автоморфизмов единичного круга. Пусть отображение f однолистно и конформно отображает круг D на себя.1◦ Рассмотрим для начала случай, когда f (0) = 0. Обратная функция аналитична, и |f −1 (w)| < 1, f −1 (0) = 0.Тогда по лемме Шварца −1 ′ ′1 f(18)(0) 6 1,f −1 (w) = ′ .f (z)Значит, |f ′1(z)| 6 1, т.е.
|f ′ (0)| > 1. Тогда |f ′ (0)| = 1. А это равенство (также по лемме Шварца) возможнотолько в том случае, если f (z) = eiα z.2◦ Теперь рассмотрим общий случай.Пусть f : G1 → G2 , где a ∈ G1 и b = f (a). Поскольку G1 и G2 — круговые области, то найдутся дробно-линейные отображения Li : D → Gi такие, что L1 (0) = a и L2 (0) = b. ПоложимF := L−12 ◦ f ◦ L1 .(19)Это конформное однолистное отображение D на себя, такое что F (0) = 0. По пункту 1◦ получаемω = F (ζ) = eiα ζ, т. е.iαL−12 (f (L1 (ζ))) = e ζ,L−12 (f (z))f (z) =z = L1 (ζ);= e L−11 (z);iα −1L2 (e L1 (z)).iαТак как L1 и L2 — дробно-линейные функции, то и f (z) — дробно-линейная функция.
Теорема доказана. 3.4. Теорема Римана о конформном отображении3.4.1. Доказательство теоремы РиманаТеорема 3.14 (Римана о конформных отображениях). Пусть D — односвязная область. Тогда онаконформно эквивалентна одному из следующих множеств:• Card ∂D = 0 ⇒ D ∼ C;• Card ∂D = 1 ⇒ D ∼ C;• Card ∂D > 1 ⇒ D ∼ ∆ := {z : |z| < 1}.
В первом случае область D просто совпадает с C, и даже ничего отображать не надо, во втором доста1точно загнать единственную точку a границы в бесконечность преобразованием z−a, и мы получим C. Осталсянетривиальный третий случай,когдаточекнаграницехотябыдве.Тогдазагонимих в точки 0 и ∞. Теперь√применим преобразование z. Так как точки 0 и ∞ не лежат в области, то√отображение будет конформным всилу того, что область D односвязна и по теореме о монодромии функция z допускает выделение двух однозначных ветвей ϕ1 и ϕ2 (отличающихся знаком). Значит, образы ϕ1 (D) и ϕ2 (D) не пересекаются (предположимпротивное, тогда ϕ1 (z1 ) = ϕ2 (z2 ), а так как это ветви квадратного корня, то z1 = z2 и ϕ1 (z1 ) = −ϕ2 (z1 ), чегобыть не может, так как ϕi (z) 6= 0 на области D).
Далее, рассмотрим область ϕ2 (D), и так как она открыта,r2то содержит некоторый круг с центром в точке a. Сделаем преобразование z−a(вывернем круг наизнанку),тогда образ ϕ1 (D) попадёт в этот круг. Таким образом, можно считать, что область D исходно содержалась внекотором круге.
Без ограничения общности можно считать, что это единичный круг с центром в нуле.Теперь рассмотрим семейство S функций fα , однолистных в области D, причём таких, что |fα (z)| < 1 при∀ z ∈ D, и f (0) = 0. Найдём среди них функцию, у которой достигается максимум производной в нуле и покажем,что это та самая функция, которая отображает область D на единичный круг.Пусть f ∈ {fα }.
По неравенству Коши |f ′ (0)| 6 1ρ , где ρ — ненулевой радиус сходимости ряда для f , а значит,множество |fα (0)| ограничено и имеет верхнюю грань α. Пусть она достигается на некоторой последовательности {fn }. По теореме Монтеля наше семейство компактно, а потому можно выделить сходящуюся к некоторой18z(голоморфной) функции F подпоследовательность. Функция F не постоянна, так как f ′ (0) 6= 0 (функции-то однолистные!). Остаётся показать, что она осуществляет отображение на весь круг.
Заметим сначала, что F (0) = 0.В самом деле, пусть F (0) = c 6= 0. Тогда рассмотрим функциюg(z) :=ИмеемF (z) − c.1 − cF (z)(20)1· |F ′ (0)| > |F ′ (0)|.(21)1 − |c|2Это противоречит экстремальному свойству F , так как |F (z)| < 1 и стало быть, функция g также попадёт внаше семейство.Пусть нашлась точка b в круге, для которой F (z) 6= b. Рассмотрим функциюsF (z) − bψ(z) :=.(22)1 − bF (z)|g ′ (0)| =Это композиция конформного автоморфизма, переводящего точку b в нуль, с корнем. Так как «симметричное»к b значение b∗ = 1b функцией F не принимается (оно вообще вне круга лежит), то у функции ψ выделяетсяоднозначная ветвь. Она опять-таки лежит в семействе S.
Пусть ψ(0) = d. Тогда функцияh(z) :=будет иметь производную в нуле побольше, чем у F :|h′ (0)| =ψ(z) − d1 − dψ(z)1 + |b|√ · |F ′ (0)| > |F ′ (0)|,2 b(23)(24)√ибо |b| < 1 и 1 + |b| > 2 b. Получилось противоречие. Значит, F (D) = ∆. 3.4.2. Соответствие границ при конформных отображенияхТеорема 3.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
