Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1129999), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть функция f : G1 → G2 однолистна и конформна. Тогда при zn → ∂G1 f (zn ) → ∂G2(т. е. ρ(f (zn ), ∂G2 ) → 0). Будем доказывать от противного: пусть f (zn ) 6→ ∂G2 , тогда существует подпоследовательность этойпоследовательности, т.ч. f (znk ) → w ∈ G2 Так как отображение, обратное к однолистному, однолистно, то∃ z0 : f (z0 ) = w0 , wnk → w0 .Тогда и znk = f −1 (wnk ) → z0 , что противоречит условию zn → ∂G1 . Следующую теорему еще называют принципом соответствия границ. Доказывать мы её не будем.Теорема 3.16 (Каратеодори).
Любое конформное однолистное отображение f : G1 → G2 — жордановых zобластей в C продолжается до гомеоморфизма их замыканий G1 и G2 .Замечание. При этом конформности на границе мы требовать не можем, там есть только непрерывность.Теорема 3.17 (Кэллог). Пусть θ(s) — величина угла в дуговой абсциссе s. Если θ(k) (s) ∈ Lip α, 0 < α < 1,то f (z) ∈ Ck+1 (G1 ), и f (k+1) ∈ Lip α.3.4.3. Достаточные условия однолистностиТеорема 3.18 (Обратный принцип соответствия границ).
Пусть G1 и G2 — жордановы областис границами γ1 и γ2 соответственно. Пусть f : G1 → G2 — голоморфная функция, непрерывная на G1 игомеоморфно отображающая γ1 на γ2 . Тогда функция f однолистно и конформно отображает G1 на G2 исохраняет направление обхода границ. Положим z0 ∈ G1 , z1 ∈ γ1 . Применим принцип аргумента: пусть z бежит по γ1 , тогда w = f (z) бежит поγ2 . Если w0 = f (z0 ) ∈ G2 , то ∆γ1 Arg(f (z) − f (z0 )) = ±2π. Так как внутри контура нет полюсов, вариант «−2π»невозможен. По принципу аргумента функция f (z) − w0 = 0 имеет один корень.Если же w0 ∈ C r G2 , то ∆γ1 Arg(f (z) − f (z0 )) = 0, значит в G1 нет решений уравнения f (z) − w0 = 0(w0 ∈ Cr G2 ).
Поскольку внутренние точки переходят во внутренние, то f (z0 ) ∈ G2 , если z0 ∈ G1 ). Мы доказали1однолистность и конформность. Сохранение направления обхода границ следует из того, что 2π∆γ1 Arg(f (z) −f (z0 )) = +1. Следствие 3.4. При конформных отображениях жордановых областей сохраняется направление обходаих границы.193.4.4. Условие единственности конформного отображения (условие нормировки)Пусть отображение f : G1 → G2 однолистно и конформно. По теореме Римана существует бесконечно многоотображений f , таких что f (z1 ) = z2 (точки z1 , z2 фиксированы).Условие нормировки Пуанкаре: arg f ′ (z1 ) = α.
Отображение f с таким условием единственно (следует изтеоремы Римана и леммы Шварца).Другие условия нормировки:1◦ a 7→ b; arg f ′ (a) = α ∈ [0, 2π). (Пуанкаре)2◦ a →7 b; ζ ∈ Γ1 , ω ∈ Γ2 ; f (ζ) = ω.◦3 ζ1 , ζ2 , ζ3 ∈ Γ1 ; ω1 , ω2 , ω3 ∈ Γ2 ; ωk = f (ζk ), причем согласованы направления следования в этих тройках.При этом, условия 2◦ и 3◦ годятся только для жордановых областей.Конформно-инвариантные классы областей:1◦ Области без границы G = C.
