Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1129999), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . , an ∈ G — нули функции f кратностей ki . ТогдаNf − Pf =nXi=1ki −pXi=1mi =1∆γ Arg f.2π(2)′(z), а функция ln |f (z)| однозначна, тоПоскольку Ln f (z) — первообразная для ff (z)Z ′1f (z)111dz =∆γ Ln f (z) =∆γ ln |f (z)| + i Arg f (z) =∆γ Arg f (z).2πif (z)2πi2πi2π(3)γС другой стороны, мы можем вычислить этот же интеграл с помощью теоремы Коши о вычетах:Z ′pnX1f (z)f ′ (z) Xf ′ (z)dz =res+res.ai f (z)bi f (z)2πif (z)i=1i=1(4)γПусть ϕ ∈ O(G). Тогда12πiZnϕ(z)γpXf ′ (z)f′ Xf′dz =res ϕ +res ϕ .aibif (z)ffi=1i=1(5)Пусть c — это нуль или полюс функции f (z) кратности k (если k > 0, то точка c есть нуль, иначе — полюс), т.
е.f (z) = (z − c)k g(z), причём g(с) 6= 0. Тогдаf ′ (z)k(z − c)k−1 g(z) + (z − c)k g ′ (z)kg ′ (z)==+.f (z)(z − c)k g(z)z−cg(z)Отсюда ясно, что res ff = k, так как функцияg′ (z)g(z)ϕ(z) − ϕ(c) = (z − c)s h(z)⇒′cпоэтомуϕ(z)′(6)аналитична в окрестности точки c.
Кроме того,ϕ(z) = ϕ(c) + (z − c)s h(z),f ′ (z)kϕ(z)=+ ψ(z),f (z)z−ch(c) 6= 0,(7)(8)где ψ ∈ O(G). Следовательно, res ff ϕ = kϕ(c). Осталось подставить это в формулу для интеграла:c12πiZγϕ(z)pnXXf ′ (z)dz =ki ϕ(ai ) −mi ϕ(bi ).f (z)i=1i=15(9)Знак «минус» перед второй суммой объясняется тем, что у полюсов кратность отрицательная. При ϕ(z) ≡ 1получаем искомую формулу. Следствие 1.1. Если f ∈ O(G), и f (z) 6= 0 при z ∈ γ = ∂G, тоN=1∆γ Arg f (z).2π(10)Следствие 1.2. Конформные отображения областей сохраняют направление обхода границы (N = 1).Замечание.
Принцип аргумента верен, если f ∈ C(G) ∩ O(G).Вернёмся к равенствуZnX1f ′ (z)ϕ(z)dz =ki ϕ(ai ),2πif (z)i=1(11)γгде f (z) ∈ O(G) (т. е. полюсов нет). При ϕ(z) ≡ 1 мы получаем равенствоN=Пусть теперь ϕ(z) = z. Тогда1∆γ Arg f (z).2π12πiZXf ′ (z)zdz =ki ai .f (z)i=112πiZz2Если же ϕ(z) = z 2 , то(12)n(13)nXf ′ (z)dz =ki a2i ,f (z)i=1(14)и так далее.
Пусть, например, в области G два нуля функции f (z). Тогда мы можем найти значения z1 + z2 = Aи z12 + z22 = B. Но так как z1 z2 = 12 [(z1 + z2 )2 − (z12 + z22 )], то нули функции f (z) — это корни уравненияz 2 − Az + 12 (A2 − B) = 0.1.2. Теорема РушеТеорема 1.2 (Руше).
Пусть G — ограниченная область с границей γ, функции f (z) и g(z) аналитичныв G и непрерывны на G, причем |f (z)| > |g(z)| на γ. Тогда функция f (z) + g(z) имеет внутри G столько женулей, сколько их имеет функция f (z). Так как на границе |f (z) + g(z)| > |f (z)| − |g(z)| > 0 и |f (z)| > |g(z)| > 0, то на границе нулей у функцийf + g и f нет. Имеем1g(z)11g(z)1∆γ Arg f (z) + g(z) =∆γ Arg f (z) 1 +=∆γ Arg f (z) +∆γ Arg 1 +.(15)2π2πf (z)2π2πf (z)g(z)По условию fg(z)(z) < 1. Значит, вектор 1 + f (z) никогда не выйдет за пределы правой полуплоскости и, следовательно, не совершит ни одного оборота вокруг нуля при обходе γ.
