Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1129999), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогдадля любой точки w ∈ C, кроме разве лишь одного значения, найдётся последовательность zn → a такая, чтоf (zn ) = w для всех n.1Пример 5.2. Для функции f (z) = e z точка z = 0 является существенной особой точкой.3. Конформные отображения. Теорема Римана3.1. Компактные семейства аналитических функций3.1.1. Сходимость в топологии O(G)Определение. Говорят, что последовательность аналитических функций сходится в области G, если онаравномерно сходится на каждом компакте, лежащем в области G.Далее под сходимостью аналитических функций мы будем понимать только такую сходимость, поэтомуобозначение fn → f означает сходимость в топологии O(G).Пусть G ⊂ C.
На пространстве O(G) есть счётное семейство полунорм:kf kn := f (n) C(G) .(1)Значит, наше пространство метризуемо:∞X1kf − gknρ(f, g) :=.n 1 + kf − gk2nn=113(2)Сходимость в O(G) эквивалентна сходимости по этой метрике.Контрольный вопрос от злобного экзаменатора (на самом деле от Вани Вегнера): откуда следует эквивалентность?Определение. Семейство функций E ⊂ O(G) называется предкомпактным, если из любой последовательности {fn } ⊂ E можно выделить сходящуюся подпоследовательность fnk :O(G)fnk −−−→ f ∈ O(G).(3)Будем называть E компактным, если lim fnk ∈ E.Тут он долго разглагольствовал о терминологии, и говорил, что слово «предкомпактный» ему, видите ли, не нравится. А намочень даже нравится, и путаницы не возникает.3.1.2.
Критерий компактностиОпределение. Семейство функций {fα } на области G называется локально равномерно ограниченным, еслидля любого компакта K ⋐ G найдётся константа MK такая, что |fα (z)| 6 MK для ∀ z ∈ K и ∀ α.Определение. Семейство функций {fα } называется локально равностепенно непрерывным, если для ∀ ε > 0и любого компакта K ⋐ G найдётся δ такое, что при ∀ z1 , z2 ∈ K, для которых |z1 − z2 | < δ, выполняется условие|fα (z1 ) − fα (z2 )| < ε для любого α.Определение. Пусть K ⊂ C. Тогда ρ-раздутием множества K назовём множество[Kρ :=U ρ (z).(4)z∈KСмысл определения понятен: множество K раздувается на величину, не превосходящую ρ.Лемма 3.1. Если семейство функций {fα }, голоморфных в области G, равномерно ограничено, то оно иравностепенно непрерывно в ней.
Очевидно, расстояние от любого компакта K до границы области больше нуля. Тогда найдётся достаточно малое число ρ, при котором Kρ ⋐ G. В силу равномерной ограниченности найдётся число M , для которого|fα (z)| 6 M для ∀ z ∈ Kρ .Рассмотрим произвольные точки a, b ∈ K такие, что |a − b| < ρ. Тогда имеем Uρ (a) ⊂ Kρ по построению Kρ .Значит,|fα (z) − fα (a)| 6 |fα (z)| + |fα (a)| 6 2M(5)для любой точки z ∈ Uρ (a) и для ∀ α. Теперь переведём этот круг в единичный круг ∆ с центром в нуле, тоесть сделаем линейную замену переменной ζ = ρ1 (z − a). Тогда функцияgα (ζ) :=1fα (a + ρζ) − fα (a)2M(6)будет удовлетворять условиям леммы Шварца, а значит, |gα (ζ)| 6 |ζ| для ∀ ζ ∈ ∆.
Возвращаясь к функции fα ,получаем2M|fα (z) − fα (a)| 6|z − a| для ∀ z ∈ Uρ (a) и для ∀ α.(7)ρЗначит, выбирая достаточно малое δ, можно добиться того, чтобы выполнялось неравенство |f (a) − f (b)| 6 εερпри |a − b| < δ. Например, можно взять δ 6 min ρ, 2M.Теорема 3.2 (Принцип компактности, теорема Монтеля). Если семейство голоморфных функций fαравномерно ограничено в области G, то оно предкомпактно в G. По предыдущей лемме наше семейство функций будет равностепенно непрерывным.