На область с одной или несколькими граничными точками нельзя отобразить,поскольку образ компакта — компакт.◦2 Области, граница которых состоит из одной точки. По предыдущему пункту их нельзя отобразить на C.По теореме Лиувилля нельзя отобразить на область с границей, содержащей более одной точки.3◦ Области с границей, состоящей более чем из одной точки, конформно эквивалентны друг другу по теоремеРимана.4. Гармонические функции4.1. Гармонические функции двух переменных4.1.1. Общее определение гармонической функцииПусть в области G ⊂ R3 задана функция u(x1 , x2 , x3 ). Она называется гармонической в G, если:1◦ u непрерывна в G;∂uи непрерывны в G (k = 1, 2, 3);2◦ Существуют ∂xk3◦ Существуют∂2 u∂xk ∂xjи непрерывны в G (k, j = 1, 2, 3);4◦ u удовлетворяет уравнению Лапласа ∆u =∂2u∂x21+∂2 u∂x22+∂2 u∂x23= 0.Через H(G) будем обозначать линейное пространство функций, гармонических в области G.4.1.2.
Двумерный случайПусть f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) = u(z) + iv(z). Если f (z) аналитична в области G, то существуетf (k) (z), ∀ k = 0, 1, 2, . . . .1 ∂f∂f∂ff ′ (z) === −i .∂xi ∂y∂yИз существования производных функции f (z) следует, что частные производные по x, y существуют и непрерывны.Условия Коши – Римана:(∂u∂v∂x =∂y ,(1)∂u∂v∂y = − ∂x .Поэтому ∆u = 0. Аналогично получаем ∆v = 0. Тогда функции u и v гармоничны.Определение. Гармонические функции u, v, связанные системой Коши – Римана, называются гармоническисопряженными.
Точнее говоря, функция v называется гармонически сопряженной к u. При −u этом будетсопряжена кv.Очевидно, функция f (z) = u+iv аналитична тогда и только тогда, когда функция v гармонически сопряженак u.Утверждение 4.1. Пусть G — односвязная область в C; u ∈ H(G). Тогда существует семейство функций{v} ⊂ H(G), гармонически сопряженных к u. Все они записываются в видеv(x, y) = C +(x,y)Z(x0 ,y0 )20−∂u∂udx +dy,∂y∂x(2)где z0 = (x0 , y0 ) ∈ G, z = (x, y) ∈ G (интеграл не зависит от пути). C ∈ R Рассмотрим систему(∂v∂u∂x =∂y ,∂u∂v=−∂y∂x .Допустим, что решение этой системы существует. ТогдаZv(x, y) − v(x0 , y0 ) =dv =L(z0,z)Z(3)∂v∂vdx +dy.∂x∂y(4)L(z0 ,z)(L — гладкая или кусочно-гладкая кривая, соединяющая z и z0 ). ПодставляемZ∂u∂udx +dy.v(x, y) − v(x0 , y0 ) =−∂y∂x∂v∂xи∂v∂yиз системы:(5)L(z0 ,z)Убедимся, что интеграл не зависит от пути интегрирования.
Проверим условие Эйлера: еслиRинтеграл P dx + Q dy не зависит от пути. В нашем случаеP =и∂F,∂xQ=∂P∂y=∂F,∂y∂P∂F∂F∂Q===,∂y∂x∂y∂y∂x∂x∂Q∂x ,то(6)(7)т. е. условие выполнено. Обозначая C = v(x0 , y0 ), немедленно получаемv(x, y) = C +(x,y)Z−∂u∂udx +dy.∂y∂x(8)(x0 ,y0 )Легко проверить, что эта функция удовлетворяет системе Коши – Римана. Тогда функция v гармонически сопряжена к u. Таким образом, для любой гармонической функции в односвязной области G существует гармонически сопряженная к ней функция v, причем f = u + iv — аналитическая функция.Определение.