Значит,g(z)11∆γ Arg 1 += 0 и Nf +g =∆γ Arg f (z) + g(z) =∆γ Arg f (z) = Nf .(16)f (z)2π2π1010Пример 2.1. Найдём область, в которой находятся все нули многочлена P (z) = z −2z +1. Пусть f (z) = z ,а g(z) = −2z + 1. Возьмём круг |z| = R. Тогда |f (z)| = R10 , и |g(z)| = | − 2z + 1| < 2R + 1. Значит, нужно найтитакое R, что R10 > 2R + 1. Это можно сделать приближенно (R ≈ 1, 2).1.2.1. Замечание о теореме ЛагранжаВ действительном анализе верна теорема (Лагранжа) о среднем:∃ c ∈ [a, b] :f (a) − f (b) = f ′ (c)(b − a).(17)f (t) = eit .(18)В комплексном анализе эта формула неверна:∆ = [0, 2π],6Тогда f (2π) − f (0) = 0, но f ′ (t) = ieit , |f ′ (t)| = 1 для всех t.Утверждение 1.3 (Аналог теоремы Лагранжа).
Пусть f ∈ O(G). Тогда|f (b) − f (a)| 6 (b − a) · max |f ′ (ζ)|.ζ∈[a,b](19)По формуле Ньютона – Лейбница имеемf (b) − f (a) =Zbf ′ (ζ) dζ.(20)aОтсюда всё следует. 2. Аналитическое продолжение2.1. Теоремы Пенлеве2.1.1. Хаусдорфова мераОпределение. Пусть (X, ρ) — метрическое пространство, E ⊂ X. Покроем множество E кругами σn диаметров dn < ε и найдём точную нижнюю грань суммы их радиусов по всем покрытиям, устремив ε к нулю.Этот предел и называется длиной по Хаусдорфу:nX[ omes1 (E) := lim infdn : E ⊂σn , dn := diam σn .(1)ε→0 dn <εnnОпределение.
Более общее понятие — α-мера Хаусдорфа (α > 0):nX[ omesα (E) = lim infdασn , dn := diam σn .n: E ⊂ε→0 dn <εn(2)nОчевидно, при α = 2 это определение совпадает с определением площади, а при d = 3 — с определением объёма. Хаусдорфова мера определена всегда, хотя может принимать и бесконечные значения (например,mes1 ([0, 1]2 ) = ∞).Можно пойти ещё дальше в обобщении хаусдорфовых мер. Вместо функции tα можно взять произвольнуюнеотрицательную возрастающуюнепрерывнуюв нуле функцию ϕ(t), для которой ϕ(0) = 0. Тогда в определенииPPϕ-меры Хаусдорфа вместо dαϕ(dn ). Обозначается она иногда так: (ϕ) mes, но мы будем использоватьn будетболее компактное обозначение mesϕ .2.1.2. Свойства хаусдорфовых мерДля краткости обозначим µ := mesϕ . Очевидно, хаусдорфова мера полуаддитивна, то есть µ(E1 ∪ E2 ) 66 µ(E1 )+µ(E2 ), а если расстояние между множествами положительно, то будет равенство.
Меру на метрическомпространстве, определённую на все его подмножествах, и обладающую такими свойствами, называют внешнейметрической мерой. По теореме Каратеодори совокупность µ-измеримых подмножеств образуют σ-алгебру.На первый взгляд кажется ненужным условие ε → 0 в определении хаусдорфовой меры. Но на самом делеоно очень естественно: рассмотрим произвольную кривую γ бесконечной длины, лежащую в круге радиуса 1.Тогда мы получили бы mes1 (γ) 6 2, так как она накрывается одним кругом диаметра 2.