Рассмотрим счётную всюду плотную в G последовательность точек {ap } (скажем, точки с рациональными координатами). Пусть{fn } ⊂ {fα } — произвольная последовательность функций. Рассмотрим числовуюпоследовательность{fn (a1 )}.Она ограничена, а потому содержит сходящуюся подпоследовательность. Пусть n(1) — подмножество её индексов. Далее, из этой последовательности выберем подпоследовательность, сходящуюся на точке a2 , и такдалее. В итоге получатся последовательности функций fnk , сходящиеся на первых k точках из множества {ap }:f11 , f21 , f31 , .
. .f12 , f22 , f32 , . . .f13 , f23 , f33 , . . .14Тогда последовательность fnn сойдётся на всех этих точках. Для краткости обозначим её снова через fn .Остаётся показать, что наша последовательность сходится на самом деле во всех точках компакта. В силуравностепенной непрерывности найдётся такое δ, что |fn (z1 ) − fn (z2 )| < ε при |z1 − z2 | < δ. Покроем компактK ⊂ G блинами ∆i радиуса δ2 и выделим конечное подпокрытие.
Рассмотрим произвольную точку z в одном изблинов, тогда в силу равностепенной непрерывности для ∀ z1 , z2 ∈ ∆i будет выполняться |fn (z1 ) − f (z2 )| < ε.Запишем критерий Коши:|fm (z) − fn (z)| = |fm (z) − fm (aj ) + fm (aj ) − fn (aj ) + fn (aj ) − fn (z)| 66 |fm (z) − fm (aj )| + |fm (aj ) − fn (aj )| + |fn (aj ) − fn (z)|.Первое и третье слагаемое сколь угодно малы, так как точка z приближается точками aj ввиду их всюдуплотности. Второе же слагаемое тоже можно устремить к нулю, так как на точках aj имеется сходимость.Осталось заметить, что эта сходимость будет равномерной на K. Замечание. Очевидно, что верно и обратное утверждение (хотя оно нам не пригодится).3.1.3. Применения принципа компактностиТеорема 3.3 (Витали).
Пусть G — область, последовательность {fn } ⊂ O(G) предкомпактна, и fnсходится в каждой точке подмножества E ⊂ G, имеющего предельную точку в G. Тогда fn → f ∈ O(G). Последовательность {fn } предкомпактна, поэтому для любого компакта K ⊂ G найдётся подпоследо- zKвательность {nk } такая, что fnk ⇒ f ∈ O(G). Докажем, что и вся последовательность сходится к f в топологииO(G).
Допустим, что сходимости нет: существует компакт K ∗ ⊂ G, последовательность точек zn′k и подпосле довательность fn′k такая, что|fn′k (zn′k ) − f (zn′k )| > d(8) для некоторого d > 0. Из последовательности fn′k в силу её компактности можно выделить подпоследовательность fn′′k такую, чтоO(G)fn′′k −−−→ g(z),(9)g(z) ∈ O(G).Поскольку g(z) = f (z) на множестве E по условию, то по теореме единственности g ≡ f в области G.
Значит,Kfn′′k ⇒ f , что противоречит (8). Теорема 3.4 (Гурвица о нулях последовательности аналитических функций). Пусть fn ∈ O(G) иfn → f ∈ O(G), где f 6≡ 0. Пусть γ — спрямляемый жорданов контур в G, такой, что Int γ ⊂ G, и при этомf (z) 6= 0 на γ. Тогда ∃ N такое, что при n > N функция fn имеет внутри γ столько же нулей (с учетомкратности), сколько и функция f .γ Положим δ := min {|f (z)|, z ∈ γ}. Так как γ — компакт, то fn (z) ⇒ f (z).