Функция f = u + iv называется комплексным потенциалом.4.1.3. Физическая интерпретация гармонических функций и комплексногопотенциалаРассмотрим такое скалярное произведение:∂u∂u∂u∂u(∇u, dz) =+ i , dx + i dy =dx +dy = du;∂x∂y∂x∂y∂u∂u∂u∂u(∇u, −idz) =+ i , dy − idx =dy −dx.∂x∂y∂x∂y(9)Очевидно, dz = ~τ ds и −idz = ~n ds, Полагаем ~τ = dz/ds, ds = |dz| — единичный вектор, а ~n = −idz/ds —перпендикуляр к нему.Пусть u — гармоническая функция в односвязной области. Тогда функцияv(x, y) = C +Zza−∂u∂udx +dy,∂y∂xC∈R(10)будет гармонически сопряженной к u.−∂u∂udx +dy = (∇u, −idz) = (∇u, ~n ds) = (∇u, ~n) ds.∂y∂xЭто поток вектора ∇u через элемент ds (элемент длины).v(z) − v(a) = N (L, ∇u),21(11)где N (L, ~v) — поток вектора ~v .Итак, гармонически сопряженная к u функция — это поток вектора ∇u.ZzZzZzZz∂u∂udx +dy = (∇u, dz) = (∇u, τ ) ds.u(z) − u(a) =du =∂x∂yaaa(12)aЕсли ∇u — силовое поле потенциала u, то справа — циркуляция векторного поля ∇u.
Таким образом, еслисиловое поле ∇u безвихревое, то−→A(L, ∇u) = 0,для замкнутого контура L ⊂ G (область G — односвязная, функция u — гармоническая, A(L, ~v ) — циркуляциявектора ~v ).4.2. Свойства гармонических функций4.2.1. Инвариантность гармоничности при голоморфной замене переменныхТеорема 4.2. Пусть u(z) ∈ H(G), функция ϕ(ζ) голоморфна в G′ , причем ϕ(G′ ) ⊂ G.
Тогда функцияU (ζ) = u(ϕ(ζ)) гармонична в G′ .1◦ G односвязна. Строим функцию f (z), такую что Re f (z) = u(z) в G. Тогда U (ζ) = Re f (ϕ(ζ)) — гармоническая в G′ .◦2 G неодносвязна. Возьмем ζ0 ∈ G′ и δ > 0 столь малым, что |ϕ(ζ) − ϕ(ζ0 )| < ρ ϕ(ζ0 ), ∂G . Пусть G′ — этоδ-окрестность точки ζ0 . Тогда мы находимся в случае 1). . . .4.2.2. Принцип экстремума для гармонических функцийТеорема 4.3. Пусть функция u(z) ∈ H(G) не постоянна. Тогда ни в какой внутренней точке области Gона не принимает ни максимума, ни минимума (ни абсолютного, ни локального).
Пусть a ∈ G — фиксировано. Возьмем односвязную подобласть в G, содержащую a, и функцию f (z),такую что Re f (z) = u(z). Если бы u была константой, то и v, а тогда по теореме единственности и f — константа.Функция w = f (z) переводит окрестность точки a в область, содержащую f (a). Значит, есть точки, такие чтоRe f (z) > f (a) и Re f (z) < f (a).
Аналогично и для функции v. Следствие 4.1. Если u(z) ∈ H(G) ∩ C(G), то максимума и минимума она достигает только на границеобласти G.4.2.3. Теоремы о среднемПусть f ∈ O U R (a) . Запишем теорему Коши для этого круга:1f (a) =2πiZCRf (ζ) dζ1=ζ −a2πZ2π1f (a + Re ) dθ =2πRiθ0Z2π1f (a + Re )R dθ =2πR0iθZf (ζ) dζ.(13)CRЭто и есть первая теорема о среднем: среднее значение функции f на круге CR равно значению функции вцентре:Z2π2πrf (a) = r f (a + reiθ ) dθ.(14)0Проинтегрируем это равенство по радиусу:2πR f (a) =ZR Z2π0Получаем вторую теорему о среднем:f (a) =f (a + reiθ )r dθ dr.(15)01πR2Zf (ζ) dσ.(16)CRТеорема 4.4. Для того, чтобы непрерывная в области функция u(z) была гармонической, необходимо идостаточно, чтобы в этой области выполнялась вторая (а значит, и первая) теорема о среднем.Доказательство будет дано позже.224.2.4. Аналитичность комплексно сопряженного градиента гармонической функцииПусть функция u(z) гармонична в области G.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
