QML1 (1129441), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Поставим задачу вычисления среднего значения некоторых заданных функций координаты F1 (r) и импульса F2 (p) в этомсостоянии.Среднее значение координатыВычислим вначале среднее значение координаты hri в состояниис волновой функцией Ψ(r). В соответствии с (1.7), плотность вероятности различных значений координаты w(r) дается квадратом модуля волновой функции. Поэтому, пользуясь теоремой о математическоможидании, получаем:Zhri =3(1.7)rw(r) d r =(V )ZΨ∗ (r) rΨ(r) d3 r.(1.24)(V )Ниже мы разъясним причину не вполне привычной записи правой части (1.24).Любое произведение декартовых компонент r также усредняется всоответствии с (1.24):ZZnx ny nznx ny nz3 (1.7)hx y z i =x y z w(r) d r =Ψ∗ (r) xnx y ny z nz Ψ(r) d3 r.(V )(V )(nx , ny , nz — произвольные числа).
Поэтому после разложения функции F1 (r) в ряд Тейлора мы приходим к следующей формуле:hF1 (r)i =ZΨ∗ (r)F1 (r)Ψ(r) d3 r.(1.25)(V )Среднее значение импульсаСреднее значение импульса в состоянии Ψ(r) невозможно вычислить по формуле (1.24) с простой заменой r → p, поскольку нам поканеизвестно распределение импульсов в данном состоянии. Чтобы получить его, воспользуемся разложением (1.22), а также нормированностью Ψ(r) в объеме (V ) и ортогональностью волн де Бройля (1.20):ZZXX∗32 3∗|Ψ(r)| d r = 1 =ck 0 ckΨk0 (r)Ψk (r) d r =|ck |2 .(V )k0 k|(V )18{zδk 0 k}kПолученное соотношениеXXwk = 1|ck |2 =|{z}kkwkпохоже на условие нормировки в теории вероятностей.
Поэтому по аналогии с |Ψ(r)|2 величине wk можно придать смысл вероятности обнаружения значения импульса p = }k в состоянии Ψ(r) (в данномслучае распределение по импульсам получается дискретным в отличиеот непрерывного распределения по координатам).Подобно координате среднее значение импульса вычисляем по теореме о математическом ожидании с распределением wk . Для нахождения ck воспользуемся (1.23):XXX ZZ∗hpi = }kwk = }k c k ck = }Ψ∗ (r)Ψk (r)Ψ(r 0 )k Ψ∗k (r 0 ) d3 r d3 r0 .kkkВспоминая явный вид Ψk (r) (см.
(1.19)), имеем:01k Ψ∗k (r 0 ) = √ k e−ikr = i∇r0 Ψ∗k (r 0 ).VДействие оператора ∇r0 перенесем с функции Ψ∗k (r 0 ) на Ψ(r 0 ) по формуле интегрирования по частям:ZZ03 00∗00∗Ψ(r )∇r0 Ψk (r ) d r = Ψ(r )Ψk (r )| −Ψ∗k (r 0 )∇r0 Ψ(r 0 ) d3 r0 .|{z}(V )(V )0Интеграл по поверхности куба обращается в нуль вследствие периодических граничных условий (1.15) как для Ψk (r 0 ), так и для Ψ(r 0 ).Исключим теперь из выражения для hpi функции Ψk (r) на основании свойства полноты (1.21):ZZ Xhpi =Ψ∗k (r 0 )Ψk (r) Ψ∗ (r)(−i}∇r0 )Ψ(r 0 ) d3 r0 d3 r =|k{z}δ(r 0 −r)=ZΨ∗ (r)(−i}∇)Ψ(r) d3 r,(V )где ∇ ≡ ∇r .Таким образом,hpi =ZΨ∗ (r)(−i}∇)Ψ(r) d3 r.(V )19(1.26)По аналогии с соответствующими вычислениями hF1 (r)i для hF2 (p)iполучаем:nx ny nzZ∂∂∂nx ny nz∗−i}−i}Ψ(r) d3 r;hpx py pz i =Ψ (r) −i}∂x∂y∂z(V )hF2 (p)i =ZΨ∗ (r)F2 (−i}∇)Ψ(r) d3 r.(1.27)(V )Смысл операции дифференцирования под знаком функции F2 (p) в(1.27) станет ясен ниже.1.6.Физические величины в квантовой теорииРассмотрим выражения (1.24) и (1.26) (или (1.25) и (1.27)).
