Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1129999), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пара (G, f ), где G — область, а f — функция, аналитическая в G, называется аналитическимэлементом.Таким образом, при непосредственном продолжении мы получаем цепь аналитических элементов. (G2 , f2 ) —аналитическое продолжение (G0 , f0 ) (уже не непосредственное).Пример 3.1.
Рассмотрим функциюf (z) = ln(1 + z) =∞Xzn.nn=1(19)Этот ряд сходится в круге |z| < 1. Можно с этого круга продолжать: для этого нужно взять точку внутри кругаи разложить в ряд уже с центром в этой точке. Полученные два ряда будут совпадать на пересечении кругов,следовательно, функции в соответствующих областях будут аналитическими продолжениями друг друга. Далееможно продолжать этот процесс. В результате получим функцию w = Ln(1 + z).Определение. Полной аналитической функцией называется (вообще говоря, многозначная) функция, полученная с помощью всевозможных непосредственных продолжений.2.3.2.
Особые точки многозначного характераОпределение. Пусть (f ′ , G′ ), (f, G) — аналитические элементы, причем G′ ⊂ G. Тогда (f ′ , G′ ) называетсяподчинённым элементом.Обычно в качестве подчинённых элементов рассматривают так называемые рациональные элементы:g = {z : |z − a| < r}r, Re a, Im a ∈ Q.(20)Можно продолжать функцию и через бесконечность: рациональный элемент с центром в ∞ выглядит так:g = {z : |z| > r} ,Пример 3.2. У функцииw=r ∈ Q.1√1+ zв точке z = 1 имеется две ветви.
На куске римановой поверхности, где(21)(22)√1 = −1, будет полюс первого порядка.Определение. Точка называется изолированной особой точкой многозначного характера, если ни в какойеё окрестности функция не распадается на однозначные аналитические ветви (т. е. функцию нельзя сделатьоднозначной аналитической ни в какой проколотой окрестности точки).Если после k оборотов получилась исходная ветвь и k — минимальное число с таким свойством, то число(k − 1) называется порядком ветвления.√Пример 3.3. z0 = 0 — точка ветвления 1-го порядка функции f (z) = z.11Определение. Если a — точка ветвления k-го порядка и существует предел lim f (z) ∈ C, то такая точкаz→aназывается алгебраической точкой ветвления k-го порядка.Определение.
Рядом Пюизо называется ряд следующего вида:X√k Xkf (z) =ck n z − a =ck (z − a) n .ZПример 3.4.sin(23)Z∞X√3z=2n−1z 3.(2n − 1)!n=1(24)2.4. Аналитическое продолжение вдоль путиОпределение. Пусть G выпуклая область, тогда аналитический элемент (G0 , f0 ) продолжается вдоль пути γ(t), если существует семейство элементов (Gt, ft ) с центрами at := γ(t) и ненулевыми радиусами, удовлетворяющих следующему условию: если γ Uδ (t0 ) ⊂ Gt0 , то любой элемент (Gt , ft ) при t ∈ Uδ (t0 ) являетсянепосредственным продолжением элемента (Gt0 , ft0 ).Определение. Особой точкой будем называть такую точку, через которую аналитическое продолжениеневозможно.Теорема 2.9 (О монодромии).
Пусть G — односвязная область, G0 ⊂ G — односвязная выпуклая область. Если элемент (G0 , f0 ) продолжается вдоль любого непрерывного пути, лежащего в G, то полученнаяв результате продолжения функция будет однозначной аналитической.1◦ Продолжение вдоль кривой можно заменить продолжением вдоль ломаной.2◦ Будем доказывать от противного: предположим, что продолжение вдоль замкнутой конечнозвенной ломаной даёт разные элементы (если идти вдоль ломаной в разные стороны). Можно считать, что ломанаяне имеет самопересечений. Разбив внутренность на треугольники, получаем, что существует треугольник,продолжение вдоль которого даёт разные элементы.
Проводим медиану. По какому-то из двух получившихся треугольников получаются различные элементы, и так далее.◦3 В результате получаем последовательность вложенных отрезков на стороне (делим пополам всегда одну иту же сторону треугольника), которая имеет общуюточку ζ. Продолжим (G0 , f0 ) в ζ и обратно посредствомS(Gk , fk ). Тогда существует треугольник ∆k ⊂ Gk . А это противоречит теореме единственности, так какпо ∆k существуют разные продолжения.А вот нормальное доказательство теоремы о монодромии без мухлежа (здесь росток функции в точке есть пара (U, [f ]), гдеU — окрестность, а [f ] — класс эквивалентности функций, совпадающих в этой окрестности).Теорема 2.10 (о монодромии).
Пусть D — область, и a, b ∈ D. Если две кривые с фиксированными концами a и b гомотопны (в области D), то аналитическое продолжение ростка [f ]a определено однозначно. Пусть гомотопия задана как отображение γ = γ(t, τ ) ∈ C([0, 1]2 ), где t — параметр кривой, а τ — параметр деформации.Пусть [f1 ]b и [f2 ]b — два продолжения ростка [f ]a .
