QML1 (1129441), страница 9
Текст из файла (страница 9)
По этой причине гамильтониан также называется оператором полной энергии.46Определение. Состояния с определенными значениями энергииназываются стационарными.Таким образом, если гамильтониан не зависит явно от времени, квантовая система может находиться в стационарных состояниях.Структура их волновых функцийiΨE (ξ, t) = ΨE (ξ) exp − Et ,}(1.101)где E — определенное значение энергии, ΨE (ξ) — функция, зависящаятолько от координат.
Эти величины определяются из решения стационарного уравнения Шредингера (1.100). Граничные условия к немуопределяются общими стандартными условиями для волновой функции. Множитель T0 из выражения (1.99) можно считать включеннымв (1.101), так как функция ΨE (ξ) еще будет нормироваться.В случае инфинитного движения энергетический спектр квантовойсистемы непрерывен. При решении стационарного уравнения Шредингера функция ΨE (ξ) определяется по заданному E в соответствии сграничными условиями.В случае финитного движения энергетический спектр квантовойсистемы дискретен, т.
е. в системе имеются энергетические уровни.Они определяются так, чтобы для функций ΨE (ξ) выполнялись соответствующие граничные условия, т. е.ΨE (ξ)|ξ→∞ = 0(1.102)для обеспечения конечности нормировочного интеграла.Состояние с наименьшей энергией называется основным. Его общимсвойством является невырожденность.
Все остальные состояния — возбужденные: ближайшее по энергии к основному — первое возбужденное, затем второе и т.д. (см. рис. 1.5). В зависимости от симметриисистемы возбужденные состояния могут быть вырожденными.Перечислим общие свойства стационарных состояний.1. Зависимость волновых функций стационарных состояний от времени определяется толькозначением энергии E и имеет вид e−iEt/} . По этойпричине в волновых функциях стационарных состояний зависимость от времени, как правило, неуказывается. Мнимая единица в показателе экспоненты появилась из-за мнимого коэффициента приРис.
1.5.первой производной по времени в уравнении Шредингера (1.96), поэтому его решение осциллирует во времени, несмотряна отсутствие второй производной по времени в (1.96).472. В стационарных состояниях плотность вероятности и плотность потока вероятности не зависят от времени.
Действительно,выражения для них (1.89) и (1.93) не содержат операторов, действующих на t, а полные волновые функции входят в них в виде квадратичных комбинаций |Ψ|2 , поэтому вся зависимость от времени сокращается: |e−iEt/} |2 = 1.3. Если оператор физической величины не зависит явно от времени, то ее среднее значение в стационарном состоянии не зависитот времени. Доказательство очевидно, если воспользоваться формулой(1.29).Перечисленные свойства делают стационарные состояния удобными для исследования квантовых систем с не зависящим от временигамильтонианом.Рассмотрим трехмерное движение частицы c массой m в постоянномсиловом поле с потенциальной энергией V (r). Стационарное уравнениеШредингера (1.100) в этом случае приобретает вид:}2 2∇ ΨE (r) + V (r)ΨE (r) = EΨE (r).−2m(1.103)По своей структуре оно идентично классическому уравнению для стоячих волн в среде с переменным показателем преломления.1.15.Дифференцирование операторов по времениЕсли ввести явным образом время t в определение (1.29) для среднего значенияZhF i = Ψ∗ (ξ, t)F̂ (t)Ψ(ξ, t) dξ,(1.104)то видно, что в общем случае среднее значение величины F зависит отвремени, причем эта зависимость может быть обусловлена как тем, чтоквантовая система находится в нестационарном состоянии Ψ(ξ, t), таки явной зависимостью от времени самого оператора физической величины F : F̂ = F̂ (t), так что ∂ F̂ /∂t 6= 0 (правда, это случается крайнередко — лишь для некоторых характеристик системы, находящейся вовнешнем переменном силовом поле).
Хотя производную по времени отсреднего значения величины F легко определить прямым дифференцированием соотношения (1.104), естественно попытаться получить болееобщий результат — построить оператор производной величины F поˆdFвремени, то есть оператор dFdt , соответствующий величине dt , который,в частности, позволит получить и производную от среднего значениявеличины F по общей формуле (1.104) для средних значений:48ddef dFhF i = hi=dtdtZΨ∗ (ξ, t)ˆdFΨ(ξ, t) dξ.dt(1.105)Вид искомого оператора легко получить дифференцированием выражения (1.104), выполняя дифференцирование под знаком интегралаи рассматривая подынтегральное выражение как произведение трех сомножителей:∂ F̂d(1.86)hF i = h∂t Ψ| F̂ |Ψi + hΨ||Ψi + hΨ| F̂ |∂t Ψi =dt∂tDED ∂ F̂ E1 D 1 ĤΨ F̂ Ψ + ΨΨ F̂=−Ψ +i}∂ti}EĤΨ . (1.106)Полная производная в этих вычислениях заменена частной, посколькуволновые функции и оператор F̂ зависят от времени только явно.
