QML1 (1129441), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Четность: δ(−x) = δ(x).2. n-я производная δ-функции является ядром интегрального оператора, действующего согласно правилу:Z +∞ndf(x)δ (n) (x)f (x) dx = (−1)n.n dx−∞x=03. Дифференцируемая функция g(x) в аргументе δ-функции:δ[g(x)] =Xδ(x − xi ) dg(x) dx i,x=xiгде xi — i-й нуль функции g(x). В частности,δ(αx) =101δ(x).|α|(А.4)4. Аналитические представления δ-функции. Известны многочисленные аналитические представления δ-функции.
Напомним наиболеераспространенные интегральное1δ(x) =2πZ+∞eixq dq(А.5)−∞и три предельных представления: 2x1exp − 2 ;δ(x) = lim √a→0aπaa1;δ(x) = lima→0 π x2 + a21 sin axδ(x) = lim.a→∞ πxИнтеграл Фурье (А.5) допускает 3-мерное обобщение:1δ(r) =(2π)3(А.3)Б.Zeirq d3 q.(А.6)Вырожденная гипергеометрическая функцияРассмотрим так называемое вырожденное гипергеометрическоеуравнение:d2 ydyx 2 + (b − x)− ay = 0,(Б.7)dxdxгде a и b — заданные комплексные параметры. Его регулярное в нуле решение называется вырожденной гипергеометрической функцией1 F1 (a, b, x) и имеет следующее представление в виде степенного ряда:yreg (x) = 1 F1 (a, b, x) = 1 +a xa(a + 1) x2++ ...b 1!b(b + 1) 2!(Б.8)При целых неположительных a ряд превращается в полином степени−a.При |x| → ∞ она имеет следующее асимптотическое представление:1 F1 (a, b, x)∼Γ(b)(−x)−a 2 F0 (a, a − b + 1, −x−1 )+Γ(b − a)Γ(b) −x a−b+e x 2 F0 (b − a, 1 − a, x−1 ).Γ(a)102Здесьx2x+ a(a + 1)b(b + 1)+ ...2 F0 (a, b, x) = 1 + ab1!2!Введено стандартное обозначение для Γ-функции.В.Полиномы Чебышева – ЭрмитаПолиномы Чебышева – Эрмита являются регулярными в нуле решениями дифференциального уравненияy 00 − 2xy 0 + 2ny = 0,n = 0, 1, .
. . ,где n — их порядок.Дадим здесь несколько различных их представлений:1) формула Родрига:Hn (x) = (−1)n ex2dn −x2e;dxn(В.9)2) разложение по убывающим степеням x:Hn (x) = (2x)n −n(n − 1)n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(2x)n−2 +(2x)n−4 − . . . ;11·23) через вырожденную гипергеометрическую функцию:(2m)!12H2m (x) = (−1)m;1 F1 −m, , xm!2(2m+1)!3H2m+1 (x) = (−1)m2x1 F1 −m, , x2 ;m!24) рекуррентная формула:Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x);Г.H0 (x) = 1;H1 (x) = 2x.(В.10)Функции БесселяФункциями Бесселя ν-го порядка называются регулярные в нулерешения дифференциального уравнения:x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0.Дадим некоторые явные выражения для функций Бесселя:103(Г.11)1) разложение в ряд:Jν (x) =∞ x ν X2k=0(−x2 /2)k;k!Γ(ν + k + 1)2) через вырожденную гипергеометрическую функцию:e−iz z ν1Jν (x) =1 F1 ν + , 2ν + 1, 2iz .Γ(1 + ν) 22Сферическая функция БесселяrπJ 1 (x), l = 0, 1, .
. .(Г.12)jl (x) =2z l+ 2выражается через элементарные, например,sin xsin x cos x313j0 (x) =; j1 (x) = 2 −; j2 (x) =−sinx−cos x.xxxx3xx2Функция Эйри Ai(x) является регулярным решением уравненияy 00 − xy = 0(Г.13)и выражается через функции Бесселя порядков ± 13 :Ai(x) =1√x [I−1/3 (ζ) − I1/3 (ζ)];323Ai(−x) =1√x [J−1/3 (ζ) + J1/3 (ζ)],3гдеIν (ζ) = i−ν Jν (iζ);Д.Присоединенные полиномы Лежандраζ=x3/2 .|m|Присоединенными полиномами Лежандра Pl (x), которые являются основными элементами сферических функций (см. раздел (2.4)),называются регулярные в точках x = ±1 решения дифференциальногоуравнения2m(1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + l(l + 1) −y = 0,1 − x2l = 0, 1, . . .
;m = 0, ±1, . . . , ±lна отрезке вещественной оси x = [−1, +1]. При m = 0 они совпадают собычными полиномами Лежандра.Формула Родрига:|m|Pl (x)l+|m|12 |m|/2 d= l (1 − x )(x2 − 1)l .l+|m|2 l!dx104Е.Присоединенные полиномы Лагерра(α)Присоединенные полиномы Лагерра Ln (x) являются регулярнымирешениями следующего дифференциального уравнения в области0 ≤ x < ∞:xy 00 + (α + 1 − x)y 0 + ny = 0,n = 0, 1, . . .При α = 0 они переходят в обычные полиномы Лагерра.Дадим некоторые явные выражения для присоединенных полиномов Лагерра:1) формула Родрига:L(α)n (x)1 −α x dn n+α −xx e[xe ];=n!dxn2) через вырожденную гипергеометрическую функцию:L(α)n (x) =1 Γ(n + α + 1)1 F1 (−n, α + 1, x).n! Γ(α + 1)105ЛитератураОсновная1.
Давыдов А.С. Квантовая механика / А.С. Давыдов. — М. : Наука,1973. — 704 с.2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики / Д.И. Блохинцев. —М. : Наука, 1983. — 664 с.3. Копытин И.В. Задачи по квантовой механике : в 3 ч. / И.В. Копытин, А.С. Корнев. — Воронеж : Воронеж. гос. ун-т, 2008.Дополнительная1. Ландау Л.Д. Теоретическая физика : в 10 т. / Л.Д. Ландау,Е.М.
Лифшиц. — М. : Физматлит, 2001. — Т. 3. : Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — 803 с.2. Левич В.Г. Курс теоретической физики : в 2 т. / В.Г. Левич,Ю.А. Вдовин, В.А. Мямлин. — М. : Наука, 1971. — Т. 2. — 936 с.3. Балашов В.В. Курс квантовой механики / В.В. Балашов, В.К. Долинов. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,2001. — 336 с.106Учебное изданиеКопытин Игорь Васильевич,Корнев Алексей Станиславович,Манаков Николай ЛеонидовичКВАНТОВАЯ ТЕОРИЯКурс лекций для вузовЧасть 1Редактор И.Г.
Валынкина107.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