Значит, найдётся N такое, чтопри n > N будет выполнено неравенство |fn (z) − f (z)| < δ для ∀ z ∈ γ. Представим функцию в видеf (z) = fn (z) + f (z) − fn (z) .(10)По теореме Руше функция fn (z) имеет внутри γ столько же нулей, сколько и f (z), что и требовалось. Определение. Функция называется однолистной, если она осуществляет инъективное отображение. Функция f (z) локально однолистна в точке z0 , если она однолистна в U (z0 ).Теорема 3.5 (О последовательностях однолистных аналитических функций). Пусть последовательность однолистных функций fn в области G сходится к непостоянной функции f (z).
Тогда f (z) такжеоднолистна в области G. От противного: предположим, что существуют точки a, b ∈ G такие, что f (a) = f (b) = A, но a 6= b.Рассмотрим последовательность fn (z) − A.fn (z) − A → 0,(11)z → a, z → b, n → ∞.Нули функции f (z) − A изолированы. Пусть Ua и Ub — столь малые окрестности точек a, b, что их замыканияне пересекаются и целиком лежат в области G, причем f (z) − A 6= 0 в U̇a и в U̇b .
По теореме Гурвица при n > Nфункция fn (z) − A имеет в Ua и в Ub по крайней мере по одному нулю. Мы получили, что существуют точкиza ∈ Ua и zb ∈ Ub такие, что fn (za ) − A = fn (zb ) − A = 0. То есть za 6= zb , но fn (za ) = fn (zb ). Противоречие соднолистностью функции fn (z). Пример 1.1. Покажем, что условие f (z) 6= const существенно. Пусть fn (z) =O(G)fn −−−→ 0 при n → ∞.15zn,а G = {|z| < 1}. Тогда3.2. Отображения посредством аналитических функций3.2.1. Лемма о локальном обращении и её трагические следствияЛемма 3.6 (О локальном обращении). Пусть функция f ∈ O U (a) непостоянна, причем f (z) − f (a)имеет в точке a нуль k-го порядка (k > 1). Тогда найдутся ε0 , δ0 > 0 такие, что для ∀ ε ∈ (0, ε0 ) найдётсятакое δ < δ0 , что при b = f (a) и w ∈ Uδ (b) уравнение f (z) = w имеет в окрестности Uε0 (a) ровно k корней сучетом кратности, причем все корни лежат в окрестности Uε (a).
При этом, если w 6= b, то все эти корнипростые (а при w = b это один k-кратный корень). Существует ε0 , такое что при 0 < |z − a| 6 ε0 , f (z) 6= a и f ′ (z) 6= 0. (Если f (z) = f (a) в сколь угодноблизких к a точках UR (a), то f (z) ≡ const по теореме единственности. Если f ′ (z) = 0 в сколь угодно близких кa точках UR (a), то из f ′ = 0 следует f ≡ const (снова по теореме единственности). Положимδ0 := min {|f (z) − f (a)| : z ∈ ∂Uε0 (a)} .Рассмотрим точку w ∈ Uδ0 (b).
Надо решить уравнение f (z) − w = 0. Применим теорему Руше:f (z) − w = f (z) − f (a) + (b − w), |f (z) − f (a)| > δ0 > |w − b|.(12)(13)Тогда функция f (z) − w имеет в окрестности Uε0 (a) столько же нулей, сколько функция f (z) − f (a), то есть kштук с учетом кратности (по условию и по выбору ε0 ). Если w ∈ Uδ0 (b), w 6= b, то все эти нули простые, так какпри z 6= b имеем f ′ (z) 6= 0. Далее все то же самое для ε < ε0 и δ < δ0 . Следствие 3.1. Образом области при конформном отображении является областью.Решение уравнения f (z)− w = 0 есть обратная функция в точке w: z = f −1 (w).
Обратная функция, несмотряна многозначность, является непрерывной.Теорема 3.7 (Принцип открытости). Пусть функция f ∈ O(G) непостоянна, а G′ ⊂ G — произвольноеоткрытое подмножество в G. Тогда f (G′ ) также открыто.Теорема 3.8 (Принцип области). Если функция f ∈ O(G) непостоянна, то f (G) — также область. То, что множество f (G) открыто, следует из принципа открытости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