Ониимеют одинаковую структуру:ZhF i =Ψ∗ (r)F̂ (r)Ψ(r) d3 r.(1.28)(V )Конструкция F̂ (r) называется оператором величины F . Так, операторкоординаты — это просто вектор r: r̂ = r; оператор импульса p̂ == −i}∇ содержит операцию векторного дифференцирования 3 .Обобщим соотношение (1.28) на произвольную физическую величину F :ZhF i = Ψ∗ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ.(1.29)hF i называют средним значением физической величины F в состоянииΨ(ξ). Время в Ψ(ξ) и аргументы в F̂ для упрощения записи не показаны. Функция Ψ предполагается нормированной на единицу условием(1.8).Если соотношение (1.29) выполняется для произвольного состояния,то F̂ называется оператором величины F .
Таким образом, всякой физической величине в квантовой механике сопоставляется соответствующий оператор, так что среднее значение этой величины в произвольном квантовом состоянии микросистемы дается формулой (1.29)(напомним, что в классической механике физические величины являются обычными вещественными функциями обобщенных координат и3Напомним, что все сказанное здесь относится к координатному представлениюи будет обобщено в разделе «Теория представлений».20обобщенных импульсов).
Как правило, для обозначения оператора используется та же буква, что и для соответствующей физической величины, но только со шляпкой, например, импульсу p соответствуетоператор импульса p̂.С математической точки зрения оператор представляет собой некийспособ перехода от одной волновой функции к другой. Задать оператор означает указать такой способ. Запись F̂ Ψ(ξ) означает действиеоператора F̂ на функцию Ψ(ξ), которое в общем случае не сводится кобычному умножению. Результатом действия оператора на функциюбудет новая функция:Φ = F̂ Ψ.(1.30)Так, например, действие оператора координаты на функцию сводится кее обычному умножению на координату: r̂Ψ(r) = rΨ(r), в то время какдействие оператора импульса представляет собой дифференцирование:p̂Ψ(r) = −i}∇Ψ(r).В соответствии с определениями оператора (1.30) и скалярного произведения в L2 (1.10), формулу (1.29) можно переписать в дираковскихобозначениях:hF i = hΨ| F̂ |Ψi .(1.31)Оператор всегда задается на определенном множестве (классе)функций.
Как правило, это функции из L2 , удовлетворяющие стандартным условиям. Дополнительные требования к классу функций диктуются постановкой конкретной задачи.Введем правила математических действий над операторами, предполагая, что эти операторы заданы на определенном классе функций.Алгебра операторов1◦ . Операторное равенство F̂ = Ĝ.
Операторы F̂ и Ĝ равны другдругу, если при их действии на одну и ту же произвольную функцию 4Ψ(ξ) получаются одинаковые функции:F̂ Ψ(x) = ĜΨ(ξ).Требование произвольности функции Ψ(ξ) существенно! В качестве предостережения рассмотрим действие операторов F̂1 = −ξ иd2F̂2 =на функцию e−ξ /2 . Совпадение результатов не означает раdξdвенства= −ξ, поскольку оно выполняется не для произвольнойdξфункции.4Из класса, на котором определены рассматриваемые операторы — здесь и далее.212◦ .
