Главная » Просмотр файлов » Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу

Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1129999), страница 3

Файл №1129999 Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (Е.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу) 3 страницаЕ.П. Долженко - Курс лекций по комплексному анализу (1129999) страница 32019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Так какmes1 (E) = 0, то и подавно mes1 (E0 ) = 0. Значит, суммуdn можно сделать сколь угодно малой (а значит, исуммарную длину границ σn , ибо она пропорциональна сумме радиусов).SПусть z ∈ Q r E0 . Тогда верна интегральная формула Коши для составного контура Γ := ∂Q ∪ ( ∂σn ). Таккак ориентация границ ∂Q и ∂σn разная, имеемZZZ1f (ζ)1f (ζ)1 Xf (ζ)f (z) =dζ =dζ −·dζ.(4)2πiζ −z2πiζ −z2πi nζ −zΓ∂Q∂σnПокажем, что второе слагаемое равно нулю.

Действительно, |f (z)| 6 M . Значит,ZZf (ζ) MM πdnM πεdζ6dζ =6.ζ −zρ(z, ∂σn )ρ(z, ∂σn )ρ(z, ∂σn )∂σn(5)∂σnКругов у нас конечное число, ε произвольно, а расстояние ρ в знаменателе ограничено снизу, так как точка zфиксирована. Поэтому второе слагаемое сколь угодно мало.Итак, у нас есть формулаZ1f (ζ)f (z) =dζ, z ∈ Q r E0 .(6)2πiζ−z∂QНо никто не помешает нам доопределить значение функции на множестве E0 по той же формуле. Тогда онабудет голоморфной и на множестве E0 как интеграл типа Коши. Лемма 2.2. Модуль непрерывности непостоянной функции обладает следующим свойством: ω(r) > Crдля некоторого C > 0 и любого r ∈ [0, δ].

В самом деле, пусть не существует положительной константы C с таким свойством. Значит, для любойпоследовательности Cn → 0 выполняется обратное неравенство ω(r) < Cn r. Значит, ω(r) = o(r). Но из этогоследует, что f ≡ const. 8Комментарий от Паши Наливайко: зачем возиться с квадратами, когда можно обойтись кругами? Ответ: можно и не возиться,и так всё получится. Просто в этом доказательстве сохранена лекторская идея (на всякий случай, если придётся сдавать ему :).2.1.4.

Вторая теорема ПенлевеТеорема 2.3 (Е. П. Долженко). Пусть f ∈ C(G) ∩ O(G r E), где mesϕ (E) = 0, ϕ(r) := rωf (r), а ωf (r) —модуль непрерывности функции f . Тогда множество E устранимо. Как и в предыдущей теореме, считаем множество E замкнутым. Покажем, что множество E имеетнулевую лебегову меру µ.

По предыдущей лемме ω(r)> r для всех r ∈ [0, δ] и для некоторого δ > 0. А поCусловию у нас mesϕ (E) = 0. Значит, найдётся такое покрытие множества E кругами σn , что для всякого ε > 0выполняется неравенствоXXmesϕ (E) 6ϕ(dn ) =dn ω(dn ) < ε, dn := diam σn < δ.(7)n)Отсюда получаем оценку сверху на лебегову меру, применив вытекающее из леммы неравенство d2n 6 dn · ω(dC :µ(E) 6X dn 2π X dn ω(dn )πεπ6 ·<.24C4C(8)Константа C зависит лишь от самой функции, число ε произвольно. Значит, µ(E) = 0.Отсюда следует, что E нигде не плотно в G (если бы оно было плотным в некотором круге, то в силу егозамкнутости оно имело бы положительную лебегову меру).