В качестве примераit1−tтакой кривой можно взять z(t) = 1+t · exp 1−t .Сформулируем некоторые очевидные свойства хаусдорфовых мер.1◦ Ортогональная1 проекция множества нулевой длины на любую прямую имеет нулевую длину, т. е. почтикаждая прямая, вдоль которой ведётся проекция, не имеет общих точек с проецируемым множеством.2◦ Пусть E ⊂ R2 .
Очевидно, что mes2 (E) = 0 тогда и только тогда, когда мера Лебега множества E равнанулю.Задача 2.1. Доказать, что mes2+δ (E) = 0 для любого множества E ⊂ R2 и δ > 0.Указание. Переформулировка: доказать, что при δ > 0 имеет место сходимость xδ → 0 при x → 0.1 Насамом деле, это тоже не важно: можно брать и косоугольную проекцию: множество «растянется» в конечное число раз.7Задача 2.2.
Доказать, что если при некотором α ∈ (0, 2] выполняется неравенство mesα (E) > 0, тоmesβ (E) = ∞ при β < α, а если mesα (E) < ∞, то mesβ (E) = 0 при β > α.Данный комментарий относится к последней задаче. Фактически, в ней неявно даётся определение хаусдорфовой (фрактальной)размерности множества.
Основная её идея состоит в следующем. Если бы хотим измерить площадь множества, мы накрываемего достаточно мелкими двумерными множествами и затем суммируем их площадь. Если же мы измеряем объём множества, топокрываем его параллелепипедами и суммируем объёмы. Но пусть теперь наше множество плохое (например, канторовское).
Видно,что его длина (и тем более площадь) равны нулю, хотя при этом оно непусто и даже континуально. Мы хотим сопоставить емунекоторое число, которое будет отличать его (по размерности) от прямой (одномерного множества). Возникает подозрение, чтоего размерность не является целым числом. Но каким? Заметим, что квадрат разбивается на 4 квадрата вдвое меньшего размера,куб — на 8 кубиков с ребром вдвое меньшей длины, четырёхмерный куб (если читатель может его себе представить) — на 16 вдвоеменьших по линейным размерам 4-черных кубиков. То есть, в общем случае размерность множества равна log2 n, где n — числоодинаковых частей вдвое меньшего размера, на которые можно разбить это множество.
Канторовское множество подобно самомусебе с коэффициентом 13 — в нём умещается две его копии. Это и наводит нас на ответ log3 2. Можно доказать, что это так и есть.А само определение таково:Определение. Хаусдорфовой размерностью множества E называется наименьшее число d ∈ R+ , для которого mesd (E) = 0.Точнее говоря,˘¯dimH (E) = inf d : mesd (E) = 0 .(3)2.1.3. Первая теорема ПенлевеПрежде всего заметим, что множество особых точек голоморфной функции всегда замкнуто. Это следуетиз того, что множество точек голоморфности функции открыто (если степенной ряд в некоторой точке имеетненулевой радиус сходимости, то есть сходимость и в некоторой окрестности этой точки).Ну удивляйтесь тому, что доказательство следующей теоремы гораздо короче, чем в листочках Долженко.
Просто здесь гораздоменьше лишних слов. Идея-то здесь очень простая: накроем множество E особых точек кругами сколь угодно малого радиуса, тогдадля любой точки из дополнения G r E верна формула Коши. Но так как эти самые точки из дополнения могут быть сколь угодноблизки к точкам множества E (ибо радиусы кругов сколь угодно малы), мы можем доопределить функцию и на множестве E(фактически, по непрерывности).Теорема 2.1 (Первая теорема P. Painlevé).
Пусть ограниченная функция f аналитична в области Gза исключением множества E нулевой длины (по Хаусдорфу). Тогда множество E устранимо, т. е. функцияf продолжается до голоморфной функции во всей области. В силу сделанного выше замечания, почти каждая координатная прямая не имеет общих точек с множеством E. Значит, найдётся прямоугольник Q, на границе которого функция голоморфна. Его граница лежитв множестве G r E с некоторой своей окрестностью, и потому ρ(∂Q, E) > 0.Покажем, что функция голоморфна на множестве E0 := E ∩ Q. Рассмотрим покрытие множества E0 кругами σn радиусов dn < ε, и в силу компактности E0 из нихP можно выделить конечное подпокрытие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