Достаточно доказать, что они совпадают при малом изменении параметра τ(так как из того, что функция локально не изменилась, будет следовать, что она не изменилась при всех τ ). Будем действоватьаналогично доказательству предыдущего утверждения, но теперь в качестве параметра будет выступать τ . Из каждой точки кривойγ(t) осуществим аналитическое продолжение вдоль кривой γ(t0 , τ ) при каждом фиксированном t0 . Так как продолжение вдолькривой единственно, то найдётся система достаточно малых кружочков — окрестностей каждой точки t0 ∈ γ(t, 0), таких, что влюбой точке, лежащей в их объединении, продолженная функция совпадает с исходной. Но если параметр гомотопии достаточномал (τ 6 δ, где δ > 0), то кривая γ(t, τ ) лежит в объединении кружочков, так как кривая компактна. Значит, при τ 6 δ аналитическоепродолжение совпадает с исходной функцией на кривой γτ (t) = γ(t, τ ).
Продолжая делать маленькие шаги по параметру τ , дойдёмдо τ = 1 (снова пользуемся компактностью). Выпуклость, конечно, здесь на фиг не нужна. Нужна лишь односвязность. Надо делать так: пусть две кривые с общими концамигомотопны в области (τ — параметр гомотопии), тогда при малом изменении τ кривая тоже меняется слабо (в силу компактности).В малой окрестности работает теорема единственности, и значит, при малом сдвиге функция останется той же. Конечным числоммалых сдвигов (опять в силу компактности) можно накрыть весь отрезок изменения параметра τ ).Пример 4.1.
Пусть a1 , . . . , an — точки ветвления. В области G r h, где h — ломаная, соединяющая точкиветвления, функция распадается на √однозначные ветви. (внутри полученной односвязной области нет точекветвления). Например, для функции z.122.5. Модулярная функцияРассмотрим единичный круг ∆ и вписанный равносторонний треугольник T0 := ABC с нулевыми углами. Онконформно эквивалентен полуплоскости (по теореме Римана), причём существует единственное отображение,переводящее вершины в точки 0, 1 и ∞. По принципу симметрии можно продолжить это отображение, отразив(1)(2)(3)треугольник относительно его сторон. (при этом получится три треугольника T1 , T1 и T1 .
При этом отраженные вершины попадут на границу круга (стороны треугольника и описанная окружность ортогональны, азначит, дуга окружности ∂∆ переходит в дополнительную дугу). Продолженная функция отображает каждый(i)из треугольников T1 на нижнюю полуплоскость.(i)(i)Продолжая процесс отражения относительно сторон T1 , получим треугольники T2 , и так далее. В итогеполучим функцию µ, голоморфную в круге (она и называется модулярной функцией). Легко видеть, что она непродолжается (даже по непрерывности) на границу круга, так как в сколь угодно малой окрестности границыона принимает значения, близкие к 0, 1 и ∞.
При этом в самом круге ∆ она ни разу не принимает этих трехзначений.Теперь построим функцию, обратную к модулярной. Рассмотрим ее ветвь z = µ−1 (w), голоморфную в верхней полуплоскости. Она аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость до отображения на объединение(i)треугольника T0 и одного из треугольников T1 . Каждую из продолженных ветвей можно снова продолжить(i)по симметрии в верхнюю полуплоскость (тогда в неё будет переходить один из треугольников T2 , и так далее.Функция µ−1 будет бесконечнозначной, и точки 0, 1, ∞ будут логарифмическими.Теорема 2.11 (Малая теорема Пикара).
Любая целая трансцендентная (т. е. отличная от полинома) функция принимает бесконечное число раз каждое комплексное значение, за исключением, быть может,одного. Пусть целая функция f (z) не принимает двух различных значений a и b. Без ограничения общностиможно считать, что это 0 и 1 (так как всегда можно перейти к функции f (z)−ab−a . В окрестности произвольнойточки z0 функция ϕ := µ−1 ◦ f голоморфна (µ−1 — некоторая ветвь функции, обратной к модулярной). В силутого, что функция f целая, она не принимает значения ∞ (полюсов-то нету). Значит, она не принимает особыхзначений 0, 1, ∞, и композиция ϕ будет голоморфной и однозначной во всём C (ввиду односвязности C).
Но всезначений µ−1 лежат в единичном круге, а тогда по теореме Лиувилля она постоянна. Значит, f ≡ const. Пример 5.1.1. f (z) = ez 6= 0 точка w = 0 — исключительное значение2. f (z) = cos(z) — не имеет исключительных значений (обратная функция z = arccos w всюду определена).Определение. Значение, которое принимается функцией конечное число раз или не принимается вообще,называется пикаровским исключительным значением.Справедливо и более сильное утверждение, которое мы доказывать не будем.Теорема 2.12 (Большая теорема Пикара). Пусть a — существенно особая точка функции f (z).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