Рассмотрим произвольный прямоугольник Q ⊂ G.Покажем, что функция f аналитична внутри Q. Пусть z ∈ Q r E, иρ := min {dist(z, E); dist(z, ∂Q)} > 0.(9)В силу компактности E можно считать покрытие {σn } конечным. Накроем круги σn квадратами Qn . Так какмножество E нигде не плотно в Q, можно считать, что расстояние от точки z до границ Qi положительно.Кроме того, можно считать, что Qi ⊂ Q. теперь упорядочим квадраты Qi по убыванию длин сторон и перейдёмк дизъюнктному покрытию {Ki }: положимK1 := Q1 ,K2 := Q2 r Q1 ,(10)K3 := Q3 r (Q1 ∪ Q2 ),...В силу убывания длин сторон имеем perim(Ki ) 6 perim(Qi ).

Запишем интегральную формулу Коши для набораконтуров Q ∪ {Ki }. ИмеемZZ1f (ζ)1 Xf (ζ)f (z) =dζ −·dζ.(11)2πiζ −z2πi nζ −z∂Q∂Kn(an )Покажем, что второе слагаемое равно нулю. Пусть точки an — центры кругов σn . Заметим, что функция fζ−zаналитична, если ζ бегает по границам ∂Ki , так как знаменательотделён от нуля. Значит, в последний интегралR f (an )1можно безболезненно затащить нулевое слагаемое 2πidζ.Итак,имеемζ−zf (z) =12πiZ∂Qf (ζ)1 Xdζ −·ζ −z2πi nZ∂Knf (ζ) − f (an )dζ.ζ −zЕсли ζ ∈ ∂Kn , то |ζ − an | < dn , а потому |f (ζ) − f (an )| 6 ω(dn ). Значит,ZX 2dn ω(dn ) 1 Xf (ζ) − f (an ) 1 X ω(dn )2ε·dζ6··perim(K)=6 .n 2πiζ −z2π nρπρρnn(12)(13)KnА ε у нас было произвольным. Дальше рассуждение такое же, как и в первой теореме: функция f (z) представляется интегралом Коши по границе ∂Q.

Это интеграл и сама функция f (z) непрерывны, и совпадают друг сдругом на всюду плотном множестве Q r E. Значит, они совпадают всюду. Следствие 2.1 (Вторая теорема Painlevé). Если непрерывная функция аналитична в области G заисключением множества E конечной хаусдорфовой длины, то она аналитична всюду в G.9 Так как длина множества E конечна, для ∀ ε > 0 найдётся конечное множество кругов σn с диаметрамиdn < ε, содержащая E. Пусть ϕ(r) = rωf (r). ТогдаXX(14)mesϕ (E) 6ϕ(dn ) =dn ω(dn ) 6 (mes1 (E) + 1)ω(ε) 6 Cω(ε) → 0, ε → 0{z}|nnCв силу непрерывности функции f . Значит, можно применить теорему, и f ∈ O(G).

2.2. Принцип симметрии Римана – Шварца2.2.1. Продолжение функции через границуОпределение. Пусть есть две области G1 , G2 , граничащие по кривой γ, а функция f задана G1 ∪ γ. Продолжением функции f через границу γ на область G2 называется функция g : G1 ∪ G2 −→ C, совпадающая с fна G1 ∪ γ.Из только что доказанной теоремы следует, что если функция g аналитична на G1 ∪ G2 , то она аналитичнаи на G1 ∪ γ ∪ G2 .Здесь был пример Помпейю, но к чему он был — неизвестно:ZZdξdη,F (z) :=ζ −zζ := ξ + iη.(15)Из второй теоремы Пенлеве следуетТеорема 2.4 (Об аналитическом продолжении через границу).

Пусть жордановы области G1 и G2граничат по дуге γ конечной длины. Пусть функция f1 ∈ O(G1 ) ∩ C(G1 ∪ γ), а f2 ∈ O(G2 ) ∩ C(G2 ∪ γ), и надуге γ эти функции совпадают, то функция g, равная fi на Gi , аналитична на G1 ∪ γ ∪ G2 .Замечание. Условие на дугу γ в этой теореме может быть ослаблено. Пусть ωf1 (G1 ∪ γ, δ) = O λ(δ) иωf2 (G2 ∪ γ, δ) = O λ(δ) при δ → 0. Здесь λ(δ) — неотрицательная непрерывная в нуле неубывающая функцияна некотором отрезке [0, d], что mesϕ (γ) = 0, где ϕ(r) = rλ(r). Тогда справедливо заключение теоремы.Пример 2.1.