Преобразуем теперь первое слагаемое в последней строке (1.106), учитываясамосопряженность гамильтониана: E DDE (1.12) DE∗ (1.42) ĤΨ F̂ Ψ = ĤΨ F̂ Ψ=F̂ Ψ ĤΨ= hΨ| Ĥ F̂ |Ψi .В результате (1.106) принимает вид:ˆ∂ F̂1dFd(1.105)hF i = hΨ||Ψi + hΨ| [F̂ , Ĥ] |Ψi = hΨ||Ψi.dt∂ti}dtЧтобы данное равенство, в соответствии с определением (1.105), выполнялось для произвольного состояния Ψ, должно выполняться операторное равенство:ˆdF∂ F̂1=+ [F̂ , Ĥ].dt∂ti}(1.107)Выражение (1.107) решает поставленную задачу, т. е. дает определение оператора производной по времени физической величины F черезчастную производную оператора F̂ по времени и коммутатор оператора F̂ с гамильтонианом.
Соотношение (1.107) можно понимать и какопределение производной по времени оператора F̂ физической велиdF̂чины F , т. е. оператора, не забывая при этом об условности этоdtго понятия: это не определение производной по времени абстрактногооператора (например, оператора импульса p̂ = −i}∇ как такового, т. е.для любой квантовой частицы), а производная по времени оператора49F̂ , относящегося к конкретной квантовой системе с гамильтонианом Ĥ.dp̂Поэтому, например, для свободного электрона= 0, а для электронаdtво внешнем поле с потенциальной энергией U (r) оператор производнойdp̂= −∇U (r) (приведенные соотношеимпульса уже отличен от нуля:dtния легко проверяются, вычисляя коммутатор в (1.107) с F̂ = p̂).ˆdFdF̂По своей структуре соотношение (1.107) с=аналогично соdtdtответствующему уравнению для производной по времени классическойвеличины F (qi , pi , t) в механической системе с функцией ГамильтонаH(qi , pi , t)∂FdF=+ {F , H},dt∂tгдеX ∂F ∂H ∂F ∂H −{F , H} =∂p∂q∂qi ∂piiii— скобка Пуассона, и получается из него при помощи формальных замен:1F → F̂ ; H → Ĥ; {.
. . , . . .} →[. . . , . . .].(1.108)i}По аналогии второе слагаемое в правой части (1.107) называется квантовой скобкой Пуассона.С помощью (1.107) можно получить следующие соотношения:ddF̂(µF̂ ) = µ,dtdtddF̂dĜ(F̂ + Ĝ) =+;dtdtdtddF̂dĜ(F̂ Ĝ) =Ĝ + F̂,dtdtdtµ = const;аналогичные соответствующим формулам математического анализадля дифференцирования функций (следует лишь соблюдать порядокследования сомножителей в произведениях операторов).1.16.Интегралы состоянияОпределение. Интегралом состояния квантовой системы (илисохраняющейся величиной) называется физическая величина, среднеезначение которой в любом состоянии рассматриваемой квантовой системы не зависит от времени.В соответствии с формулой (1.105) критерием сохранения величиныˆ,F является обращение в нуль оператора ее производной по времени dFdtили, согласно уравнению (1.107), выполнение условия501∂ F̂+ [F̂ , Ĥ] = 0.∂ti}(1.109)Можно также сказать, что величина F сохраняется, если оператор еепроизводной ddtF̂ равен нулю.С точностью до замен (1.108) условие (1.109) аналогично соответствующему условию сохранения величины F (qi , pi , t) в классическоймеханике (где она называется интегралом движения механической системы).
В механике скобка Пуассона, построенная из классических интегралов движения F и G, сама является интегралом движения. На основании критерия (1.109) можно показать, что и в квантовой механикевеличина, соответствующая коммутатору операторов двух сохраняющихся величин, также является интегралом состояния.В наиболее важном случае, когда оператор F̂ не зависит от времени(т.
е. его частная производная по времени равна нулю), величина F ,согласно (1.109), сохраняется только в случае коммутативности F̂ сгамильтонианом. Таким образом, наличие интегралов состояния полностью определяется типом физического взаимодействия в квантовойсистеме, т. е. видом гамильтониана Ĥ, а точнее — его пространственновременно́й симметрией.Рассмотрим типичные примеры интегралов состояния, существование которых доказывается непосредственной проверкой соотношения(1.109).Полная энергия. Если гамильтониан не зависит от времени, тополная энергия является интегралом состояния.
Подчеркнем, что приэтом сохраняется среднее значение энергии в любых квантовых состояниях, а не только в стационарных.Импульс. В отсутствие внешних силовых полей полный импульсквантовой системы сохраняется. При наличии внешнего поля сохраняется проекция импульса на то направление, в котором не действуютсилы.Проекция орбитального момента. В аксиально-симметричныхсиловых полях проекция орбитального момента на ось симметрии сохраняется.Квадрат орбитального момента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
