Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1129999), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Изображением функции (по Лапласу) будем называть функциюF (p) :=Z∞f (t)e−pt dt.(1)0Теорема 5.1. Для всякого оригинала изображение определено в полуплоскости Re p > s0 и аналитично вней. Пусть s := Re p > s0 . Тогда наш интеграл (и все его производные по p) мажорируется сходящимисяинтегралами: Z∞ Z∞ k Z∞ dM−ptk −ptf (t)edt = f (t)t edt 6 M tk e−(s−s0 ) dt =.(2) dpk(s − s0 )k+1000Ну и всё. Теорема доказана, однако. Следствие 5.1. Если s := Re p → ∞ при p → ∞, то lim F (p) = 0.s→∞Следует непосредственно из выкладки (2).

Теорема 5.2 (Формула обращения). Если функция f (t) является оригиналом, а F (p) — её изображение,то в точках непрерывности имеет место формула1f (t) = v. p.2πia+i∞Zept F (p) dp.(3)a−i∞Теорема 5.3. Если функция аналитична в полуплоскости Re p > s0 , стремится к нулю при |p| → ∞ в{Re p > a > s0 } равномерно относительно arg p, и интегралa+i∞Zept F (p) dp(4)a−i∞абсолютно сходится, то применима формула обращения и функция f (t) восстанавливается по формуле (3).3 Теорема Абеля о неразрешимости уравнений выше 4 степени в радикалах доказывается, между прочим, методами комплексногоанализа, со ссылкой на неразрешимость группы S5 .275.3.

Свойства преобразования ЛапласаК очевидным свойствам относятся линейность и свойство подобия: f (αt) :относятся такое свойство:f ′ (t) : pF (p) − f (0),1αFpα. К чуть менее очевиднымf (n) : pn−1 f (0) − pn−2 f ′ (0) − · · · − f (n−1) (0).(5)Разумеется, здесь под значением f (k) (0) понимается правый предел. Доказательство очевидно и сводится ктупому дифференцированию интеграла.Аналогично доказывается свойствоF (n) (p) : (−1)n tn f (t).(6)Утверждение 5.4 (Теоремы запаздывания и смещения).

Имеют место соотношенияf (τ − t) : e−pτ F (p),ep0 t f (t) : F (p − p0 ).(7)Громко сказано: «теоремы». . . Тупо вычисляем, сделав линейную замену переменной. Теорема 5.5 (Теорема умножения). Произведение изображений также есть изображение, причёмF (p)G(p) :Zt0f (τ )g(t − τ ) dτ.(8) Доказывается абсолютно так же, как и про преобразование Фурье, применяя тяжелую артиллерию типатеоремы Фубини. Задача 5.1 (Бородин). Существует ли неподвижная точка преобразования Лапласа, то есть функцияf (t) 6≡ 0, непрерывная и ограниченная при t > 0, такая, что при всех p > 0 верно равенствоf (p) =Z∞f (t)e−pt dt?028(9).

Характеристики

Список файлов лекций