Нулевой оператор 0̂. Оператор называется нулевым, если приего действии на произвольную функцию Ψ(ξ) результатом являетсятождественный нуль:def0̂Ψ(ξ) ≡ 0.Шляпка над нулевым оператором, как правило, не ставится. Вместоэтого пишется число нуль. Здесь и далее символ «def» подчеркивает,что приведенное равенство является определением.3◦ . Единичный оператор 1̂. Оператор называется единичным,если его действие на произвольную функцию Ψ(ξ) не изменяет последнюю:def1̂Ψ(ξ) = Ψ(ξ).Шляпка над единичным оператором тоже, как правило, не ставится.Вместо этого пишется число единица.4◦ . Умножение оператора на константу: αF̂ . При умноженииоператора на константу получается новый оператор, действие которогона произвольную функцию Ψ(ξ) задается правилом:def(αF̂ )Ψ(ξ) = α[F̂ Ψ(ξ)].5◦ .
Сумма операторов: F̂ + Ĝ. Суммой операторов F̂ и Ĝ называется оператор, действие которого на произвольную функцию Ψзаключается в действии на нее каждого оператора по отдельности споследующим сложением результатов:def(F̂ + Ĝ)Ψ = (F̂ Ψ) + (ĜΨ).Поскольку сумма функций не зависит от порядка следования слагаемых, сумма операторов тоже не зависит от порядка следования слагаемых. Иными словами, сумма операторов подчиняется «переместительному закону»:F̂ + Ĝ = Ĝ + F̂ .(1.32)6◦ . Произведение операторов: F̂ Ĝ.
Произведением операторовF̂ и Ĝ называется оператор, действие которого на произвольную функцию Ψ заключается в последовательном действии на нее сначала оператора Ĝ, а затем F̂ :def(F̂ Ĝ)Ψ = F̂ (ĜΨ).В отличие от суммы произведение операторов в общем случае зависитот порядка следования сомножителей:F̂ Ĝ 6= ĜF̂ ,22т. е. в общем случае произведение операторов некоммутативно. Есливсе же имеет место равенство между произведениями F̂ Ĝ и ĜF̂ , тооператоры F̂ и Ĝ называют коммутирующими.В квантовой механике оказывается удобным ввести специальнуюконструкцию, построенную из произведений операторов, — коммутатор:[F̂ , Ĝ] = F̂ Ĝ − ĜF̂ .(1.33)Очевидно, что в случае коммутирующих операторов он становится нулевым оператором.Также вводится антикоммутатор:{F̂ , Ĝ} = F̂ Ĝ + ĜF̂ .(1.34)Для антикоммутатора иногда используется обозначение [F̂ , Ĝ]+ .Таким образом, при аналитических действиях с операторами всегданеобходимо следить за порядком следования сомножителей в произведениях.
Если возникает необходимость изменения порядка сомножителей, то необходимо учитывать коммутационное соотношение междуоператорами.7◦ . Обратный оператор: F̂ −1 . Оператором, обратным к F̂ , будемназывать такой оператор F̂ −1 , для которого выполняется соотношение:defdefF̂ −1 F̂ = F̂ F̂ −1 = 1̂.В соответствии с некоммутативностью произведения укажем на некорF̂ректность записей типа . Необходимо использовать обратный операĜтор: F̂ Ĝ−1 либо Ĝ−1 F̂ (при этом могут получиться различные результаты).8◦ . Целая положительная степень оператора: F̂ n .
Это nкратное перемножение оператора F̂ на себя:defF̂ n = F̂. . · F̂} .| · .{zn раз9◦ . Функция от оператора. Если функция f (z) допускает разложение в ряд Тейлора в окрестности нуляf (z) =∞Xn=023cn z n ,то, заменив в правой части z на некоторый оператор F̂ , получим операторную функцию fˆ(F̂ ), которая является оператором, действие которого на произвольную функцию Ψ определяется следующим образом:deffˆ(F̂ )Ψ =∞Xcn F̂ n Ψ.n=0Отметим, что после вычисления действия оператора F̂ n на Ψ ряд в правой части уже может не суммироваться в аналитическом виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