Ели функции fi ∈ Lipα , а mes1+α (γ) = 0, то теорема справедлива. В частности, если fi ∈ Lip1 ,и mes2 (γ) = 0, то g ∈ O(G1 ∪ γ ∪ G2 ).2.2.2. Принцип симметрии Римана – ШварцаОпределение. Если не указано противное, через G∗ будем обозначать область, симметричную области Gотносительно вещественной оси (а в общем случае — относительно некоторой окружности).Лемма 2.5.

Если f ∈ O(G), то функция fe := f (z) голоморфна в симметричной области G∗ .ТогдаПусть a ∈ G∗ , тогда a ∈ G. Из голоморфности функции f в окрестности a следует разложимость в ряд:Xf (z) =cn (z − a)n .(16)fe = f (z) =Xcn (z − a)n =Xcn (z − a)n .(17)Полученный ряд имеет тот же радиус сходимости, откуда и следует голоморфность.

Лемма 2.6. Даны две непересекающиеся области, такие что ∂G1 ∩ ∂G2 = γ, где γ — отрезок прямой илидуга окружности, и f1 ∈ O(G1 ) ∩ C(G1 ∪ γ), а f2 ∈ O(G2 ) ∩ C(G2 ∪ γ). Пусть f1 = f2 на γ. Тогда функция(f1 (z), z ∈ G1 ∪ γ;f (z) =(18)f2 (z), z ∈ G2 ∪ γголоморфна в G1 ∪ γ ∪ G2 . Голоморфность следует из теоремы об аналитическом продолжении через границу.

Теорема 2.7 (Принцип симметрии). Пусть граница области G1 содержит участок прямой или окружности γ1 , а G∗1 — симметричная относительно γ1 область, и G ∩ G∗ = ∅; Пусть (G2 , G∗2 , γ2 ) — набор с темиже свойствами. Пусть функция f : G1 → G2 — конформное отображение, продолжаемое по непрерывности довзаимно-однозначного соответствия границ: f : γ1 → γ2 . Тогда продолженное по симметрии отображение fдаёт конформное отображение G1 ∪ γ1 ∪ G∗1 7→ G2 ∪ γ2 ∪ G∗2 . Если γ является отрезком прямой, то движением можно перевести этот отрезок на вещественную ось,а далее воспользоваться леммами. Конформность, очевидно, сохранится (движение ничего не испортит).

Если10же γ является дугой окружности, то сначала дробно-линейным преобразованием «распрямим» её, передвинемна вещественную ось, сведя тем самым к первому случаю. Замечание. В данной формулировке есть одна тонкость: если мы делаем симметрию относительно окружностей, то симметричная точка может оказаться в бесконечности.

Именно поэтому у продолжения функции могутпоявиться полюсы и голоморфной она НЕ БУДЕТ! Но если ограничиться только симметрией относительнопрямых, то всё будет хорошо.Теорема 2.8 (И. И. Привалов, 1918). Пусть ∆ — единичный круг, f, g : ∆ → C. Если в каждой точкеграницы у f и g совпадают пределы по одному и тому же направлению, то f ≡ g.Доказывать мы её не будем.

. .2.3. Аналитическое продолжение по цепи2.3.1. Непосредственное продолжениеОпределение. Пусть G0 и G1 — выпуклые области, G1 ∩ G0 6= ∅, и функция f0 (z) аналитична в G0 , афункция f1 (z) аналитична в G1 и f0 (z) = f1 (z) на G1 ∩ G0 . Тогда говорят, что f0 аналитически продолжаетсяв G1 (и f1 аналитически продолжается в G0 ) непосредственно.Рассмотрим еще одну область G2 , пересекающуюся с G1 , и пусть f1 (z) = f2 (z) для всех z ∈ G1 ∩ G2 , тогдаf0 продолжается непосредственно на G2 , и так далее.Определение.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
399,18 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее